Приёмы решения уравнений систем уравнений и задач

Часть процессов, происходящих в природе, описывается уравнениями, решение которых аналитическим способом либо, невозможно, либо является трудоемким.

И поэтому я рассмотрела возможность решения уравнений с помощью графиков, т. к. ряд задач, представленных в ЕГЭ и ГИА, возможно решить только графически.

Объектом исследования являются задачи, сводящиеся к решению уравнений графическим методом

С этой целью я научилась хорошо и быстро строить графики: линейной и квадратичной функции, график функции y=√x,графики функции, содержащей знак модуля.

Зная, как выглядят графики данных функций, я могу применять их для решения уравнений, систем уравнений и задач.

График функции – это множество точек плоскости, декартовы координаты которых связаны соотношением y=f(x), где x принадлежит области определения функции. Глядя на график, можно получить информацию о функции: указать область определения, область значений, интервалы монотонности, точки пересечения с осями и т. д.

Для построения графика обычно вычисляют значения функции при нескольких значениях аргумента, получая тем самым несколько точек графика, а затем проводят через них кривую.

Для построения более сложных графиков используют преобразование графиков. Эскизы графиков можно также получать, складывая, Умножая, деля на более простые графики, можно изображать график функции, однако общих методов для таких построений нет.

Эскизы графиков функций помогают решать разные задачи, например, можно графически решать уравнения или системы уравнений; выяснять количество решений и др.

➢ Из истории графиков

Какие же навыки нужны ученику, чтобы свободно строить графики функций и применять их при решении задач? Считаю, что ответ очевиден: во – первых, хорошо знать свойства и графики основных функций; во – вторых, уметь производить стандартные преобразования графиков в соответствии с преобразованиями самих функций; в-третьих, понимать, что собой представляет параметр. Именно поэтому моя работа начинается с этих вопросов.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

➢ Определение и свойства функции.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Приёмы решений уравнений, систем уравнений и задач.

➢ Кусочные графики.

1. Постройте график функции:

-⅓x, если -3≤x≤0;

I. y=f(x), где f(x)= √x, если 0˂x≤4;

, если x˃4.

II. y= f(x), где f(x)= ½x2, если -2 ≤x≤2;

3(x-3)2, если 2˂х≤4.

; если -3≤х˂-1;

III. y= f(x), где f(x) = -х2; если -1≤х≤2.

¼х2-1, если -2≤х≤2;

IV. y= 2-х, если х˃2; х+2, если х˂-2.

2-2х2, если -2≤х≤2;

V. у= - х+2, если х˃2; х+2, если х˂-2.

2-2х2, если -1≤х≤1;

VI. у= х2-1, если х˂-1 и х˃1.

➢ Системы уравнений.

1. Решите графически систему уравнений: у=х

I. у+2х=3

Ответ: (1;1) ху+4=0

II. у=(х-1)2

Ответ: (-1;4)

2. С помощью графика определите, сколько решений имеет система уравнений:

I. ху=-4 у-х2=1

Ответ: 1 решение.

II. ху=2 у+х2=4

Ответ: 3 решения.

III. у=х3 ху=4

Ответ: 2 решения.

IV. у=√х у=1-х2

Ответ: 1решение.

V. х2+у2=9 у2-ху=0 у2-ху=0 у=0 у(у-х)=0 у=х

Ответ: 4 решения.

➢ Уравнения.

1. Решите графически уравнение:

I. √х-8+1,5х=0 y=-√х y=1,5х-8

Ответ: 4

II. х2+√х-2=0 y=-x2 y=√x-2

Ответ: 1

III. =2х-х2

=(х2+2х+1)-1 у= у=(х+1)2-1

Ответ: -1

IV. +х2=0 y= y=-x2

Ответ: -2.

V. √х-х2=0 у=√х у= х2

Ответ:0;1

VI. =(х-1)2 у= у= (х-1)2

Ответ: 1.

2. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение:

I. х2+4х+ =0

(х2+4х+4)-4=- у=(х+2)2-4 у=-

Ответ: 1 решение.

II. -х2-4х=0

= (х2+4х+4)-4 у= у=(х+2)2-4

Ответ: 3 решения.

III. х2+2х-4

(х2+2х+1)-5 у= у=(х+1)2-5

Ответ: 3 решения.

IV. х2-4х-1=-

(х2-4х+4)-3=- у=-(х-2)2-3 у=-

Ответ: 1 решение.

3. С помощью графиков покажите, что уравнение имеет только один корень:

I. х3-х2+2х-1=0 х3= х2-2х+1 у= х3 у=(х-1)2

Ответ: уравнение имеет только один корень.

II. х3+х2+6х+9=0 х2+6х+9=- х3 у=(х+3)2 у=- х3

Ответ: уравнение имеет только один корень.

➢ Задачи на построение графиков из сборника «Авангард»

I. у=-2х++1; y=-2x++1 y=-2x, где х˂0 y=-2x++1 y=-2x+2, где х˃0

II. у=-x++2-; у=x++2- у=-х+2 у= - х+2, где –х≥2 у=х+2, где х≤-2

III. у=x+х-4; у=-4 у=-2х-4 где х˃0

х где х˂0

V. у=х2+2х-3; у=(x2+2x+1)-1-3 y=(x+1)2-4, где х˃0 и х˂0

VI. у=(х-2)(х-4)+ -; у=(х-2)(х-4)+ -; у=х2-6х+8 у=(х2-6х+9)-1 у=(х-3)2-1, где х≥2

Заключение.

Несмотря на то, что задачи на построение графиков как таковые сравнительно редко предлагаются на экзаменах, использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Как оказалось, исследование функций и построение графиков порой существенно облегчает решение уравнений и неравенств, позволяет определить число корней, угадать значения корня.

Кроме того, при написании данной работы я сформировала собственные навыки решения уравнений графическим методом, приобрела навык в общении с научной литературой, изучила графики, научилась их строить, составила сборник задач и их решений, который поможет школьнику в изучении этой темы.

Дополнительные занятия по этой теме дали мне возможность уметь правильно работать над проектом, создать свой сборник задач, но самое главное, хорошо понять данную тему, что, несомненно, помогло мне в учебном процессе.