Примеры золотого сечения в математике

Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам.

Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А. С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Я познакомлю вас с одним из таких математических соотношений: там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Эпиграфом к моей работе будут слова немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».

Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение»– далеко не все.

1. Золотое сечение в математике

• В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

• Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Почему?

Отвечу на этот вопрос так. Обозначим ВЕ =х, тогда АХ = 1-х (так как АВ примем за 1) и по условию задачи

(1 –х) : х = х : 1.

Отсюда х2 = 1 – х или х2 + х – 1 = 0.

Решения этого уравнения:

Х 1,2 = или х 1. ,2 =.

Из двух значений корня выбираем первое, так как другое значение оказалось отрицательным.

Если выразить данную обыкновенную дробь в десятичную, то это будет бесконечная иррациональная дробь, равная 1. 61803398875.

Полученное число обозначается буквой φ. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н. э. , который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

Итак, отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618. , если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

2. Примеры золотого сечения в математике.

Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.

Изучением золотой пропорции исследователи занимаются около 2400 лет. Некоторые такие великие математики древней Греции как Пифагор, Евклид или средневековые итальянские ученные Леонардо Фибоначчи, астроном эпохи Возрождения Роджер Пенрозе потратили бесконечное количество часов, изучая специфику золотого сечения, представленного простой пропорцией , которая составляет 1. 6180339887.

Математики античной Греции — это первые ученные, начавшие разбирать феномен, известный научному сообществу как золотое сечение, поскольку данная пропорция часто использовалась в геометрии. Она до сих пор является неотъемлемым атрибутом в геометрической сфере, особенно когда осуществляется строение системных пентаграмм или пятиугольников. Открытие значения золотого сечения греки обычно относят к деятельности Пифагора и его последователей. Правильная или системная пентаграмма обозначатся, как правило, символом Пифагора.

Пентаграмма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.

Леонардо да Винчи

"Витрувианский человек"

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий (leuta − пять, gramma − черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах.

Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580-500 гг. до н. э. ), а отличительным знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5 = 2 + 3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число.

Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций!

Из подобия треугольников

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пяти- угольники, и золотые отношения будут сохраняться.

Красота золотого сечения скрыта и в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи ((род. ок. 1170 - умер после 1228), итальянский математик.

Леонардо Фибоначчи

После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел. 2

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,. называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1. 61803398875. и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его.

(Прим. иррациональное число, т. е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Существует ещё так называемый золотой треугольник.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

Мною был проведен для моих одноклассников психологический опыт.

Ребятам было предложено задание: начертить на альбомном листе любой прямоугольник и затем.

найти отношение ширины прямоугольника к его длине.

Результаты показали, что у большинства из них отношение сторон оказалось близким к числу φ. И это не случайно, так как многим людям кажутся красивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связанные друг с другом золотым отношением.

Следующим примером золотого сечения в математике является прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т. е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т. д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

Я проверил, размеры учебников алгебры и геометрии также близки к золотому сечению.

3. Золотое сечение в живописи.

Заинтересованность в идеальном соотношении проявлялась не только со стороны математиков, ее использовали в своих исследованиях биологи, художники, музыканты, историки, архитекторы, психологи и даже колдуны. Фактически же, будет правильным сказать, что не найдется практически ни одной научной области, представители которой не задумывались бы об идеальном коэффициенте.

Что касается искусства, любопытным фактом является то, что портрет «Мона Лиза» Леонардо да Винчи написан также в соответствии с золотой пропорцией.

А картину этого же художника «Тайная вечеря» можно представить в виде золотого прямоугольника, который если разделить на части, снова состоит из золотых прямоугольников.

Леонардо да Винчи

"Тайная вечеря"

Проведу один психологический опыт. Своим одноклассникам я предложил выполнить следующее задание.

Положите перед собой альбомный лист чистой стороной. Представьте, что вы собрались нарисовать пейзаж и это формат вашей картины. Проведите на будущей картине линию горизонта

У большинства из них получился результат, очень похожий на рисунок 1

Почему вы и многие другие художники проводят линию горизонта именно так? А потому, что линия горизонта разделила высоту картины в отношении близком к золотому сечению. Оказывается, для нашего восприятия такое соотношение привычно, нам кажется такое изображение естественным и гармоничным.

Также любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание.

4. Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы 1.

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1. 618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618

• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618

• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618

• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

Я провел эксперимент среди своих одноклассников. Если рост человека принять за отрезок АВ, то точка Е, которая делит отрезок в золотом отношении ( смотри пункт 1), у правильно сложенного человека совпадает с талией. Результаты были получены следующие:

Только у одной моей одноклассницы пропорции оказались в золотом соотношении, пропорции остальных ребят были близки к средневековым.

Ребят я успокоил, потому что, если вы не соответствуете средневековому эталону красоты, - наверное, не в этом счастье.

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведу несколько таких соотношений:

• Высота лица / ширина лица,

• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

• Ширина рта / ширина носа,

• Ширина носа / расстояние между ноздрями,

• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

схема 3

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. 4

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

5. Золотое сечение в природе

Как ранее мною отмечалось, существует логарифмическая спираль, в основе строения которой лежит правило золотого сечения. Она встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры - спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и других цветов.

Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения.

Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали.

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

Рога и бивни животных, развивающиеся в форме спирали.

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали.

Также имеют форму спирали пропорциям, многие вирусы. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Золотое сечение в строении снежинок

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Золотые пропорции в космическом пространстве.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

6. Золотое сечение в архитектуре

ПАРФЕНОН

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно ϕ. Отношения целого ряда частей Парфенона дают число ϕ. Говорят « у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции ».

Пол в зале Парфенона

Заключение

При работе над своим проектом я обозначил своей целью изучить понятие золотого сечения и доказать на примерах, что этой закономерности подчиняются красота и гармония окружающего мира.

В ходе изучения понятия золотого сечения и исследования вопросов, связанных с ним,я считаю, что выполнил поставленные для себя задачи. На примерах я доказал своим одноклассникам, что общеинтеллектуальное значение математики велико, что многие неуловимые вещи в нашем мире подчиняются математическим законам. А исследования пропорций строения человеческого тела дали интересные результаты и очень заинтересовали моих сверстников. Наверное, каждый из них почувствовал себя чуть счастливее, когда узнал, что его тело сложено по идеальной пропорции, что лицо красиво и имеет правильные черты, а рука имеет множество загадок. Надеюсь, что теперь, глядя на многие окружающие моих друзей предметы, они задумаются: а нет ли в них золотой пропорции, а красивы ли они с точки зрения математики?

Практическое же применение моей работы можно будет увидеть, когда мы со своими одноклассниками на пришкольном участке разобьем цветочный газон на полосы в отношении 5 : 8 или 8 : 13 и засеем эти полосы разными цветами.

Так же можно в золотом отношении разметить снизу вверх стены в помещении, желая покрасить одну часть одним цветом, а вторую другим. Конечно, не только золотым сечением определяются пропорции, доставляющие удовлетворение человеческому взору, но все же оно довольно распространено.