Применение симметрических многочленов для решения задач школьного курса математики

При подготовке к вступительному экзамену в ВУЗ или к выпускному мы часто сталкиваемся с проблемой невозможности применить тот или иной метод, изученный ранее, в силу многих причин - громоздкости вычислений, отсутствие формулы для подобного решения и д. р. Изучив задания из сборника экзаменационных заданий, пробных экзаменационных заданий различных ВУЗов, мы пришли к выводу, что для успешного их решения нужны не только базовые знания формул и стандартных алгоритмов решения. Особую сложность представляют уравнения высших степеней, системы уравнений с двумя и более неизвестными, системы уравнений высших степеней, иррациональные уравнения и многие другие.

Не для всех существуют общие алгоритмы или приемы решения. Чаще встречаются методы решения частных случаев. В связи с этим перед нами встала проблема: при помощи дополнительной литературы выявить имеющиеся методы решения, не рассматривающиеся или рассматривающиеся достаточно бегло в школьном курсе математики, затем помочь широкой массе школьников и будущих выпускников освоить найденные методы, т. е. предложить хорошую возможность достойно подготовиться к выпускному и вступительному экзаменам.

Прежде чем переходить к исследованию и решению метода симметрических многочленов, вспомним некоторые стандартные методы решения уравнений, неравенств и других заданий, изучаемые в школьном курсе математики. Это:

• разложение многочлена на множители (метод введения новой неизвестной, вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, способа группировки, выделение полного квадрата);

• метод понижения степеней;

• метод интервалов;

• раскрытие знака модуля;

• метод подстановки и т. д.

Необходимыми в работе всегда являются различные теоремы

(Виета, Безу и т. д. ).

Теорема Безу (без док-ва): Остаток от деления многочлена f(x) = а о х n + а 1 х n-1 +. + а n-1 х + а n.

на x – a равен значению этого многочлена при x = a, т. е. равен числу f(a) = а о a n + а 1 a n-1 +. + а n-1 a + а n.

Следствие из теоремы Безу:

Если число a является корнем многочлена f(x) (т. е. если f(a) = 0), то этот многочлен без остатка делится на x – a.

Симметрические многочлены от двух переменных

Многочлен (полином) - алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Axkyl. wm, где x, y,. , w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l,. , m (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде: ао х n + а1 х n-1 +. + аn-1 х + а n.

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а x на y.

Например, многочлен x2y +xy2 – симметрический, а многочлен x3-3y2 таковым не является, т. к. при замене получается многочлен y3-x2, не совпадающий с первоначальным. Симметрическими являются также многочлены x+y и xy, называющиеся элементарными симметрическими многочленами от x и y, для которых используют специальные обозначения:

σ1=x+y, σ2=xy

Буква σ читается как «Сигма».

Кроме них часто встречаются так называемые степенные суммы, т. е. многочлены вида x2+y2, x3+y3,. , xn+yn. Степенные суммы также имеют специальные обозначения:

S1= x+y,

S2= x2+y2,

S3=x3+y3,

S4=x4+y4,

Sn=xn+yn.

Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от σ1 и σ2 и подставим в него вместо σ1 и σ2 их выражения от x и y. Например, из многочлена σ13-σ1σ2 мы получим многочлен (x+y)3- (x+y)xy = x3+2x2y+2xy2+y3.

Если взять любой многочлен от σ1 и σ2 и подставить в него вместо σ1 и σ2 их выражения σ1=x+y, σ2=xy, то получится симметрический многочлен от x и y.

