Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Понятие о делимости

Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления для двух данных чисел, т. е. о делимости этих чисел. При рассмотрении других арифметических действий над числами такой вопрос очевидно не возникает: ведь сложить , вычесть или умножить два натуральных числа можно всегда и при этом получить результат данного действия. Понятно, что в случае деления не всегда можно с уверенностью сказать, что разделив два натуральных числа, можно получить результат- натуральное число. Вот здесь и возникает вопрос как же узнать, возможно, выполнить деление «нацело» или нет. Определение: число а делится на число Ь, если существует такое число с, что а=bс.

Этот факт называется делимостью числа а на число b. Для выяснения того, делится ли одно число на другое ,существует довольно много способов.

Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел. Однако такое деление часто оказывается слишком долгим и утомительным, к тому же при таком долгом делении высока вероятность допустить ошибку, и, следовательно так и не получить ответ на вопрос делится ли одно из чисел на другое.

Или можно проблему делимости двух чисел сформулировать по-другому: будет ли остаток от деления равняться нулю.

Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости. Некоторые из признаков изучаются в школьном курсе. Далее же будут изложены все известные признаки делимости по порядку.

Сущность всякого признака делимости состоит в том, чтобы свести вопрос о делимости числа а на число b к вопросу о делимости на b некоторого числа, меньшего а. В разных признаках это меньшее число находится по-разному. Делимость чисел обладает свойствами:

1. Если а и р- натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

Например 15и 11. 15и5.

2. Если М- общее кратное а и b, а т- их наименьшее общее кратное, то М делится на т.

Например 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

5. Рефлексивность: если а делится на b, то и b делится на а.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.

Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4

Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

Признак делимости на 2:

Число делится на 2 в том и только в том случае, если его последняя цифра четная.

Например:

4,22,98,106- последние цифры четные, значит эти числа делятся на 2.

Признак делимости на 3:

Способ №1.

Чтобы проверить делится ли число на 3 нужно найти сумму его цифр. Если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3.

Например:

990 9+9+0=18 - делится на три, значит и число 990 делится на 3.

753217 7+5+3+1+7=23 -не делится на 3, значит и 753217-не делится на

Способ №2.

Чтобы проверить делится ли число на 3 нужно найти сумму его цифр. Если сумма цифр выражается более чем однозначным числом, нужно найти сумму цифр полученной суммы, и т. д. до тех пор, пока вы не придёте однозначному числу, которое мы назовём цифровым корнем исходного числа. Если цифровой корень кратен 3 ,то и число делится на 3.

Например:

96878898 9+6+8+7+8+8+9+8=63, 6+3=9-цифровой корень, он кратен 3, значит и исходное число кратно 3.

Признак делимости на 4

Число делится на четыре в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.

Например: число 57463984 т. к. 84 делится на 4, следовательно, и исходное число делится на 4

Признак делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на 5 или на 0.

Например:

245 делится на пять.

Признак делимости на 6

Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3 (то есть проверить на делители числа 6. ) Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его числовой корень делится на 3.

Например:

285972 - четное, 2+8+5+ 9+7+2=33, 3+3=6 – числовой корень (делится на 3. ) следовательно, и число 28972 делится на 3.

Объединенный признак делимости на 7,11,13.

Требуется определить, делится ли данное число 42623295 на 7, 11 и 13. Разобьём данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трёх цифр.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно сразу высказать следующий объединённый признак делимости на 7, 11 и 13:

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13.

Например:

42 623 295=(295+42)-623=-286

Число -286 делится на11, и на13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11и13, а на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. (Справедливость этого признака следует из того, что все числа, кратные 1000, делятся на 8). В противном случае остаток от деления на 8 числа, образованного последними тремя числами, совпадает с остатком от деления на 8 исходного числа.

Например: 1961 9+6+1=16-делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 в том, и только в том случае, если его цифровой корень делится на 9.

Например:

261972 2+6+1+9+7+2=27, 2+7=9-делится на 9, значит и число 261972 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае , если число оканчивается на 0.

Например:

33312890- делится на 10.

Признак делимости на 11 (Алгоритм Евклида. )

1. Найти сумму цифр числа через одну

2. Оставшиеся цифры также сложить

3. Найти разность полученных сумм.

4. Если полученная разность делится на1. то само число делится на 11.

Например : Делится ли 42623295 на 11 ?

42623295

1. 5+2+2+2=11

2. 9+3+6+4=22

3. 22—11=11

4. 11:11=0, т. е. и само число разделится на 11

Признак делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например:

12653428767

-делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Использование признаков делимости

Признаки делимости необходимы учащимся и их учителям. Например, когда необходимо выполнить сокращение дробей, перед сокращением надо знать, насколько сокращать. При делении чисел, я не буду гадать, а сразу смогу определить, на сколько делится число. Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел, и при нахождении общего знаменателя обыкновенных дробей.

Заключение

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математики, я познакомился с новыми понятиями: числовой корень и алгоритм Евклида, при помощи которого можно определить делится ли число на 11 и найти наибольший общий делитель чисел. Я узнал, , как быстрее определить делимость многозначного числа на 3. Так же я узнал , что существуют еще признаки делимости на 4,6,7,8,10,11,12 и 13. И понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Кроме того, я научился писать рефераты. Математика мне стала еще больше нравиться. Я изложил эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно ,мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)