Правильные многогранники: математика, искусство, оригами

Мир исполнен симметрии. С древнейших времён с ней связаны наши представления о красоте. Лист дерева, кристалл самородка – их формы, завершённые и причудливые, широко используются в декоративном искусстве и служат темой обсуждений специалистов прикладного творчества и архитектуры.

Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Благодаря научным разработкам многих поколений математиков мы многое знаем о законах их конструирования и моделирования, используем эти законы в повседневной деятельности.

Обычно модели многогранников конструируют из развёрток. Этот способ в достаточной мере изучен и широко применяется в науке и технике. Но есть и другой способ – с помощью модулей оригами.

Оригами - это искусство складывания из листа бумаги, чаще всего квадратного, различных фигур без использования ножниц и клея. Слово «оригами» - японского происхождения и состоит из двух слов: «ори» - сложенный и «ками»- бумага. История возникновения оригами неразрывно связана с появлением в Японии бумаги. Оригами как способ создания из бумаги разнообразных поделок зародилось в Японии более тысячи лет тому назад, об истории происхождения этого искусства почти ничего не известно.

Предполагают лишь, что изготовление красочных фигурок в далёкой древности не было только забавой или увлечением, а являлось священным ритуальным действием, связанным с религиозным культом «многоликой» и «тысячерукой» богини милосердия Каннон. Фигурками украшали статую, чтобы задобрить богиню, попросить у неё покровительства.

Утратив со временем своё религиозное предназначение, оригами стало украшением японского быта, народных праздников, карнавальных шествий. Это искусство, привлекающее и взрослых и детей, уже давно перешагнуло границы своей родины, получив широкое распространение во многих странах. Свидетельство тому - представительные различные выставки, центры оригами. Знаменитые бумажные журавлики, выполненные способом оригами, стали символом движения против атомной войны. Этих журавликов делают дети всей земного шара и присылают японским сверстникам, выражая тем самым свою солидарность в борьбе за мир и каждый год, в честь международной акции «Волна мира» в небо Хиросимы взлетают сотни тысяч бумажных журавликов. А как вечный символ протеста против войны возвышается журавлик на памятнике в мемориальном парке Мира в Хиросиме.

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому как многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. На многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения: каждое ребро должно являться общей стороной двух и только двух граней, называемых смежными; каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней; для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Правильные многогранники, или Платоновы тела – это выпуклые многогранники с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильными, если:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двухгранные углы равны.

Существует только пять правильных многогранников.

Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180о.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240о.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300о.

Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270о.

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324о.

Так как сумма плоских углов при вершине многогранника должна быть меньше 3600, то других правильных многогранников не существует.

Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников представлены в таблице.

Название многогранника Рисунок Число и вид граней Число вершин Число ребер

Тетраэдр 4 треугольных 4 6

Октаэдр 8 треугольных 6 12

Куб 6 квадратных 8 12

Икосаэдр 20 треугольных 12 30

Додекаэдр 12 пятиугольных 20 30

Правильные многогранники в искусстве

Самые первые изображения правильных многогранников относятся к 2000 году до нашей эры (Шотландия).

Из 2 – 4 веков нашей эры (Германия) до нас дошли бронзовые изображения правильных многогранников.

Платон (427 – 347 г. до н. э. ) отводил правильным многогранникам особую роль в объяснении устройства окружающего мира. Атомы огня, по его мнению, имели форму тетраэдра, земли – куба, воздуха – октаэдра, воды –

икосаэдра. Додекаэдр играл роль всеобъемлющей Вселенной.

Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в ней вписывается икосаэдр. И Кеплер предложил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчетов хорошо согласовывались с действительными расстояниями между планетными орбитами.

Большую роль правильные многогранники играли в творчестве Леонардо да Винчи.

Вариации на темы работ Леонардо до Винчи встречаются в живописи и архитектуре различных стран.

Франция, 1560 год

Англия, 1653 год

Додекаэдр встречается в работах художника эпохи Ренессанса Луки Пачиоли (1445 – 1514).

В картине Сальвадора Дали «Тайная вечеря» подчеркивается роль додекаэдра в объяснении системы мира по Платону.

И работы современных авторов

Правильные многогранники и оригами

Немного истории

Знакомство с оригами следует начинать с древней истории. Именно там, в Древнем Китае, в 105 году нашей эры появились первые предпосылки для возникновения оригами - искусства складывания любых фигурок из квадратного листа бумаги без использования ножниц и клея. Как свидетельствует история, в том знаменательном году чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о том, что создана технология производства бумаги. Многие десятилетия под страхом смертной казни китайцы хранили тайну создания белого листа. Но со временем, когда монахи Китая начали свои путешествия в Японию, вместе с ними стали путешествовать, и некоторые тайны этой страны. В 7веке странствующий буддийский монах Дан-Хо, о котором современники говорили, что он богат знаниями и умеет делать тушь и бумагу, пробирается в Японию и обучает монахов изготавливать бумагу по китайской технологии. Очень скоро в Японии сумели наладить свое массовое производство бумаги, во многом обогнав Китай.