Степенные суммы с двумя неизвестными без труда выражаются через σ1 и σ2:

S1= x+y= σ1;

S2= x2+y2=(x+y)2 -2xy=σ12- 2σ2;

S3=x3+y3=(x+y) (x2-xy+y2) =(x+y) [(x+y)2 - 3xy] = σ1(σ12 - 3σ2);

S4=x4+y4=(x2+y2)2 - 2x2y2 = (σ12-2σ2)2 - 2σ22;

S5= x5+y5=σ15 - 5σ13σ2+5σ1σ22;

S6= x6+y6=σ16 - 6σ12σ2+9σ12σ22 – 2σ23;

S7= x7+y7=σ17 - 7σ15σ2 + 14σ13σ22 - 7σ1σ23;

S8= x8+y8=σ18 - 8σ16σ2 +20σ14σ22 – 16σ12σ23 + 2σ24;

S9= x9+y9= σ19 - 9σ17σ2 +27σ15σ22 – 30σ13σ23 + 9σ1σ24;

S10= x10+y10= σ110 - 10σ18σ2 +35σ16σ22 – 50σ14σ23 + 25σ12σ24 – 2σ25;

Вообще, любую степенную сумму Sk для двух неизвестных можно выразить через σ1 и σ2 по формуле:

Sk =σ1Sk-1-σ2Sk-2.

С ее помощью можно последовательно вычислять значения степенных сумм.

Симметрические многочлены от трех переменных

Многочлен от x, y, z называется симметрическим, если он не изменяется при перестановке его переменных. Так, симметричен многочлен (x+y)(x+z)(y+z), а многочлен x2z+y2z таковым не является (многочлен z2x+y2x≠x2z+y2z). Есть так же простейшие симметрические многочлены и степенные суммы. Симметрические многочлены вида x+y+z, xy+xz+yz и xyz обозначают соответственно как σ1, σ2 и σ3 (или u , v и w) и называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных, т. е. вводится еще одна переменная - σ3 (сигма три) или w(дабл ю). В отличие от симметрических многочленов от двух переменных, степенные суммы от трех переменных начинаются не с S1, а с S0, для более удобных вычислений. Но и формула для трех переменных, конечно, несколько отличается:

Sk =σ1Sk-1-σ2Sk-2+σ3Sk-3.

Следовательно, степенные суммы соответственно равны:

S0=x0+y0+z0= 1+1+1= 3,

S1=x1+y1+z1= x+y+z = σ1,

S3= x3+y3+z3=σ13-3σ1σ2+3σ3;

S4= x4+y4+z4=σ14 – 4σ12σ2 +2σ22 +4σ1σ3;

S5= x5+y5+z5= σ15 - 5σ13σ2 + 5σ1σ22 + 5σ12σ3 - 5σ2σ3;

S6= x6+y6+z6=σ16 – 6σ14σ2 + 9σ12σ22 – 2σ23 + 6σ13σ3 – 12σ1σ2σ3 + 3σ32;

S7= x7+y7+z7=σ17 – 7σ15σ2 + 14σ13σ22 – 7σ1σ23 + 7σ14σ3 – 21σ12 σ2σ3 + 7σ1σ32 + 7σ22σ3;

S8= x8+y8+z8= σ18 – 8σ16σ2 + 20σ14σ22 – 16σ12σ23 +2σ24 + 8σ15σ3 – 32σ13σ2σ3 + 12σ12σ32 + 24σ1σ22σ3 – 8σ2σ32;

S9= x9+y9+z9= σ19 – 9σ17σ2 + 27σ15σ22 – 30σ13σ23 + 9σ1σ24 +9σ16σ3 – 45σ14σ2σ3 + 54σ12σ22σ3 +18σ13σ32 – 9σ23σ3 – 27σ1σ2σ32 + 3σ33;

S10= x10+y10+z 10=σ110 – 10σ18σ2 + 35σ16σ22 – 50σ14σ23 + 25σ12σ24 – 2σ25 + 10σ17σ3 – 60σ15σ2σ3 + 100σ13σ22σ3 + 25σ14σ32 -40 σ1σ23σ3 – 60σ12σ2σ32+ 10σ1σ33 + 15σ22σ32;

Если σ1= 0, тогда степенные суммы имеют такой вид:

S2= -2σ2;

S3= 3σ3;

S4= 2σ22;

S5= -5σ2σ3;

S6= 3σ32 -2σ23;

S7= 7σ22σ3;

S8= 2σ24 – 8σ2σ32;

S9= 3σ33 – 9σ23σ3;

S10= -2σ25 + 15σ22σ32;

и т. д.

