Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Построение пентаграммы - символа школы пифагорейцев

У меня дома находится большое количество книг, энциклопедий, справочников. Все они помогают мне в учебе. Однажды мама купила книгу <<Знаменитые ученые>>. Просматривая книгу, я прочел небольшую статью о Пифагоре. Мне стало интересно, кто этот человек, чем он прославился, что он изобрел, почему люди помнят его столько столетий.

Мои родители изучают новую науку - Универсологию. Папа рассказал мне, что Универсология - это междисциплинарная наука, возникшая в 1994 году. В основе этой науки лежит учение Платона о триадности жизни, Аристотеля - о четырех первопричинах мира, Пифагора - о числах как о количестве и качестве.

Пифагор родился около 570 г. до н. э. на о. Самос, расположенном у берегов Малой Азии. Он был сыном состоятельного гражданина Мнесарха. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело- ремесло золотых дел мастера. Но жизнь рассудила иначе. Будущий философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. Юный Пифагор мечтал о путешествиях в дальние страны, завороженный, он слушал рассказы капитанов кораблей и путешественников, которые останавливались на острове Самос, о дальних морях и странах.

Где - то там, за горизонтом, лежали страны, подернутые голубой дымкой, роскошный Египет и великий Вавилон. Юный Пифагор покидает родину, и начинаются его путешествия.

Его путь лежит в Египет, который он исколесил вдоль и поперек. Он прожил там 22 года. Затем Пифагор попадает в плен к персидскому завоевателю Камбизу, и тот увозит мыслителя в Вавилон. Именно в Вавилоне состоялся Пифагор как философ. Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди звали себя мудрецами. Он ввел в обращение термин философ, т. е. тот, кто пытается найти, выяснить.

Пифагора интересуют вавилонские традиции и обычаи, он изучает язык халдейских мудрецов. Математики знакомят Пифагора с теорией чисел, он изучает математические закономерности расположения светил в космосе.

Также Пифагор побывал в Индии, где изучил достижения индийских математиков.

Пифагору 40 лет, и он возвращается на родину, на о. Самос. Там правит жестокий тиран Поликрат. Гордый ученый не склонил голову перед ним. Он уезжает и поселяется на юге Италии, в Кротоне, окруженный поклонниками и почитателями. Власть имущие этого города искали его совета. Он собрал вокруг себя небольшую группу преданных учеников, которых посвятил в глубокую мудрость, ему открытую, в основы оккультной математики, музыки, астрономии.

В Кротоне создается пифагорейский союз, школа Пифагора. Это школа для избранных с суровой дисциплиной, своего рода философское, политическое и религиозное братство. Его ученики никогда не произносили его имени, а использовали слова Мастер или Этот Человек. Он имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему.

Говорил Пифагор всегда верно и убедительно, как греческий оракул. В его школе было около 2 000 учеников. Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом.

Пифагорейцы занимаются геометрией, математикой, гармонией, астрономией. Пифагор одним из первых заявил, что Земля имеет форму шара, а Солнце, Луна и другие планеты имеют собственную траекторию движения.

В 60 лет он женится на одной из своих учениц. У них рождается трое детей, и все они становятся последователями своего отца.

Пифагор был величайшим мыслителем своего времени, выдающимся математиком, замечательным астрономом, труды которого дошли до наших дней и будут долго востребованы в будущем!

2. Теория чисел.

Все вещи можно представить в виде чисел.

Пифагор.

Пифагор был одним из первых, кто начал размышлять о числе. Для пифагорейцев число-главный объект математики. Они рассматривали его как собрание единиц, то есть изучали только целые положительные числа. С их помощью пифагорейцы хотели объяснить все процессы, протекающие вокруг человека, устройство вещей и Вселенной.

С точки зрения Пифагора, все отношения могут быть сведены к числовым, числа являются основой Вселенной, то есть каждый элемент материи может быть выражен в виде определенного набора нулей и единиц (оцифрован).

Пифагор отождествлял числа с вещами. Справедливо, что единица является наименьшим целым положительным числом, а точка - наименьшим элементом материи.

Пифагорейцы представляли числа в виде точек (количество которых равно этому числу), которые затем группировали в геометрические фигуры. Так возникли фигурные числа:

1. Линейные числа - это числа, которые делятся лишь на единицу и само себя (такими числами являются 2,3,5,7,11 и т. д. ) и, следовательно, представимы только в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

Линейное число 5 изображалось так:

2. Плоские числа - это числа, образованные в результате произведения двух сомножителей (числа 4,6,8,9,10 и т. д. ).

Плоское число 6 (2*3):

3. Телесные числа - это числа, образованные в результате произведения трех множителей (числа 8,12,18, и т. д. ).

Телесное число 8 (2*2*2):

Сложно понять взаимоотношение вещей и чисел в философии Пифагора. Создается впечатление, что у пифагорейцев не было единомыслия в этом вопросе. Они то отождествляли вещи и числа, то видели в числах компоненты вещей, то понимали числа как их сущности, а то даже отделяли числа от вещей, утверждая, что вещи подражают числам.

. Божественная удача распорядилась так, что Пифагор проходил как-то раз мимо кузницы, в которой работали кузнецы, и услышал удары молотов о железо, производивших во всех комбинациях, кроме одной, разнообразные гармонические звуки>>.

Рассмотрев хорошенько молоты, Пифагор понял, что те, массы которых находились в простом математическом отношении (образовывали друг с другом простые дроби) издавали гармоническое звучание. Иначе говоря, молоты, вес которых составляет половину, две трети или три четверти веса какого-то определенного веса, порождают гармонические звучания. С другой стороны, молот, порождающий дисгармонию (если ударить им одновременно с любым из других молотов), имеет вес, не образующий простого отношения с весом любого из других молотов. Пифагор открыл, что простые отношения чисел отвечают за гармонию в музыке.

Затем Пифагор применил свою новую теорию музыкальных отношений к лире, рассматривая свойства одной струны. Если просто ущипнуть струну, то возникает стандартная нота, или тон, который создается всей длиной колеблющейся струны. Зажав струну в определенных точках, можно породить другие колебания и тоны. Важно то, что гармонические тона возникают только при зажиме струны в определенных точках.

Это открытие навело пифагорейцев на мысль: если соотношение нот в музыкальном звукоряде можно выразить в числовых соотношениях, тогда почему бы и все необычные и, казалось бы, разрозненные явления Вселенной не свести к числам.

Пифагор и его последователи - пифагорейцы при исследовании геометрических фигур, получили числа, по которым можно построить треугольники и квадраты, их называют "треугольные числа" и "квадратные числа" (Рис. 1). Именно эти числа в то время связывали арифметику и геометрию.

Треугольные числа: Квадратные числа:

1 3 6 1 4 9

Действительно, построенные по точкам фигуры являются треугольниками и квадратами соответственно.

Другой аспект теории Пифагора состоит в том, что числа от одного до девяти включительно (простые числа) являются главными, и утруждать себя большими числами необязательно. Любое громоздкое число можно без труда свести к одному из простых чисел. Так, например, число 431 не является простым, поэтому складываем сотни, десятки и единицы: 4+3+1=7. Получившееся число 7 простое. С числом 5381 преобразование получается немного длиннее, так как 5+3+8+1=17. Число 17 находится вне ряда простых чисел, поэтому загоняем его туда уже известным нам способом: 1+7=8.

Больше всего из первого десятка Пифагора интересовали числа 1, 2, 3, 4, так как в результате их сложения получается число 10, обозначающее в науке о тайном значении числа бесконечность, привело его к выводу, что эти четыре цифры являются основой всех остальных и, следовательно, лежат в основе организации Вселенной.

Итак, существует несколько аспектов теории чисел Пифагора. Во-первых, представление числа в виде точек, которые нашли выражение в понятии фигурных чисел: линейные числа, плоские числа, телесные числа. Во-вторых, представление числа, благодаря которому можно построить треугольники и квадраты, получившие название "треугольные числа" и "квадратные числа". В-третьих, представление о том, что числа от одного до девяти включительно (простые числа) являются главными.

3. Таблица Пифагора

Впервые с таблицей Пифагора я познакомился на уроках математики в начальной школе. Пользуясь этой таблицей, можно очень быстро решать примеры и задачи.

Для вычисления произведений однозначных чисел ранее использовались разные способы, которые сильно замедляли процесс вычислений и служили источником дополнительных ошибок. С введением таблицы Пифагора удалось облегчить устный и письменный счет. Таблица Пифагора представляет собой таблицу, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находятся их произведения.

Таблица умножения Пифагора стала эффективной лишь с изобретением десятичной позиционной системы счисления. Это произошло в 15 веке, когда в Европе разгорелась борьба между <<абацистами>> - защитниками старой счетной доски и <<алгоритмиками>> - приверженцами новой позиционной системы и новой <<арабской>> нумерации.

4. Теорема Пифагора.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора, однако на самом деле соотношение, которое она утверждает, было известно древним математикам за много веков до Пифагора. О наиболее известном частном случае теоремы, <<египетском треугольнике>> со сторонами 3, 4, 5, говорится в папирусе, который историки относят к 2000 году до н. э. Но именно Пифагор дал первое доказательство того, что данное соотношение действует для любого прямоугольного треугольника.

В школьном курсе при изучении теоремы Пифагора предлагается только два варианта доказательства этой теоремы. Наверное, потому, что это наиболее простые варианты доказательства. Но мне стало интересно, есть ли ещё варианты доказательства этой теоремы.

Было обнаружено, что со времен Пифагора появились сотни доказательств знаменитой теоремы, за это она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса.

4. 1. Доказательства, изучаемые в школе.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, с и гипотенузой в . Докажем, что b[2]=a[2]+c[2].

Достроим треугольник до квадрата со стороной, а+с .Площадь S этого квадрата равна (а+с)[2]. С другой стороны этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 0,5ac, и квадрата со стороной в, поэтому S=4∙0,5ac+b[2]=2ac+b[2]. Таким образом, (a+с)[2]=2ac+b[2], откуда b[2]=a[2]+c[2]. Теорема доказана.

Теорема (обратная теореме Пифагора):

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

4. 2. Другие способы доказательства: b[2]=a[2]+ c[2]

1) Самое простое доказательство теоремы Пифагора.

Рассмотрим два квадрата с одной площадью S=(а+c)[2].

В одном случае квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

В другом случае квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

2) Разрезание.

В "Началах" Евклида приведено доказательство, в котором квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, разрезается на куски, из которых можно составить два квадрата, построенных на катетах.

3) Дополнение.

Дополнение квадратов до равных фигур равными фигурами. Рисунок 5 иллюстрирует доказательство такого типа, которое предложил Леонардо да Винчи.

4) Доказательство индийского математика Бхаскари.

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке 6. Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке.

Сторона наименьшего квадрата, получившегося в центре, равна (c - a), тогда: b[2] = 4*a*c/2 + (c-a)[2] = 2*a*c + c[2] - 2*a*c + a[2] = a[2] + c2

Итак, существует множество доказательств теоремы Пифагора, с которыми я смогу познакомиться в старших классах.

5. Практическое применение открытий Пифагора

Начинающийся XXI век даёт новый шанс теориям Пифагора. Многие из нас, не задумываясь, используют знания, полученные древнегреческим ученым. Причем сферы применения самые различные.

5. 1 Компьютерные технологии

Применение вычислительной техники приблизило современную науку к теории древнегреческого философа. Наличие компьютерной техники, как некоего универсального агрегата, в котором любая информация представляется в виде нулей и единичек, доказывает актуальность взглядов и идей Пифагора. Это уникальное достижение человечества - возможность представления информации в виде двоичного машинного кода.

Подобный код используется, например, в азбуке Морзе, когда каждой букве алфавита соответствует определенный набор точек и тире. В цифровых машинах все операции над десятичными числами заменены на операции с двоичными кодами. Любой элемент Вселенной, любой предмет "есть проявление числа".

Теория чисел широко применяется в современной звукозаписи. Цифровая форма записи музыкальных композиций гораздо выгоднее и качественнее, нежели аналоговая.

Широко применяются базовые элементы теории чисел в шифровании данных. Метод однозначного кодирования и есть однозначное сопоставление данного некоему коду.

Вообще, цифровые технологии все более настойчиво входят в нашу жизнь, заполняя собой бытовые, технологические, научные сферы человеческой жизнедеятельности. Цифровые каналы телевидения, цифровые телефонные станции, цифровые технологии информационной безопасности, методы кодирования данных, цифровые вычислительные технологии и собственно математическое программирование как нельзя более полно показывают всю широту и полноту применения теории чисел, основы которой заложил еще Пифагор.

5. 2 Телевидение

Теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике находит применение и в современных сферах жизни человека, таких, как телевидение.

Зная высоту вышки и радиус земли, можно вычислить радиус зоны покрытия, и наоборот. Представим радиус зоны покрытия ( r ) и радиус земли ( R) как катеты, гипотенузой в этом случае нам послужит сумма радиуса земли ( R) и высоты телевышки ( h ). По теореме Пифагора получаем формулу (R+h)[2]=R[2]+r[2]

Это правило также действует и для нахождения радиуса видимости маяка из воды, зоны покрытия мобильной связи и т. п.

