Применение кругов Эйлера к решению задач

В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?

В математике, когда какие-нибудь объекты собираются вместе говорят одно и то же слово – множество. Сказать «стадо чашек» нельзя, а множество чашек – можно. Сказать «бригада коров» нельзя, а множество коров – можно.

Предметы или живые существа, входящие во множество, называются элементами этого множества. Между множествами могут быть различные виды отношений. Для наглядной геометрической иллюстрации соотношений между множествами используются диаграммы Эйлера-Венна. Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества.

Леонард Эйлер (1707-1783) – крупнейший математик. Родившись в Базеле (Швейцария) в семье пастыря, Леонард получил первоначальное образование у своего отца. Отец предназначал сына к богословскому званию и определил его по окончании средней школы на теологический факультет. Однако Эйлер интересовался не теологией, а математикой, и стал слушать лекции известного профессора математики Иоганна Бернулли.

В 19 – летнем возрасте Эйлер опубликовал первую свою научную работу и принял участие в объявленном Парижской академией наук конкурсе на тему о наилучшем расположении мачт на корабле. В 1727 году Эйлер приехал в Петербург.

В Петербурге Эйлер нашел все необходимые условия для большой научной деятельности и широкие возможности для публикации своих трудов. Здесь он женился, провел большую часть творческого периода своей жизни, став главой первой русской математической школы, написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги.

Решая математические головоломки и развлекательные задачи, Эйлер заложил основы теории графов, ныне широко используемой во многих приложениях математики. Напряженная работа повлияла на зрение ученого. В 1735 году он ослеп на один глаз, а в 1766 на оба. Операция привела к незначительному улучшению: ученый мог лишь разбирать записи, сделанные мелом на черной доске. Но и после этого Эйлер продолжал работу, диктуя ученикам свои статьи.

Умер Эйлер в 76 лет и был похоронен на Смоленском кладбище Санкт-Петербурга. В 1957 году его прах был перенесен в Александро-Невскую лавру. Эйлер прожил в России 31 год. Многие дети и внуки остались жить в России, некоторые из его потомков поныне проживают в нашей стране.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, и они получили название «круги Эйлера».

Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N -множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел, Q - множество рациональных чисел, R - множество всех действительных чисел.

Общую часть множеств называют пересечением. Изображают так:Объединение множеств называют множество всех элементов, принадлежащих данным множествам.

А теперь вернемся к нашей задаче.

А-множество учащихся имеющих разряды по легкой атлетике.

В-множество учащихся имеющих разряды по плаванию.

С-множество учащихся имеющих разряды по гимнастики.

Нам надо найти, сколько элементов, то есть учащихся входят в пересечение множеств.

12 -2 = 10 - учащихся только по легкой атлетике.

10 -2 = 8 - учащихся только по плаванию.

5 -4 = 1 - учащихся только по гимнастике.

20-[(12-2)+(10-2)+(5-4)]=20-10-8-1=20-19=1 (уч. ) имеют разряд по всем видам спорта.

Задача 2

В классе можно изучать английский или французский язык. Известно, что английский язык изучают 20 школьников, а французский – 17. Всего в классе 32 ученика. Сколько учащихся изучают оба языка: и английский и французский

Решение.

А – изучают английский язык

В - изучают французский язык

Надо найти пересечение множеств.

20+17-32=5 учащихся

Задача 3

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро – фиалки. И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте сколько у меня подруг?

Решение

А - лилии

В - фиалки

Пересечение множеств равно 2 ( и лилии, и фиалки)

6 – 2 = 4 – разводят только лилии

5 – 3 = 2 – разводят только фиалки

4 + 3 + 2 = 9 (подруг)

Задача 4

В классе 40 человек. Из них по математике имеют тройки-17 человек, по русскому языку- 19 человек, по физике 22 человека. 4 человека имеют тройки только по русскому языку , 4 только по математике и 11 человек только по физике. Пять человек имеют тройки по русскому языку, математике и физике. Сколько человек учатся без троек?

А – множество учащихся, имеющих тройки по русскому языку.

В – множество учащихся, имеющих тройки по математике.

С – множество учащихся, имеющих тройки по физике.

Всего в множество В входит 17 человек, значит 17-(4+2+5)=6 (чел. ) – только по русскому и математике.

Всего в множество А входит 19 человек, значит 19-(4+5+6)=4 (чел. ) – только по русскому и физике

Складываем все числа, которые получились на схеме: 4+4+11+6+4+2+5=36.

Всего учащихся 40. Значит без троек учатся 40-36= 4 человека

Задача 5.

В деревне 44 дома, и в каждом доме проживает одна семья. Известно, что 25 семей держат коров , 28 семей – овец и 26 семей – свиней. Причем 15 семей держат коров и овец, 13 семей – овец и свиней, 5 семей – коров, овец и свиней. Сколько семей держат коров и свиней?

А – множество семей, имеющих коров.

В – множество семей, имеющих свиней.

С – множество семей, имеющих овец.

44-[(25-15)+(28-13)+(26-х)]=5

44-25-26+Х

Х=5-44+51

25 – 15 = 10 – семей, имеющих только коров.

28 – 13 = 15 – семей, имеющих только овец.

26 –Х – семей, имеющих только свиней.

Задача 6.

Ученики нашего класса принимали участие в олимпиаде по биологии и русскому языку, часть – только по биологии, а часть в двух олимпиадах. По биологии принимало участие 85%, по русскому языку 75%. Сколько процентов учащихся участвовало в двух олимпиадах?

Решение.

А – множество учеников, принимающих участие в олимпиаде по биологии.

В – множество учеников, принимающих участие в олимпиаде по русскому языку.

100% - все учащиеся.

100% - 85% = 15% Учащиеся, участвующие в олимпиаде только по русскому языку.

75% - 15% = 60% Учащиеся, участвующие в двух олимпиадах.

Задача 7.

В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.

А – множество нападающих.

В– множество полузащитников.

С – защитники.

30 – [(18 – 3) + (17 – 6) + (11 – 10) + 1] = 30 – 15 – 11 – 1 – 1 = 30 – 28 = 2 (вратаря)

Задача 8.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение

А – множество человек, которые пользуются метро.

В – множество человек, которые пользуются автобусом.

С – множество человек, которые пользуются троллейбусом.

Пусть Х – пользуются всеми видами транспорта, тогда 20-10=10 – только метро, 23-9=14 – только троллейбусом, 15-12=3 – только автобусом.

Х=30-10-14-3

3 человека пользуются всеми видами транспорта.

Вывод: В результате работы над данной темой мы пришли к следующему выводу: «Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными».