Платоновы тела

С момента появления первых цивилизаций человечество стремилось познать окружающий мир, понять происходящее в природе. Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего знания о внешнем мире был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Нам, живущим в начале третьего тысячелетия, природа и «земные» приложения математики хорошо известны, и потому воспринимаются они как нечто само собой разумеющееся. Уже цивилизации, в недрах которых математика зарождалась, а именно цивилизаций Древнего Египта и Вавилона, более пяти тысяч лет назад создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне не сознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы, доступные чувственному опыту. У греков же, начиная, с VI века до нашей эры сложилось, определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который, в конечном счете, является математическим.

Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический план удастся раскрыть и познать. Всматриваясь в гармонию чисел, видим, что все они записаны с помощью всего десяти цифр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Гармония выражена в семи нотах до, ре, ми, фа, соль, ля, си.

(Приложение. Таблица)

Возьмите нотный пример, написанный вами с заголовком: натуральный звукоряд.

1. Присмотритесь к написанному до цифры 9 и сделайте вывод: в каком соотношении находятся ноты и цифры сначала под номерами 1, 2, 4, 8, потом – 3, 6. Обнаружили, что Не будем подсказывать, что именно. Вы сами это хорошо видите.

2. Берите карандаш и дописывайте цифры до 16 (помните, мы просили вас оставить много пустого места после цифры 9). Дописали? И ещё оставьте пустое место.

3. Можете ли вы вновь написанным цифрам дать соответствующие им ноты? Можете, но не всем. А каким? Подскажем не мы, а ноты с цифрами:1, 2, 4, 8 и 3, 6. Ещё три подсказчика есть: 5, 7, 9.

4. Сколько цифр осталось без нот. Тут мы вам подскажем: три. (Подсказка нужна для проверки правильности ваших предыдущих действий). Одной из этих трёх цифр очень легко дать ноту, так как она находится в промежутке между двумя известными. Следовательно, остаются две цифры и на каждую, приходится на две ноты. Какую же выбрать?

5. Чтобы решить этот вопрос, следует ещё дописать цифры до 22. Пользуясь приемом, описанным на первом этапе, находим ноты для четных цифр. Каждая пара четных (пар всего три) имеет в промежутке одну нечетную цифру и одну ноту. Значит, выбора нет, и нечетные 17, 19, 21 получили свои ноты. Если вы все правильно сделали, то, наверное, заметите, что, начиная с 14 обертона, шкала движется по полутонам.

6. Теперь возьмем цифру 22, уже обнаружившую свою ноту, поделите пополам, а её ноту перенесите на октаву вниз, и она как раз придется на одну из двух, о которых мы спрашивали на четвертом этапе «какую же выбрать?»

Все цифры получили ноты кроме 13! На то она и 13! Учёные-акустики тоже сомневаются в том, какой же нотой его наградить? (Как, впрочем, сомневаются ещё в двух). В иных учебниках эти сравнительные обертоны отмечены знаком только не качества, а сомнения.

Разработанная пифагорейцами программа выявления рационального плана, лежащего в основе природы, предполагала использование математики. Они усматривали сущность вещей и явлений в числах и числовых соотношениях. Число для них было первым принципом в описании природы, и оно же считалось выражением материи и формы мира. Пифагорейцы полагали, что «все вещи суть числа». Они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, могут быть выражены в числах, так как, им казалось, что все остальное по природе своей явно уподобляемо числам и что числа – первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число.

Пифагорейцы развили мистику чисел, позаимствовав её у египетских жрецов. Число для них было ядром реальности вещи; по их мнению, числа и их соотношения управляют миром.

Единое начало в непроявленном состоянии равно нулю. Когда оно воплощается, то создаёт проявленный полюс Абсолюта, равный единицы. Превращение единицы в двойку символизирует разделение единой реальности на Материю и Дух. Их взаимодействие порождает смысл – Логос, образуя Троицу – триединое духовное начало мира.

По мнению пифагорейцев, природа состоит из четырех типов геометрических фигур (точек, линий, поверхностей, тел) и четырех типов материальных элементов (земли, воздуха, огня и воды).

Числа 1, 2, 3, 4 образуют четверицу, или тетраксис.

По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетраксис, ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущий природы».

Для пифагорейцев каждое число несло свою энергетику. Так как подлинное учение Пифагора утрачено, существует множество попыток реконструировать его (о применении учения Пифагора в нумерологии). Для примера рассмотрим одну из версий числа 9. Считается, что оно выражает активность, устойчивость и динамику Духа Жизни. Обоснование этого выглядит так. Умножим числа от 0 до 10 на 9:

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Если присмотреться к этой последовательности чисел, то обнаружится следующее:

1) Правая половина цифр последовательности зеркально отражает левую половину;

2) Сумма цифр у каждой пары рядом стоящих цифр равна 9;

3) Первое число пары при движении слева направо возрастает на одну единицу, а второе убывает. Если же смотреть справа налево, то всё наоборот (это называется инверсией).

Таким образом, увеличение в 9 раз придаёт любому процессу инверсионность и динамическую устойчивость. Пифагорейцы связывали числа с правильными многоугольниками и многогранниками: точка символизирует число 1, линия символизирует число 2, треугольник (плоскость) символизирует число 3, тетраэдр (пространство) символизирует число 4.

Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Пифагор был первым, кто сумел открыть, что существуют только пять правильных многогранников:

• Тетраэдр

• Октаэдр

• Додекаэдр

• Икосаэдр

Позже их стали называть Платоновыми телами.