6. Построение пентаграммы.

Пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостеприимным хозяином дома, ухаживающим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. <<Если когда - нибудь мимо пойдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет>>, - сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его.

Пифагорейский знак (пифагорейская звезда) - символ здоровья и опознавательный знак, звездчатый пятиугольник. Пентаграмма содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую и гармоническую (золотую).

Именно звездчатый пятиугольник наиболее распространен в живой природе и принципиально не возможен в кристаллических решетках неживой природы.

Мне стало интересно, а как можно построить такой пятиугольник, используя циркуль и линейку.

Для этого необходимо разделить окружность на 5 равных частей. Чтобы разделить окружность на пять частей, выполняем следующие операции. Делим радиус на горизонтальной оси пополам и из этой точки прочерчиваем линию к пересечении вертикальной оси и окружности.

Установив острие циркуля в средину радиуса на горизонтальной оси, чертим дугу от пересечения вертикальной оси с окружностью к горизонтальной оси. Затем из верхней точки дуги, отмерив циркулем расстояние до её пересечения с горизонтальной осью, ведем следующую дугу пересекая окружность.

Сохраняем размер на циркуле.

И теперь последовательно чертим дуги, пересекающие окружность, устанавливая циркуль иглой в пересечение предыдущей дуги с окружностью.

Соединим полученные точки через одну и получим пятиконечную звезду.

7. <<Золотые стихи>> и афоризмы Пифагора

Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Каждый человек должен следовать правилу: беги от всякой хитрости, отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы - роскошество, от города - смуту, от семьи - ссору.

Система нравственных правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в моральный кодекс пифагорейцев - "Золотые стихи". Они переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории. В 1808 г. в Санкт-Петербурге были опубликованы правила, начинавшиеся словами: Зороастр был законодателем персов.

Ликург был законодателем спартанцев.

Солон был законодателем афинян.

Нума был законодателем римлян.

Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.

Вот некоторые извлечения из книжки, содержащей 325 Пифагоровских заповедей:

- Мать и отца уважай вместе с родными по крови.

- Сыщи себе верного друга: имея его, ты можешь обойтись без богов.

- Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.

- Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

- Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучают.

Афоризмы Пифагора

- <<Бык на языке>> ( что на современный лад означает <<держи язык за зубами>>).

- <<Сердце не ешь>> ( не подтачивай душу страстями или горем).

- <<Огня ножом не вороши>> ( не задевай гневных людей).

- <<Через весы не шагай>> ( не нарушай справедливости).

- <<Уходя не оглядывайся>> ( перед смертью не цепляйся за жизнь).

- <<Не садись на хлебную меру>> ( не живи праздно).

- <<Будь с теми, кто ношу взваливает, а не с теми, кто ее сваливает>> (живи в труде).

- <<Ласточек в доме не держи>> ( не привечай в доме шептунов и доносчиков).

- <<Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова>> - <<Ничему не удивляйся>> - Отклоняйся от дорог исхоженных, используй нехоженые пути>>.

Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору.

Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.

Заключение

Проведя свое исследование, я сделал несколько выводов:

* Пифагор поднял много вопросов, без решения которых, возможно, не так стала бы развиваться математика, механика и философия. Ведь он был знаменитым математиком, философом, ученым, религиозным и поэтическим деятелем, влиятельным политиком и полубогом в глазах своих учеников - пифагорейцев.

* Пифагор впервые открыл математическое правило, которому подчиняется физическое явление, и показал тем самым, что между математикой и физикой существует фундаментальная взаимосвязь. Со времени этого открытия ученые стали заниматься поиском математических правил, которым, судя по всему, подчиняется каждый физический процесс в отдельности, и обнаружили, что числа возникают во всех явлениях природы.

* Пифагор понял, что всюду, от гармонии в музыке до планетных орбит, скрыты числа, и это открытие позволило ему сформулировать афоризм: <<Все сущее есть Число>>. Постигая смысл и значение математики, Пифагор разрабатывал язык, который позволил бы и ему самому, и другим описывать природу Вселенной.

* Открытия Пифагора находят свое применение и в современной жизни, поэтому на сегодняшний день теория чисел считается актуальной.

* Образ Пифагора, подобно образу Спаса Андрея Рублева, пристально вглядывается в наши сегодняшние деяния. Потоки мысли он излучает. Истинная мудрость, подаренная человечеству Пифагором, навсегда остается с нами!

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)