Для симметрических многочленов от трех неизвестных характерно также понятие орбит соответствующих одночленов (или просто орбиты). Симметрические многочлены, полученные из некоторого одночлена при всевозможных перестановках переменных и суммированием получившихся результатов, называются орбитами. По другому это многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен xkylzm, назовем орбитой этого одночлена и обозначим через О(xkylzm). Если все переменные k, l, m различны, то орбита О(xkylzm) будет содержать шесть членов, получающихся путем перестановки его переменных.

Так, О(x5y2z) = x5y2z +x5yz2 +x2y5z + x2yz5 + xy5z2 +xy2z5.

Если в одночлене совпадают два показателя, то орбита содержит три члена:

O(x, y) = xy + xz+ yz,

Если все показатели совпадают (k = l = m), то орбита состоит из одного одночлена:

О(xkylzm)= xkylzm.

Орбита любого одночлена выражается через σ3 и степенные суммы, через σ1, σ2, σ3. Общая формула орбит ( Оп – полная орбита)

Oп = (xkyl) =SkSl – Sk+l.

Итак, любой симметрический многочлен f(x,y,z) есть сумма конечного числа орбит одночленов. Орбиты применяются при доказательстве тождеств, разложении на множители, и т. д.

Метод симметрических многочленов применяется для решения:

• заданий, связанных с квадратными уравнениями;

• уравнений высших степеней (возвратные уравнения);

• иррациональных уравнений;

• рациональных уравнений (т. е. всех остальных уравнений)

• систем уравнений;

• различных видов неравенств и их систем;

• а также для доказательства тождеств.

Глава 2. Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

Уравнения

Многочлен вида f(x)= a0zn+a1zn-1+ +an , где a0≠0 называют возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т. е. а0=аn, a1=an-1, a2=an-2,

Например, многочлен z5-3z4+2z3+2z2-3z+1 и т. д.

Уравнение f(z)=0, левая часть которого возвратный многочлен, называют возвратным.

Теорема: Всякий возвратный многочлен f(z)=a0z2k+a1z2k-1++a2k-1z+a2k четной степени 2k представляется в виде f(z)=zkh(σ), где σ= z+1/z и h(σ) - некоторый многочлен степени k от σ. Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени. (Теорема приводится без доказательства).

Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через σ для четных многочленов (уравнений): z +1/z =σ, z2+1/z2=σ2-2, z3+1/z3=σ3-3σ, z4+1/z4=σ4-4σ2+2, z5+1/z5=σ5-5σ3+5σ, z6+1/z6=σ6-6σ4+9σ2-2, z7+1/z7=σ7-7σ5+14σ3-7σ, z8+1/z8=σ8-8σ6+20σ4-16σ2+2, z9+1/z9=σ9-9σ7+27σ5-30σ3+9σ, z10+1/z10=σ10-10σ8+35σ6-50σ4+25σ2-2,

Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z+1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z.

Уравнения высших степеней (возвратные)

Задача: Решить уравнение 12z4-16z3-11z2-16z+12=0.

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т. е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

12z4-16z3-11z2-16z +12 = z2(12z2-16z-11-16*1/z+12*1/z2) =

= z2[12(z2+1/z2)-16(z+1/z)-11] = z2[12(σ2-2)-16σ-11]=z2(12σ2-16σ - 35).

Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно σ:

12σ2-16σ-35=0.

Решим его.

Д=b2-4ac=162-4*12*(-35)=256+1680=1936.

σ1= (-b+√Д)/2a = (16+44)/2*12=60/24=5/2.