Первые листочки бумаги, сложенные в необычные фигурки появляются сначала в монастырях. Иначе и быть не могло. Ведь в японском языке понятия "Бог" и "Бумага" звучат одинаково, хотя и обозначаются разными иероглифами. Фигурки из бумаги имели символическое значение. Они становились участниками религиозных церемоний. Украшали стены храмов. Помещались на жертвенный костер. До наших дней дошли одни из первых фигурок из бумаги - коробочки "санбо", в которые японцы вкладывали кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений. Но это еще не было искусство. Просто лист бумаги, очень ценный и дорогой, несущий в себе имя Бога, становился неотъемлемой частью жизни японца.

В средние века, когда производство бумаги позволило снизить на нее цену, искусство складывания проникло в быт дворянства. И тогда появилось искусство самураев. В те времена считалось признаком хорошего воспитания умение богатого дворянина развлечь свою даму на балу складыванием бумажных фигурок. Тогда же возникло и искусство сворачивания тайных писем. Используя свое умение, самураи так складывали свои записки, что только посвященный мог развернуть его. Кроме того, оригамные фигурки часто использовали в свадебной церемонии, украшении домов или праздничных шествиях.

Со временем оригами (а этот термин возникает только в 1880 году) становится обязательным занятием во многих японских семьях. Мамы передавали свои знания дочкам, показывая немногие известные им фигурки.

Искусство оригами существовало много веков как храмовое, чрезвычайно регламентированное по технике исполнения. Количество фигурок было не велико. Но приемы работы с бумагой, как с материалом на, котором можно не только рисовать, но и особым образом сворачивать, тщательно шлифовались.

Если обратиться к истории разных стран, то практически везде, где существовало производство бумаги, сложились свои традиции складывания из плоского листа различных фигурок. Например, Северная Африка или Латинская Америка. Но именно Япония подарила миру искусство оригами.

Расцвет оригамного творчества приходится на середину двадцатого века, когда рабочий-металлист Акиро Йошидзава решил посвятить себя оригами и его развитию. Основная заслуга Йошидзава в том, что он сумел создать то, что сегодня называется "оригамная азбука". Условные обозначения, символы, графические знаки, придуманные Акиро, позволили зафиксировать на бумаге процесс складывания оригамной фигуры. Это замечательное открытие позволило оригами стать универсальным международным языком. И сегодня все книги, посвященные искусству оригами, используют оригамную азбуку Акиро Йошидзава.

В сороковых годах нашего столетия в Америке и Европе появляется множество энтузиастов, для которых древнее японское занятие становится способом реализации собственных творческих возможностей. И создаются первые Центры и школы оригами. Особая заслуга в этом принадлежит "бабушке Американских оригамистов" Лилиан Оппенгеймер. Именно она создала первый Центр Оригами в Нью-Йорке.

А что сегодня?

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Практически во всем мире это искусство развивается в соответствии с традициями народа. Появились новые направления оригами и области его применения. Так, математики открыли множество возможностей для решения геометрических и топологических задач. Архитекторы и строители увидели в оригамном конструировании возможности для создания многогранных структур из плоского листа. Даже возник новый термин - "оригамика". Для педагогов оригами уникальная возможность развития тонкой моторики ребенка, что прямо связано с развитием интеллекта. Для психологов оригами - это одно из направлений арттерапии, возможности оказания психологической помощи больному посредством искусства.

Универсальный модуль для построения моделей тетраэдра, октаэдра, икосаэдра

Построение начинаем с правильного Наметить три линии сгиба, совмещающие стороныНаметить средние линии получившегося шестиугольника шестиугольника через одну с соответствующей правильного треугольника .

Получилась фигура, составленная из трех равносторонних треугольников. Так как у треугольника нечетное число сторон, а при

Средний треугольник – основная часть. Одна сторона этого треугольника построениях желательно, чтобы число карманов и вставок имеет удобный карман в форме равного ему треугольника. Два оставшихся совпадало, то второй вариант модуля получается из этого треугольника играют роль вставок . выворачиванием вовнутрь одного из треугольников-вставок (рис.

При желании, преобразуя этот модуль дальше, можно получить треугольный модуль с тремя карманами и без вставок.

Пример готовой модели икосаэдра:

Додекаэдр (автор – Поль Джексон)

Для построения одного модуля необходимо сначала разделить квадрат на три равные части. Можно это сделать методами оригами, как показано на схеме.

А можно использовать теорему Фалеса.

Выполняя построения, указанные на схеме, получаем готовый модуль. Из двенадцати таких модулей собирается модель додекаэдра.

Кусудамы и многогранники

Из бумаги можно построить удивительные конструкции, которые в оригами называются кусудамы, в основе которых − правильные многогранники.