Понятие линейного уравнения с параметрами и способы их решения
Одним из этапов профильного обучения в школе является изучение различных элективных курсов, которые в 9 классе являются необязательными, но учащиеся выбирают их сами, с целью определения обучения в 10 классе по определённому профилю. Элективный курс «Задачи с параметрами» дополняет базовую программу, расширяет и углубляет знания учащихся, является преемственностью между школой и ВУЗом.
Задачи с параметрами практически в школьном курсе математики не рассматриваются. Но в тоже время они часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, при сдачи экзамена ЕГЭ в 11 классе.
Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик, если он не имеет опыта решения этих задач.
Будущий математик, как и всякий человек, учится при помощи практики и подражания Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи.
Дьердь Пата
Цели и задачи курса:
1. Привлечь внимание учеников к этим задачам, привить вкус к решению задач с параметрами. Выработать прочные навыки решения. Закрепить навыки решения задач с параметрами.
2. Получить общие представления о задачах с параметрами и методах их решения.
3. Развить логическое мышление учащихся.
Линейные уравнения с параметрами и способы их решения.
Определение:
Уравнения вида ах + b = 0, где а, b, - некоторые числа, х – переменная, называется линейным уравнением.
Уравнение ах + b = 0 равносильно уравнению ах = -b.
Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее нашему уравнению.
При решении уравнения ах = -b вытекает следующее утверждение:
1) Если, а 0, то уравнение ах = -b имеет единственное решение х = -
2) Если, а = 0, b 0 то уравнение ах = -b не имеет решений
3) Если, а = 0, b = 0 то уравнение имеет множество решений
Рассмотрим на конкретных примерах:
Решить уравнения
Решение: ах = 5 а) пусть, а 0; тогда уравнение имеет решение х = б) при а = 0 уравнение принимает вид 0х = 5, т. е. 0 = 5 равенство неверное, значит, при этом условии уравнение не имеет решений
Ответ: если, а 0, то х = , если, а = 0, то уравнение не имеет решений.
Чтобы решить уравнение вида ах + b = cх + d, где а, b, c, d – некоторые числа, необходимо его свести к линейному уравнению вида ах + b = 0 ах – сх = d – b х (а – с) = d – b
Решить уравнение ах – 1 = х + а ах – х = а + 1 х (а - 1) = а + 1 а) а - 1 0; а 1; то х = б) если, а = 1, то уравнение принимает вид 0х = 2 0 2 – следовательно, уравнение не имеет решений.
в) если, а = -1, то уравнение принимает вид 0х = 0 0 = 0 – верное, следовательно, уравнение имеет множество решений.
Ответ: при а 1; х = при а = 1, нет решений при а = -1, уравнение имеет множество решений.
Решение уравнения вида
(ах + b) (сх + d) = 0, где а, b, c, d – некоторые числа, сводится к решению совокупности линейных уравнений ах + b = 0 сх + d = 0
Например: при каких значениях параметра, а уравнение
(х – 2а – 1) (х + а) = 0 имеет два корня?
Решение х – 2а – 1 = 0 х = 2а + 1 х + а = 0 х = -а
Уравнение имеет два корня, они совпадут при 2а + 1 = -а 2а + а = 1, 3а = 1, а =
Ответ: при а = уравнение имеет два корня.
Решим более сложное уравнение
Решение:
Это уравнение сведём к линейному, если установим ограничение х 3, а -2
Приведём к общему знаменателю, найдём дополнительные множители и получим:
3ах – 5 = (2а + 1) (х + 3) – 5 (а + 2) (х – 3)
3ах – 5 = 2ах + 6а + х + 3 – 5ах + 15а – 10х + 30
3ах – 2ах – х + 5ах + 15а – 10х = 6а + 3 + 15а + 30 + 5
6ах + 9х = 21а + 38
(6а + 9) х = 21а + 38 а) 6а + 9 0, а , а -1. 5, х = но х 3 значит решаем получаем а решаем получаем а и а ?
Ответ: а) при а х = б) при а = -1. 5, а = -1 а = -3 уравнение не имеет решений; в) при а = -2 уравнение не имеет смысла.
Линейные неравенства с параметрами и способы их решения.
Определение:
Неравенства вида ах + b < 0, ах + b 0, ах + b > 0, ax + b 0, где а, b – некоторые числа, х – переменная, называются линейными неравенствами или неравенствами первой степени.