σ2 = (-b - √Д)/2a= (16- 44)/2*12= -28/24= -7/6.

Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения мы получаем две системы: z+ 1/z= -7/6, z+1/z= 5/2.

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения: z1, 2= (- 7±i√95)/12, z3=2, z4=½

Ответ: (- 7+i√95)/12; (- 7 - i√95)/12; 2; ½.

Задача 2: Решить уравнение

4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=0.

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме разделим его левую часть на z+1:

4z11+4z10-21z9-21z8+17z7+17z6+17z5+17z4-21z3-21z2+4z+4=

= (z+1) (4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4).

Таким образом, мы получили два уравнения(т. е. систему уравнений): z+1 = 0,

4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4=0.

Первое имеет корень z1= -1. Второе - представляет собой возвратное уравнение, левую часть которого мы преобразуем:

4z10-21z8+17z6+17z4-21z2+4=z5(4z5-21z3+17z+17*1/z – 21*1/z3+4*1/z5)=

= z5[4(z5+1/z5) - 21(z3+1/z3)+17(z+1/z)]=z5[4(σ5-5σ3+5σ) - 21(σ3-3σ)+17σ]=

=z5(4σ5 – 41σ3+100σ).

Так как z=0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

4σ5 – 41σ3+100σ = 0.

Вынесем σ за скобки:

σ (4σ4 – 41σ2+100) = 0.

σ =0 или 4σ4 – 41σ2+ 100 = 0. Решим биквадратное уравнение, заменяя

σ2 = t, σ= ± √t,

4t2 – 41t + 100 = 0.

Д=b2-4ac= (-41)2- 4 * 4 * 100 = 1681 – 1600 = 81 t1, 2 = (-b ± √Д)/2a= (41±√81)/2*4 = (41±9)/8; t1 = 50/8 = 25/4, t2 = 32/8 = 4.

σ1, 2 = ± √25/4 = ± 5/2,

σ3, 4 = ± √4 = ± 2.

Итак, мы получили пять корней:

σ=0, σ= 5/2, σ= -5/2, σ=2, σ= -2;

Следовательно, мы имеем пять уравнений: z+1/z=0, z+1/z= -5/2, z+1/z= 5/2, z+1/z= 2, z+1/z= - 2.

Решая их и учитывая корень z1 = - 1, получим одиннадцать корней исходного уравнения: z1= -1, z2=i, z3= -i, z4= -2, z5= -½, z6=2, z7=½, z8=z9= -1, z10=z11=1.

Ответ: - i, -2, -1, -½, ½, 1, 2, i.

Задания, связанные с квадратными уравнениями.

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x2+6x+10 =0.

Решение: Пусть x1, x2 - корни исходного уравнения, y1, y2 - корни искомого уравнения, а p и q – коэффициенты искомого уравнения.

По теореме Виета: сумма корней первого уравнения: x1+x2=σ1= -b = -6, а произведение этих корней: x1x2= σ2 =c=10.

Аналогично, сумма корней второго уравнения: y1+y2= -p, а произведение этих корней: y1y = q.

По условию мы имеем: y1 = x12, y2 = x22.

Поэтому p= -(y1+y2)= -(x12+x22) = -S2 = -(σ12- 2σ2)= -16 и q=y1y2 = x12x22 =σ22= 100.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид: y2 - 16y + 100 = 0.

Ответ: y2-16y+100 = 0.

Иррациональных уравнений

Задача: Решить иррациональное уравнение 4√97 – x + 4√x = 5.

Решение: Положим 4√x = y, 4√97 – x = z. Тогда исходное уравнение имеет вид: y + z = 5.

Кроме того, мы имеем: y4 + z4 = x+ (97 – x) = 97.

Таким образом, мы получили систему уравнений y+z=5, y4 + z4 = 97.

