Понятие числовых характеристик

По мере развития многих отраслей науки и техники становится необходимым изучать случайные явления, с тем, чтобы научиться предвидеть действия случайных факторов и учитывать их в практическом решении задач. На практике часто приходится иметь дело с различными опытами. Результаты опытов можно характеризовать качественно и количественно.

В толковом словаре русского языка С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой дано понятие вероятности: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «вероятнее», «невероятно», не имея в виду конкретные количественные оценки этой возможности исполнения.

Основатель современной теории вероятностей А. Н. Колмогоров писал о вероятности так: «Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях». Значит, в математике вероятность измеряется числом. Одним из важнейших во всей теории вероятностей понятием является понятие случайной величины. Случайной величиной будем называть любую числовую величину, связанную со случайным экспериментом. Случайной она называется потому, что до эксперимента невозможно точно предсказать то значение, которое эта величина примет в результате эксперимента – это выясняется только тогда, когда эксперимент завершен. Проводя эксперимент многократно, можно наблюдать за поведением случайной величины, фиксируя те значения, которые она будет принимать.

Если мы располагаем определенной информацией, то можно с некоторой степенью уверенности предсказать поведение случайной величины, что по понятным причинам имеет большое практическое значение.

При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а достаточно иметь о случайной величине некоторое общее представление. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используются некоторые величины, которые носят название числовых характеристик случайной величины. Различают числовые характеристики среднего: математическое ожидание, мода, медиана и числовые характеристики разброса: размах, отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Основное их назначение – в сжатой форме выразить существенные особенности того или иного распределения.

В качестве одного из основных понятий, которым оперирует теория вероятностей, является событие.

Событием в теории вероятностей является всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Событие является качественной характеристикой случайного результата опыта. Но случайный результат опыта можно характеризовать и количественно. Например, число попаданий в цель при пяти выстрелах, число деталей, выходящих по своим размерам за пределы допуска, и т. д. Количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная величина.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.

Понятие случайной величины является фундаментальным понятием теории вероятностей и играет очень большую роль в ее приложениях.

Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами конца латинского алфавита – X, Y,, а их возможные значения обозначаются соответствующими малыми буквами – x, y,.

Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться в практике, можно выделить два основных типа: дискретные величины и непрерывные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Приведем примеры дискретных случайных величин.

1. Частота попаданий при трех выстрелах.

Возможные значения случайной величины Х, выражающей частоту попаданий при трех выстрелах, будут следующие:

2. Число дефектных изделий в партии из n штук.

Если обозначить через Х случайное число дефектных изделий, то возможные значение этого числа будут следующими:

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Примеры непрерывных случайных величин.

1. Случайное отклонение от дальности точки падения снаряда от цели.

2. Диаметр обработанной втулки.

Случайная величина является своего рода абстрактным выражением случайного события. С каждым событием можно связать некоторую характеристическую случайную величину. Оперирование с понятиями случайной величины в ряде случаев бывает более удобным, чем оперирование со случайными событиями.

Глава 2. Понятие числовых характеристик

При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а достаточно иметь о случайной величине только некоторое общее представление. В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используются некоторые величины, которые носят название числовых характеристик случайной величины.

Основное их назначение – в сжатой форме выразить существенные особенности того или иного распределения.

О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины, а также какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений, относительно среднего. Одна из характеристик степени разбросанности значений случайной величины – размах, т. е. разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины. Кроме указанных числовых характеристик, для более полного описания случайной величины используют ряд других числовых характеристик. Все они помогают уяснить характерные черты распределения случайной величины.

Пусть произведена серия из n опытов (испытаний), в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А.

Частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к числу всех испытаний.

Частоту события можно определить только после проведения опытов, и в различных сериях опытов при одних и тех же условиях частота события не остается постоянной. Поэтому понятие частоты является плохой характеристикой события. Однако, по мере увеличения числа испытаний, частота постепенно стабилизируется, т. е. принимает значения, мало отличающиеся от некоторого вполне определенного числа. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при котором производятся опыты, и событием. Это постоянная величина называется вероятностью событий.

Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим. Вероятность события А принято обозначать P(A).

Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно выражает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности, т. е. не является рабочим определением. Поэтому рассмотрим другое, так называемое классическое определение вероятности событий.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных событий, которые являются исходом данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев.

Обозначая число случаев, благоприятствующих событию А, через m и общее число равновозможных случаев через n, данное классическое определение вероятности можем записать в виде формулы:

Вероятность случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей, т. е.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.

Глава 3. Математическое ожидание

Математическое ожидание является важнейшей характеристикой положения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины иногда называют просто средним значением случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х, имеющей возможные значения х1, х2,, хn с вероятностями p1, p2,, pn, математическое ожидание, которое обозначим М[X], определяется равенством

Дискретная случайная величина Х может принимать бесконечное счетное множество значений х1, х2, с вероятностями p1, p2,, то ее математическое ожидание определяется равенством

Математическим ожиданием случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

В дальнейшем наряду с обозначением M[X] мы будем обозначать математическое ожидание случайной величины Х через mx: mx=M[X]

Если производится несколько серий опытов, то математическое ожидание есть такое постоянное число, около которого будут колебаться средние арифметические значения случайной величины, вычисленные для каждой серии опытов.

Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину Х, все возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b]. Пусть f(x) есть плотность распределения величины Х. Разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков, длины которых обозначим ∆х1, ∆х2,, ∆хn. Возьмем в каждом частичном отрезке по одной точке, абсциссы которой обозначим соответственно х1, х2,, хn. Так как произведение f(xi)∆xi (i=1, 2,, n) приближенно равно вероятности попадания случайной величины Х на элементарный участок ∆хi, то сумма произведений

Составленная по аналогии с определением математического ожидания дискретной случайной величины, приближенно равна математическому ожиданию непрерывной случайной величины Х.

Перейдя к пределу в сумме при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков ∆xi, получим определенный интеграл

, который и полагают по определению равным математическому ожиданию непрерывной случайной величины X.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку[a,b], называют определенный интеграл

Если возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат всей оси Ох, то математическое ожидание определяется интегралом

Понятие математического ожидания случайной величины имеет простую механическую интерпретацию – распределение масс на прямой. Вся распределенная на прямой масса принимается за единицу. Дискретной случайной величине Х, имеющей возможные значения х1, х2,, хn с вероятностями p1, p2,, pn, соответствует прямая с сосредоточенными в точках с абсциссами х1, х2,, хn массами p1, p2,, pn.

Непрерывной случайной величине соответствует непрерывное распределение масс на прямой с плотностью в каждой точке, равной плотности вероятности в этой точке.

Отметим простейшие свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т. е.

Доказательство. Постоянную величину С можно рассматривать как частный случай величины, которая с вероятностью, равной единице, принимает только одно значение, равное С. Но тогда в соответствии с формулой M[C]=C:

M[C]=C*1=С

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.

M[CX]=CM[X]

Доказательство.

а) Для дискретных случайных величин:

б) Для непрерывных случайных величин

Задача 1.

Определить математическое ожидание числа попаданий при пяти выстрелах, если случайная величина Х (число попаданий) задано рядом распределения:

xi 0 1 2 3 4 5

pi 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776

Решение.

По формуле :

M[X]=0*0,01024+1*0,0768+2*0,2304+3*0,3456+4*0,2592+5*0,07776=3

Задача 2.

Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти значение коэффициента а и определить математическое ожидание случайной величины Х.

Решение.

Коэффициент а найдем, воспользовавшись свойством плотности распределения:

Откуда.

По определению математического ожидания для непрерывной случайной величины найдем:

Глава 4. Мода и медиана случайной величины

Кроме математического ожидания, которое является основной числовой характеристикой положения случайной величины, на практике применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.

Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Для непрерывной случайной величины мода есть такое значение случайной величины, при котором плотность распределения имеет максимум, т. е. f(M0)=max.

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не максимум. Такие распределения называются антимодальными.

Медианой МD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т. е.

P(XMD)

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Каждая из этих площадей равна 0,5, так как вся площадь ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения МD

F(MD)=P(X

Заметим, что если распределение одномодальное и симметрическое, то все три характеристики положения случайной величины – математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Для вычисления медианы чаще всего используют ранжирование рядов распределения. Значения случайных величин расставляются по возрастанию. Выбирается число, стоящее по середине (если их два, то находится их среднее арифметическое) – это и будет являться медианой ряда распределения.

Глава 5. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Для характеристики случайной величины совершенно недостаточно знать только числовые характеристики положения, т. к. одному и тому же заданному математическому ожиданию может соответствовать бесчисленное множество случайных величин, различных не только по своим значениям, но и по их характеру и природе.

Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеянием величины около её среднего значения.

Числовые характеристики, характеризующие рассеяние случайной величины, т. е. показывающие, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около центра рассеивания (математического ожидания), называются характеристиками рассеивания.

Основными характеристиками рассеивания случайной величины является дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

При определении указанных характеристик используется разность между случайной величиной X и её математическим ожиданием mx, т. е. X – mx.

Эта разность называется центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, и обозначается :

Очевидно, закон распределения центрированной случайной величины, совпадает с законом распределения соответствующей случайной величины X.

Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю: а) для дискретной случайной величины б) для непрерывной случайной величины

Но если математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю для всякой случайной величины Х, то, конечно, оно никак не характеризует рассеяние ее значений, указывая только, что значения отклонения – числа разного знака. Поэтому в качестве меры рассеивания случайной величины берут математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

, которое называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D[X] или Dx.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания, т. е.

Для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой а для непрерывной – интегралом

Дисперсия случайной величины является очень удобной характеристикой рассеивания возможных значений случайной величины. Однако, она лишена наглядности, т. к. имеет размерность квадрата случайной величины.

