Принцип золотого сечения и его проявление в музыке композиторов-классиков

Многие из нас знают, что такое <<золотое сечение>>. Лично я узнала об этом в пятом классе, и с тех пор мечтала провести о нем свое небольшое исследование. Но, когда я в этом году взялась за работу, я поняла, что тема золотого сечения в архитектуре, скульптуре и живописи исследуется каждый год многими людьми. Я спросила совета у своей мамы, которая окончила Уральскую консерваторию им. Мусоргского. Она предложила обратиться к музыкальному искусству и поискать примеры золотого сечения в музыкальных произведениях. Мне показалась интересной эта идея, и я начала исследовать в этом ключе самые известные классические произведения.

В геометрии есть два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем.

Иоганн Кеплер.

0. 1. Понятие золотого сечения.

Наверняка всем нам не раз приходилось задумываться о том, почему природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие? В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? В течение тысячелетий многие мыслители, начиная с Пифагора и Платона и заканчивая Лосевым и Флоренским, искали ответ на этот вопрос. И большинство из них пришло к заключению, что в мире царит Всеобщая Гармония, основанная на Золотом Сечении.

Золотое сечение называется также числом PHI, или φ в честь великого древнегреческого скульптора Фидия, который использовал это число в своих скульптурах. Это деление отрезка АВ на две части таким образом, что большая часть АС является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Модно составить такую пропорцию: АВАС = АССВ. Чтобы найти алгебраическое построение золотого сечения отрезка, примем длину отрезка АВ за а, отрезка АС за b. Так как ВС=а-b, то а:b=b:(a-b), или а[2]=ab+b[2]. Разделив обе части на b[2] и обозначив само отношение ab буквой Ф, получим уравнение Ф2 =Ф+1. , имеющее единственный положительный корень 5+12 = 1,618034. Если рассматривать отношение не большего отрезка к меньшему, а наоборот, то алгебраическое построение сводится к решению уравнения, откуда Ф=0,618.

Геометрическое построение золотого сечения отрезка АВ осуществляется так: к отрезку АВ проводят перпендикуляр ВD, равный половине АВ, соединяют А и В, откладывают DE=DB и, наконец, АС=АЕ.

0. 2. Фигуры золотого сечения.

Помимо деления отрезка, по принципу золотой пропорции можно составить несколько фигур.

<<Золотой треугольник>> - прямоугольник, в котором отношение ширины к высоте тоже равняется φ. Если от такого прямоугольника отрезать квадрат, то опять получится <<золотой прямоугольник>>, и так можно продолжать до бесконечности.

Разумеется, бывает и <<золотой треугольник>>. У равнобедренного треугольника отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу φ. Одно из свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при основании равняются длине самого основания.

0. 3. История возникновения.

В дошедшей до нас античной литературе золотое сечение впервые встречается во 2 книге <<Начал>> Евклида, где дается его геометрическое построение и применение на 5- и 10-угольниках. Несомненно, золотое сечение было известно и до него. Доказательством этому может послужить пентаграмма (правильная пятиконечная звезда). Дело в том, что в этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков. Именно пентаграмма являлась симфолом союза Пифагорийцев, во главе которых стоял Пифагор. Они утверждали, что очищения духа можно добиться при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа, а мир состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях.

В средневековой Европе с золотым сечением познакомились по арабским переводам <<Начал>> Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Кампано из Новары (13 век) добавил к 13 книге <<Начал>> предположение, содержащие арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его золотого сечения.

К 15-16 векам усилился интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве. В средние века пентаграмма считалась магическим числом, отпугивающим сатану. Вспомните, например, проникновение Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была нарисована пентаграмма. Л. Пачоли посвятил золотому сечению тракт <<О божественной пропорции>> (1509 г. ). Само название <<золотое сечение>> получило явление от Леонардо да Винчи, считавшего, что идеальные пропорции тела человека связаны с числом φ. Хотя белорусский философ Эдуард Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области <<Теории гармонии и Золотого Сечения>>, говорит следующее: <<Термин <<золотое сечение>> идет от Клавдия Птолемея. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал>>.

Золотое сечение или близкие ему пропорции легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства.

0. 4. Золотое сечение в архитектуре, скульптуре.

Золотое сечение - понятие математическое, но оно является критерием гармони и красоты в искусстве. В энциклопедическом словаре изобразительного искусства дано такое определение золотого сечения: <<Золотое сечение, или божественная пропорция - идеальное соотношение величин, наилучшая и единственная пропорция, уравновешивающая отношения частей какой-либо формы между собой и каждой части с целым, основа гармонии>>.