Введем новые неизвестные σ1 = x+y, σ2 = xy. Теперь мы имеем систему уравнений:

σ1 = 5,

σ1 – 4σ12σ2 +2σ22 = 97.

из которой мы получаем для σ2 квадратное уравнение:

σ22 – 50σ2 +264 = 0.

Решим его. Пусть σ2 = t, t2 – 50t + 264 = 0.

По теореме Виета получаем t1 +t2 = 50, t1 t2 = 264.

t1 = 6, t2 = 44.

Так что σ2 = 6 и σ2 = 44. Мы получили две системы уравнений:

σ1 = 5, σ1 = 5,

σ2 = 6; σ2 = 44.

Или: y+z = 5, y+z = 5, yz = 6; yz = 44.

Первая система имеет два решения: y1 = 2, y2 = 3, z1 = 3; z2 = 2.

Но y=4√x , и, следовательно, для первоначального x есть два решения: x1 = 16, x2 = 81.

Вторая система дает для y и z (значит, и для x) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

Ответ: 16, 81.

2. 2 Неравенства и тождества

Метод симметрических многочленов также с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех и более переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема.

Теорема: Пусть σ1 и σ2 – действительные числа. Для того, чтобы оба числа x, y,определяемые из системы уравнений x + y = σ1, xy = σ2, были действительными, необходимо и достаточно, чтобы σ1 ,σ2 удовлетворяли неравенству σ12 – 4σ2 ≥ 0. Равенство

σ12 =4σ2 достигается лишь в случае, если x = y. Для того чтобы оба числа x, y были действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа σ1, σ2 удовлетворяли неравенствам σ12 – 4σ2 ≥ 0, σ1 ≥0, σ2 ≥0. (Теорема приводится без доказательства).

Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так:

• заменяют симметрический многочлен f(x,y) его выражением через σ1 и σ2. ;

• заменяют σ2 выражением через σ1 и неотрицательную величину z= σ12 – 4σ2, т. е. подставляют σ2 = ¼ ( σ12 – z);

• получают многочлен от σ1 и z, и в зависимости от условия доказывают то, что нужно доказать (решить). Как правило, сделать это в отношении исходного неравенства значительно сложнее, для чего и применяется метод симметрических многочленов;

• иногда заменяют σ12 его выражением через σ1 и z, т. е. σ12= z + 4σ2.

Для любых действительных чисел x, y, z, справедливо неравенство σ12 ≥ 3σ2; равенство достигается лишь при x=y=z.

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовывать одну из частей тождества до полного совпадения этих частей. Если обе части доказываемого тождества выражаются через разности a – b, b – c, c – a, то удобно сделать замену: x= a – b, y= b – c, z = c – a; тогда x + y + z = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0.

Неравенства

Задача: Доказать, что если а и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b ≥c, то справедливы неравенства: a2 + b2 = c2/2, a4 + b4 = c4/8, a8 + b8 = c8/128.

Доказательство:

Введем элементарные симметрические многочлены σ1 = a+b,

σ2 = ab. Мы имеем:

S2 = a2 + b2 = σ12 – 2σ2 = σ12 – 2*¼ ( σ12 –z) = ½ σ12 + ½z.

Так как z ≥ 0, а по условию задачи σ1 ≥ c, то S2 ≥ ½c2, т. е.

a2 + b2 ≥ ½c2.

Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим: a4 + b4 ≥ ½(½c2)2=⅛с4.

Аналогично находим, что a8 + b8 ≥ с8/128.

Применяя метод математической индукции, можно таким путем доказать, что если a + b ≥ c и n- произвольное натуральное число, то a2n + b2n ≥ (1/22n-1)*c2n.

Задача 2: Доказать, что для любых положительных чисел x,y,z справедливо неравенство σ1σ2 ≥ 9σ3.