Для большего удобства желательно иметь характеристику, по размерности совпадающую с размерностью случайной величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое представляет собой квадратный корень из ее дисперсии. Обозначают среднее квадратическое отклонение случайной величины символом σx:

Свойства дисперсии:

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Доказательство. Действительно, если в данных условиях величина Х может иметь только одно значение С, то, в соответствии с первым свойством математического ожидания

Тогда по определению дисперсии

Свойство 2. Дисперсия произведения постоянной величины на случайную величину равна произведению квадрата постоянной величины на дисперсию случайной величины:

Доказательство. На основании определения дисперсии и второго свойства математического ожидания имеем:

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания:

Доказательство. Используя определения для дисперсии и математического ожидания, имеем: а) для дискретной случайной величины б) для непрерывной случайной величины:

Задача 3. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа появлений событий А при одном опыте.

Решение. Т. к. при одном опыте число появлений Х события А может принять только одно из двух значений 0 или 1, причем вероятность значения 1 равна вероятности р появления события А, а вероятность значения 0 равна вероятности q=1 – p непоявления события А, применяя формулу найдем:

Определим теперь по формуле дисперсию случайной величины Х:

Следовательно, применяя формулу найдем среднее квадратическое отклонение числа появлений события А при одном опыте:

Глава 6. Моменты случайной величины

Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины. Само название «момент» заимствовано из механики, где это понятие применяется для описания распределения масс.

В теории вероятностей различают моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х k, т. е.

Следовательно, для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой а для непрерывной – интегралом

Из начальных моментов случайной величины особое значение имеет момент первого порядка, который представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины.

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х – mx)k

Для дискретной случайной величины центральный момент выражается суммой

, а для непрерывной – интегралом

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Среди центральных моментов случайной величины особое значение имеет центральный момент второго порядка, который представляет собой не что иное, как дисперсию случайной величины.

Кроме центрального момента второго порядка, в теории вероятностей для описания случайной величины широко применяются центральные моменты третьего и четвертого порядков.

Третий центральный момент μ3 служит характеристикой асимметрии («скошенности») распределения. Если случайная величина Х распределена симметрично относительно своего математического ожидания, то третий центральный момент равен нулю.

Т. к. третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то обычно рассматривают безразмерную величину – отношение μ3 к среднему квадратическому отклонению в третьей степени

Величина ах носит название коэффициента асимметрии.

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса.

Эксцессом случайной величины Х называется величина

Число 3 вычитается из отношения (), потому что для наиболее распространенного нормального закона распределения это отношение равно трем.

Кривая нормального распределения, для которого эксцесс равен нулю, принято как эталон, с которым сравнивают другие распределения. кривые более островершинные имеют положительный эксцесс; кривые более плосковершинные – отрицательный эксцесс.

Кроме рассмотренных начальных и центральных моментов, на практике применяются абсолютные моменты.

Абсолютный начальный момент определяется формулой

, а абсолютный центральный момент – формулой

Из определения абсолютных моментов следует, что абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Из абсолютных моментов нечетного порядка часто применяется первый абсолютный центральный момент который называется средним арифметическим отклонением.

Среднее арифметическое отклонение, наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением, иногда применяется как характеристика рассеивания случайной величины.

Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ

I. В течение четверти Паша по литературе получил следующие оценки:

5 5 5 3 5

Чтение Чтение Окруж. мир Чтение ИЗО

Математика Математика Математика Русский язык Русский язык

Русский язык Русский язык Физкультура Окруж. мир Математика

Информатика Информатика Англ. язык Физкультура

Русский язык

Масса учебников

1. Учебник чтения 372 г.

2. Учебник математики 366 г.

3. Учебник русского языка 186 г.

4. Учебник информатики 122 г.

5. Учебник окружающего мира 318 г.

6. Учебник английского языка 448 г.

7. Дневник 244 г.

8. Спортивная форма 785 г.

9. Канцелярские принадлежности и тетради 380 г.

10. Масса портфеля 1200 г.

Вычисляем массу портфеля на каждый день

Понедельник: (г)

Вторник: (г)

Среда: (г)

Четверг: (г)

Пятница: (г)

Решение

1. Математическое ожидание: (г)

2. Мода:

3. Медиана: (ранжируем ряд)

2132 2870 2870 3241 3683

4. Размах:

Размах равен 3683 – 2132 = 1551 (г)

5. Дисперсия:

6. Среднее квадратическое отклонение:

У данного первоклассника средний вес портфеля 2,959 кг. Самый тяжелый портфель у него в среду, самый легкий – в пятницу. Вес самого легкого отличается от веса самого тяжелого портфелей на 1,551 кг.

Заключение

Благодаря умению вычислять основные характеристики случайных величин, легко сделать выводы о поведении случайной величины.

А это дает нам возможность практически любую жизненную ситуацию перевести в роль «задач» и решить вероятностными методами, представить решения наглядно и сделать выводы. Жизнь нам предъявляет такие требования, как умение проводить эксперимент (опыт), быть наблюдателем или самому принимать решение. Знание же характеристик случайных величин позволяет сэкономить время при анализе решения и получить результаты точными математическими расчетами. Такие выводы я делаю в результате написания работы.