Считается, что деление отрезка в отношении Золотой пропорции открыл великий Пифагор. Однако пропорции пирамиды Хеопса, барельефов из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями Золотого сечения задолго до Пифагора. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что пропорции фигур на рельефе, изображающем фараона Рамзеса, соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе гробницы, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения.

Множество архитектурных шедевров построено по золотой пропорции. Примером может служить величайшее сооружение древности Парфенон. Он является символом гармонии в мировом искусстве. При его раскопках были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.

Известный русских архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал Золотое сечение, например, здание сената в Кремле, Голицинская больница. Еще один пример применения золотого сечения - дом Пашкова в Москве, является одним из наиболее совершенных произведений архитектора В. Баженова.

0. 5. Золотое сечение в живописи.

Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения. Примером такой картины является картина И. И. Шишкина "Корабельная роща". На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника.

Тот же принцип мы видим в картине И. Е. Репина "А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года".

Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.

Еще один пример - картина Н. Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском". В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

Широко использовал золотое сечение в своем творчестве талантливый русский художник Константин Васильев, рано ушедший из жизни. Еще будучи студентом Казанского художественного училища, он впервые услышал о "золотом сечении". И с тех пор, приступая к каждой своей работе, он всегда начинал с того, что мысленно пытался определить на холсте ту основную точку, куда должны были стягиваться, как к невидимому магниту, все сюжетные линии картины. Ярким примером картины, построенной "по золотому сечению", является картина "У окна". О чем хотел поведать нам художник в этой картине? Об этом можно лишь догадываться. Одно бесспорно - перед нами жизнь как она есть. То, что двое этих молодых людей бесконечно любят друг друга, мы понимаем при первом взгляде на картину. Но если он весь во власти своего неудержимого порыва, готов отстаивать свою любовь перед кем угодно, то ее чувства что-то сдерживает. Что именно - страх, гордыня, верность родовым традициям: А может быть, наитие, природное чутье, более свойственное женскому сердцу, подсказывает ей, что не время им сейчас думать о любви?

Как бы там ни было, главная мысль этой картины, вся кульминация ее заложена именно в образе девушки, чье лицо озарено удивительной чистотой, достоинством и еще спокойной мудростью. И лицо девушки художник разместил в "золотой" точке картины, которая находится на пересечении двух "золотых" линий - горизонтальной и вертикальной, которые в точности проходят через глаз девушки. И это композиционное решение является одной из причин ощущения удивительной гармонии, которой наполнена картина, олицетворяющая все те исконные начала, которые всегда делали русскую женщину прекрасной.

0. 6. Золотое сечение втеле человека.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Первый пример золотого сечения в строении тела человека: если принять за центр человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1. 618. Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

- расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618

- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618

- расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618

- расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618

- расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

0. 7. Золотое сечение в литературе.

Как оказалось, принципы золотого сечения мы можем наблюдать и в литературе.

Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!Н. Васютинский констатирует:"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть. вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром. "), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением. Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающий первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя). Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.

1. Практическая часть.

0. 1. Золотое сечение в музыкальных произведениях.

Благодаря многим энциклопедиям и сайтам интернета я познакомилась с основным понятием золотого сечения, а также с областями его применения. Я предположила, что принцип <<золотой пропорции>> может встречаться и в музыкальных произведениях. Но, поскольку восприятие произведений музыкального искусства не зрительное, а слуховое, звучание разворачивается во времени, а не в пространстве, точкой золотого сечения будет не точный числовой показатель (1,618 - отношение большей части к меньшей), а близкий к нему, имеющий некоторую продолжительность. Точку золотого сечения легко рассчитывать благодаря современной технике, используя хронометр. Сначала я прослушивала произведения, отмечала их на хронометре и высчитывала отношение большей части к меньшей. Чаще всего это было близко к точке золотого сечения. Я решила взять для анализа популярные произведения классиков, таких, как Иоганн Себастьян Бах, Петр Ильич Чайковский, Людвиг ванн Бетховен и т. д.

Прослушав большое количество классической музыки, я сделала для себя открытие, что музыкальные произведения по своей форме тяготеют к симметрии. В основном произведение образует трехчастную форму. В первой части звучат одна или две темы, которые хорошо запоминаются благодаря неоднократному повторению. В средней части первоначальная тема подвергается развитию, видоизменению либо вообще не появляется. Третья часть является полным или частичным повторением первой. И это закономерно, так как если бы произведение состояло из постоянно сменяющих друг друга мотивов, сознанию было бы не за что зацепиться.