При решении линейных неравенств надо помнить следующие свойства:
1) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то знак неравенства останется прежним.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
3) Если у одной части неравенства перенести слагаемое в другую, при этом, поменяв знак слагаемого на противоположный, то знак неравенства останется прежним.
4) Делить на ноль нельзя.
Рассмотрим решение неравенства ах + b > 0
Рассмотрим следующие случаи:
1) а > 0, тогда ах > -b, a > - и при а > 0, x
2) a < 0, ax + b > 0, ax > - b, a < - и при а < 0, x.
3) а = 0, неравенство принимает вид 0х + b > 0; если b > 0 – решением является любое число, если b < 0 – неравенство не имеет решений.
Остальные неравенства ах + b 0, ax + b < 0, ax + b 0 решаются аналогично.
Например:
Решить неравенство
Решение: 1) ax 1 а) при а > 0, x б) при а < 0, x в) при а = 0, 0х 1; 0 1 – неверное, значит, неравенство не имеет решений.
Ответ: при а > 0, x , при а < 0, x , при а = 0 – нет решений.
2) Решить неравенство
3 (4а – х) < 2ax + 3
Решение:
Сведём неравенство к виду ах + b < 0
12a – 3x < 2ax + 3
-(3 + 2a) x < 3 – 12a домножим левую и правую часть на -1
(3 + 2а) х < 12a – 3
Рассмотрим три случая: а) 2а + 3 > 0; 2а > -3; а > -, то х > б) 2а + 3 > 0; а < -, то х < в) 2а +3 = 0 (3 + 2 (-1. 5)) х = 12 (-1. 5) – 3)
2а = -3 0х > -21 а = -1. 5 0 > -21 – верное, следовательно, решением неравенства является любое число.
Ответ: если а > - то х если а < -, то х если а = -, то равенство имеет множество решений.
3) Решить неравенство abx + b > ax + 3
Решение: abx – ax > 3 – b a (b – 1) x > 3 – b a) если а (b – 1) > 0, т. е. а > 0 и b > 1 или а < 0 и b > 1, то х < б) если а (b – 1) < 0, то а > 0 и b < 1 или а < 0 и b > 1 x < в) а = 0, b 1, неравенство получит вид 0х > 3 – b, если b > 3, то х – любое число; если b - то решений не будет.
г) а 0, b = 1, неравенство получит вид 0х > 2 0 > 2 – неверно, значит, неравенство не имеет решений.
Ответ: при а > 0, b > 1; или, а < 0, b < 1, x при а < 0, b > 1; или, a > 0, b < 1, x при а = 0 и b или а 0, b = 1 – нет решений при а = 0 и b - множество решений.
4) Решить неравенство
Решение: а ; в противном случае оно не имеет смысла.
пусть (а – 1) (а + 1) > 0, тогда (2 – 3а) х + (3 – а) 0 при а
(а – 1) (а + 1) > 0
Решаем неравенство
(2 – 3а) х + (3 – а) 0
(2 – 3а) х а – 3 а) Решаем при а > 1, x б) Решаем при а < -1, x в) а ; тогда (а + 1) (а – 1) < 0, тогда (2 – 3а) х а – 3
2 – 3а > 0 а < , но с учётом а а , х г) 2 – 3а < 0 а > ; но с учётом а а, то х д) при а = , (2 - 3) х - 3; 0х < -2
0 < -2 - верное
Ответ: при а при а при а = ; х – любое число.
Заключение.
На мой взгляд, элективный курс «Решение задач с параметрами», играет очень важную роль в жизни каждого современного ученика. Этот курс дополняет базовую программу, не разрушая её целостности, расширяет и углубляет знания учащихся, является преемственностью между школой и ВУЗом. Несмотря на то, что задачи с параметрами являются непривычными и сложными для многих, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, есть в заданиях единого государственного экзамена. А к тому же такие задачи играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.
Внимательно обдумав, сказанное мною, я решила посещать элективный курс «Решение задач с параметрами». За всё время посещения этого курса я научилась решать уравнения и неравенства с параметрами и поняла, что ничего сложного в этом нет, просто нужно внимательно вдумываться в каждое задание.
Я очень признательна людям, которые приняли решение о введении такого элективного курса, а также моему учителю математики, которая преподавала этот курс.
Комментарии