Построение линий в полярной системе координат

При изучении уравнений с двумя переменными, графического способа решения систем уравнений возникла необходимость построения графиков уравнений с двумя переменными типа 2х+3y=5, x2+y2=9, xy=4 и т. д. Особый интерес вызвали графики уравнений (x2+y2)2=2(x2-y2), представленные в «Алгебре-9» под редакцией Теляковского. Но механизм построения этих линий не оговаривается. Ясно одно, что в декартовой системе координат это построение будет весьма сложным. В полярной же системе координат эта процедура намного упрощается. Кроме непосредственного интереса эта тема привлекает внимание ещё и тем, что найдёт свое приложение в «Интегральном исчислении».

Поэтому, объектом нашего исследования стала полярная система координат. Связав свою научную работу с построением линий в полярной системе координат, мы пришли к выводу, что во многих случаях более удобными являются именно полярные координаты на плоскости.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали полярные уравнения линий.

Цель нашей работы – показать принцип построения линий в полярной системе координат, выявить преимущества данной системы. Установить связь между полярными и декартовыми координатами точки. Отработать умения и навыки нахождения полярных уравнений линий с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным и построения этих линий в полярной системе координат.

Впервые полярные координаты в неявном виде использовал Динострат при исследовании квадратрисы в IV веке до н. э. Подобие полярных координат имеется у А. Дюрера (1525 г. ). Исаак Ньютон в «Методе флюксий» (1670-1671г. ) трижды использует полярные координаты и приводит формулы, связывающие их с прямоугольными координатами. В почти современном виде полярные координаты появились у Я. Бернулли (1691 г. ); чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярных координат имеется у Л. Эйлера (z,) и С. Е. Гурьева (r, w).

Данная работа состоит из введения, трёх глав и заключения. В главе 1 речь идёт о полярной системе координат, о связи между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами, о принципе построения точки в полярной системе координат. Глава 2 посвящена построению линий в полярной системе координат. В ней представлены спираль Архимеда, золотая спираль, лемниската Бернулли, кардиоида, окружность, гиперболическая спираль и др. В главе 3 рассматривается построение линий в обобщенной системе полярных координат, таких как трехлепесковая роза, четырехлепестковая роза и др. В заключении обоснована необходимость построения линий в полярной системе координат.

Глава 1. Полярная система координат

Рассмотрим полярную систему координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из неё луча ОЕ, называемого полярной осью. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.

Положение точки М на плоскости определяется двумя числами: - её расстояние от полюса и угол между полярной осью и лучом ОМ, т. е. в полярной системе координат положение точки на плоскости задается двумя числами, указывающими направление, в котором находиться точка, и расстояние до этой точки. Такой способ указания места очень прост и часто употребляется. Например, чтобы объяснить дорогу заблудившемуся в лесу человеку, ему говорят: «От горелой сосны (полюс) сверните на восток (направление), пройдете километра два (расстояние) и будет сторожка (точка)».

Кто занимался в туристических секциях, легко поймет, что хождение по азимуту основано на том же принципе, что и полярные координаты.

М (,). Итак, числа , называются полярными координатами точки М. Число считают первой координатой и называют полярным радиусом, число – второй координатой и называют полярным углом. Полярный угол является положительным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке. Обычно считают, что полярные координаты , изменяются в следующих пределах: , т. к. под понимают расстояние от полюса О до точки М, а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным,. Однако в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2, а также отрицательные углы, то есть, углы отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Рассмотрим пример 1. Построить точку М (2,) в полярной системе координат.

Решение.

Проведем луч ОР под углом к полярной оси ОЕ и отложим от полюса отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будут искомой точкой.

Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Рассмотрим АОМ

Таким образом, по известным полярным координатам точки можно вычислить её прямоугольные координаты по формулам

Если же известны прямоугольные координаты точки х и у, то её полярные координаты определяются по формулам , так как.

Пример 2. Прямоугольные координаты точки А (1,). Найти ее полярные координаты.

Решение. ;. значит

Ответ: А (2,)

Пример 3. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой М (;).

Решение. По формулам , получаем

Ответ: М(3,)

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

С помощью полярных координат можно задавать на плоскости различные множества точек. Очень простым, например будет уравнение окружности с центром в полюсе.

Если радиус окружности равен R, то и полярный радиус любой точки окружности имеет вид =R.

Следующий пример 4. Уравнение (а>0) задает на плоскости некоторую спираль, которая носит имя Архимеда, открывшего и изучившего эту спираль. Построим спираль Архимеда. Если , то , а с ростом величина тоже будет расти.

0 1,57 3,14 4,7 6,28

2а 1,58а 1,4а 0,1а 0

Таким образом, это простое исследование помогло нам значительно упростить вычисления, так как теперь, вместо того, чтобы придавать полярному углу значения от 0 до , мы ограничились значениями для только из первой четверти.

Пример 10. Построить кривую (х2+у2)2=2(х2-у2).

Решение. Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместим с положительной частью оси абсцисс.

Заметим, что замена х на –х, у на –у не изменяет уравнение кривой. Это говорит о том, что кривая расположена симметрично относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить кривую только в первой четверти, а потом, учитывая симметрию, построить её в трёх остальных четвертях.

Найдем уравнение данной кривой в полярных координатах.

Сравнивая уравнение данной кривой в прямоугольных координатах с её уравнением в полярных координатах можно сделать вывод, что последнее значительно проще.

1,4 1,2 0 - -

Кривая, определяемая уравнением называется лемнискатой Бернулли.

Пример 11. Построить окружность х 2 + у2 - 2Rу = 0.

Решение. Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс.

При замене х на –х уравнение не изменяется. следовательно, кривая симметрична относительно оси Оу. Построим ее в правой полуплоскости, а затем симметричную ей - в левой полуплоскости.

Запишем уравнение данной окружности в полярных координатах.

0 0,8R 1,4R 1,8R 2R

Рассмотренные выше примеры позволяют сделать вывод, что построение линий в полярной системе координат в некоторых случаях намного проще, чем в декартовой.

Глава 3. ОБОБЩЕННАЯ СИСТЕМА ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. При построении точки в этой системе на луче, проведенном из полюса, откладываем отрезок длиной от полюса в положительном направлении, если >0, и в отрицательном, если <0. Рассмотрим это на примере

Пример 12. Построить кривую (х2+у2)3=4а2х2у2 (а>0).

Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Построение этой кривой проведем в обобщенной системе полярных координат. Будем давать значения полярному углу от 0 до через промежуток.

Заключение

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по аналитической геометрии, математическому анализу.

Мы рассмотрели некоторые примеры, показывающие необходимость и актуальность изученной темы, и пришли к выводу:

1. В ряде случаев при указании места расположения какого-нибудь объекта удобнее определять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта, то есть полярные координаты.

2. Построение некоторых линий в полярной системе координат намного проще, чем в декартовой.

Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. К перспективе следует отнести изучение вопроса о приложении данной темы в «Интегральном исчислении»