После исследования произведений с помощью математических расчетов я пришла к выводу, что точка золотого сечения во многих из них приходит начало третьей части. Из прослушанных мной произведений таковыми являются:

* И. С. Бах - Концерт для флейты, скрипки и клавесина; 1,585;

* И. Штраус - Марш Радецкого; 1,527;

* П. И. Чайковский - <<Танец Феи Драже>> из балета <<Щелкунчик>>; 1,652;

* П. И. Чайковский - <<Вальс цветов>> из балета <<Щелкунчик>>; 1,618!

А в вальсе №2 си-минор Шопена, наоборот, точка золотого сечения приходилась на начало средней части за счет того, что первая часть намного длиннее остальных. А этом произведении отношение большей части к меньшей равно 1,663. Точно также в первой части Симфонии №40 В. А. Моцарта, где точка золотого сечения приходится на начало средней части. Отношение частей в этом произведении равно 1,621.

Но не всегда золотое сечение связано с таким делением произведения на три части. Например, в произведении М. П. Мусоргского <<Рассвет на Москва-реке>> самым ярким моментом была имитация звона колоколов. И вправду, если за точку золотого сечения принять момент начала звучания колоколов и высчитать отношение большего отрезка к меньшему, оно будет равно 1,633.

В произведении Грига <<Утро>> на 99 секунде звучит начало кульминации. Если принять ее за золотое сечение в данном произведении, то отношение будет равно 1,624.

В произведении <<Элизе>> Л. Ванн Бетховена в примерной точке золотого сечения появляется новая, совершенно иная по характеру и окраске тема, которая несет тревогу и добавляет произведению колорита переживаний, мук. Если точку начала этой темы принять на сечение, то отношение отрезков будет равняться 1,590.

Появление самой зловещей темы, темы вражды в балетной сюите №2 из балета <<Ромео и Джульетта>> С. С. Прокофьева тоже можно считать точкой золотого сечения, при которой отношение большей части к меньшей равняется 1,626.

0. 2. Расчеты золотого сечения в музыкальных произведениях.

Алгоритм расчета золотого сечения в звучащем произведении:

1. Перевести длительность звучания в секунды. Вычесть из него вступление, если оно имеется и достаточно продолжительно.

2. Прослушать произведение, завиксировать по хронометру яркие музыкальные моменты.

3. Полученные временные показатели перевести в секунды, также не включая в расчет вступление.

4. Разделить общую длительность звучания на временный показатель и получить отношение большей части к меньшей.

0. 1. Сводная таблица.

Во всех прослушанных мною произведениях я выделила точку золотого сечения. Я составила таблицу, в которой разместила произведения по степени близости кульминационных моментов к математическому показателю золотого сечения - 1. 628.

№ Композитор

Название

Отношение длительности звучания к временному показателю (без вступления)

Математический показатель

1 П. И. Чайковский

<<Вальс Цветов>> из балета <<Щелкунчик>> 327/202

2 В. А. Моцарт

Первая часть симфонии №40

266/164

3 Э. Григ

<<Утро>> 255/157

4 С. С. Прокофьев

Фрагмент из балетной сюиты <<Ромео и Джульетта>> 109/67

5 М. П. Мусоргский

<<Рассвет на Москва-реке>> 227/139

6 Л. ван Бетховен

<<Элизе>> 159/100

7 И. С. Бах

Концерт для флейты, клавесина и скрипки

574/362

8 П. И. Чайковский

<<Танец Феи Драже>> из балета <<Щелкунчик>> 114/69

9 Ф. Шопен

Вальс №2 си-минор

218/131

И. Штраус

Марш Радецкого

197/129

1. Заключение.

В теоретической части я познакомилась с понятием золотого сечения и с областями его применения. А в практической части я проанализировала десять музыкальных произведений великих классиков и сделала вывод, что строение музыкальных произведений, прошедших проверку временем и неизменно любимых широким кругом слушателей, имеет в своей основе принципы золотого сечения. Таким образом, моя гипотеза подтвердилась. Я выполнила цель и задачи, которые поставила перед собой.

Я не знаю, великие композиторы специально просчитывали композицию своих произведений, основываясь на принципе щолотого сечения, или же они создавали их инстинктивно, но одно я знаю точно: своей работой я <<алгеброй поверила гармонию>>.