Доказательство:

Так как числа x,y,z положительны, то σ1>0, σ2>0, σ3>0. Поэтому неравенства σ12 ≥ 3σ2, σ22 ≥ 3σ1σ3, можно перемножить. Мы получили

σ12σ22 ≥ 9σ1σ2σ3. Сокращая на положительную величину σ1σ2, мы и получаем требуемое неравенство σ1σ2 ≥ 9σ3. Равенство σ1σ2 = 9σ3, достигается лишь в том случае, если x=y=z.

Доказательство тождеств

Задача: Доказать тождество (x+y+z)(xy+xz+yz) – xyz = (x+y)(x+z)(y+z).

Доказательство:

Левая часть тождества есть не что иное, как σ1σ2 – σ3.

Раскроем скобки в правой части тождества. Мы получаем:

(x+y)(x+z)(y+z)= x2y + x2z + y2x + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz= O(x2y) + 2σ3=

=(σ1σ2–3σ3) + 2σ3 = σ1σ2 – σ3.

Итак, тождество доказано.

2. 3. Системы уравнений

От двух переменных:

Задача: Решить систему уравнений: x5 + y5 = 33, x + y = 3.

Решение: Полагая S5=x5 + y5 , σ1=x+y, σ2=xy, получаем:

σ15 -5σ13σ2 + 5σ1σ22= 33,

Подставив σ1 в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно σ2:

15σ22 – 135σ2 + 210 = 0 : 15,

σ22 – 9σ2 + 14 = 0,

Решим его. Пусть σ2=t, тогда уравнение имеет вид t2 – 9t + 14 = 0.

Тогда по теореме Виета получаем: t1 + t2 = 9, t1t2 = 14.

t1 =7, t2 =2.

Итак, σ2=2 и σ2=7. Мы получили две системы уравнений: x + y = 3, x + y = 3, xy = 2; xy = 7;

Решая их методом подстановки, получим четыре системы решения первоначальной системы: x1=2, x2=1, x3=3/2 + (√19/2)*i, x4=3/2 – (√19/2)*i, y1=1; y2=2; y3=3/2 – (√19/2)*i; y4=3/2 + (√19/2)*i;

(2;1); (1;2); (3/2 + (√19/2)*i; 3/2 – (√19/2)*i); (3/2 – (√19/2)*i; 3/2+ (√19/2)*i).

От трех переменных:

Задача: Решить систему уравнений x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 2, xyz = 0.

Решение:

Это – симметрическая система уравнений. Положим x + y + z = u, xy + xz + yz = v, xyz = w. Поскольку x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 -2(xy + yz+xz), то x2 + y2 + z2 = u2 – 2v, и, следовательно, заданная система имеет следующий вид: u = 2, u2 – 2v = 2, w = 0.

Отсюда мы получаем u = 2, v =1, w = 0. Эта система полностью эквивалентна исходной системе. Для ее решения необходимо найти корни кубического уравнения z3 – 2z2 + z = 0: z3 – 2z2 + z = 0,

Вынесем z за скобки. Получим: z(z2 – 2z +1) =0, z1 = 0 или z2 – 2z +1 =0, z2 + z2 = 2, z2z3 = 1; z2 = 1, z3 = 1.

Получили три корня. А решения первоначальной системы получаются путем перестановок этих корней.

Ответ: (0;1;1), (1;1;0), (1;0;1).

Решение нестандартных заданий, задач повышенной сложности позволяет развивать логику мышления, а также повышает шансы учащегося на успешную сдачу экзамена по математике и более легкое обучение в ВУЗе. Таким образом, в нашей работе был освещен метод симметрических многочленов как один из достаточно общих и удобных методов решения уравнений и систем уравнений. Несомненным плюсом нашего исследовательского проекта является наличие «Задачника» - сборника заданий по каждой из рассмотренных тем.

Считаем, что наша работа и «Задачник» окажутся полезными не только учащимся и педагогам, но и руководителям дополнительных факультативных занятий, и конечно, поступающим и выпускникам. Удачи всем вам!