К числовым соотношениям они сводили и музыку. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве, производят звуки, причем быстро движущееся тело издаёт более высокий звук, чем движущееся тело. Такая «музыка сфер» может быть сведена к чисто числовым соотношениям. Много-много тысячелетий назад (а есть предположение, что несколько миллионов) человек начал это грандиозное преобразование, и длится, оно по сей день.

Человеческому уху доступны не все существующее в природе колебания воздушной среды: нижний порог слышимости-16 герц в секунду (герц-единица измерений воздушных колебаний), верхний-20 000 герц. Но тогда к числовым соотношениям можно свести и движение планет.

Здесь напрашивается некоторая аналогия с Вселенной, её небосводом. Как известно, он разделен тоже на 88 отсеков (секторов), которые в свою очередь распределены между двенадцатью уровнями-от низшего к высшему. За каждым уровнем закреплен знак Зодиака в следующем порядке: Рыбы, Водолей, Козерог, Стрелец, Скорпион, Весы, Дева, Лев, Рак, Близнецы, Телец, Овен. Каждый из этих знаков окружен зодиакальным созвездием. Всех созвездий насчитывается тринадцать (разместившееся между Скорпионом и Весами созвездие змееносца не имеет своего знака зодиака). Для Пифагора музыка была производной от божественной науки арифметики, и ее гармония жестоко регламентировалась математическими пропорциями. 1, 2, 3, 5, 8, 13 Следовательно, числа предшествуют гармонии, так как их неизменные законы управляют всеми гармоническими пропорциями. Гармония музыки трех сфер-звезд, включая планету Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой, квинтой и октавой. Они-то и легли в основу настройки орфеевой лиры: до-фа-соль-до. Особенно пифагорейцы чтили число 10, сумма первых натуральных чисел 1, 2, 3, 4, которые графически представлялись с помощью точек магического треугольника-символа,

3 на котором приносилась их клятва. Утвердив музыку как точную науку, Пифагор применил найденные им законы гармонических отношений ко всем феноменом природы, пойдя настолько далеко, что установил при этом гармонические отношения между планетами и созвездиями. Пифагорейцы утверждали, что расстояния между небесными телами пропорциональны интервалам музыкальной гаммы, что небесные тела исполняют космический гимн по мере их движению по небу. Для Пифагора Вселенная была громаднейшим монохордом с одной струной, прикрепленной верхним концом к абсолютному духу, а нижним - к абсолютной материи, то есть струной натянутой между небом и землёй. Сравнение обертоновой шкалы с белоклавишным звукорядом до – ре – ми – фа – соль – ля – си свидетельствует о глубоких взаимосвязях математики и музыки: ведь звучание – это колебание, и законы соотношения звуков самым прямым образом зависят от физических законов, определяющих взаимодействие колебаний с различными частотами. «В музыке действуют природа и сила числа», - сказал Пифагор; на основе таких фактов он даже построил свою теорию о музыке небесных сфер.

Суть её в следующем: все небесные тела вращаются вокруг Земли на хрустальных сферах. Сферы, вращаясь, звенят; образующаяся при этом «небесная» гармония столь приятна и совершенна, что не может быть сравнима ни с чем иным. Слышать её могут только посвящённые.

«В музыке действует природа и сила числа», - замечательно, что эта идеалистическая теория, похожая более на красивую сказку, имеет своё рациональное зерно. Движение небесных тел, по современным данным, действительно в целом подчиняется физическим законам гармонических колебаний.

Сыграйте на педали все шестнадцать обертонов от звука до большой октавы. Вслушайтесь. Всё звучит красиво, гармонично, удовлетворяя самый взыскательный слух. Но эта красота, если вы заметите, неподвижная, статичная, хотя обладающая самодостаточностью. А если попытаться куда-нибудь двинуться? В какие звуки естественнее всего можно сдвинуть этот шестнадцатизвучный массив? В пифагорейском тетраксисе - верховном символе универсальных сил и процессов – содержатся теории греков относительно музыки и цвета. Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Эмилий Карлович Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» Иогана Себастьяна Баха, ученый пришел к интереснейшему выводу, что «она оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона – закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения».

Попробуйте самостоятельно определить зону золотого сечения в Седьмой прелюдии Ф. Шопена. Стоит «на взгляд» (читая) и на слух (представляя музыку или играя) найти кульминацию и убедиться, что она не в середине пьесы, а ближе к концу, то есть в третьей четверти целого (одиннадцатый и двенадцатый такты).

Присмотритесь к положению каждого последующего звука, начиная от до в этом ряду квинт. Оно симметрично по отношению к предыдущей и последующей квинтам. Иначе говоря, фа относится так к до, как до – к соль; до в свою очередь относится к соль так же, как соль – к ре и так далее. А вот как выражается эта цепочка квинт в числах:

Фа До Соль Ре Ля Ми Си

16/27 8/9 2/3 1 3/2 9/8 27/16

Эта симметричная схема уникальна: она наглядно иллюстрирует единственную возможность визуально-акустического расположения звукоклавишной последовательности до – ре – ми – фа – соль – ля – си в равновеликих интервалах.

Возможно ли точное выравнивание расстояний между звуками? Оказывается, что возможно! Точность эта, конечно, не абсолютная, но отступления настолько незначительны, что, слушая музыку, мы не обращаем на них ни малейшего внимания! Как же так? Дело в том, что Пифагор, как известно, произвел настройку, исходя из натурального звукоряда, по чистым квинтам: (до) – соль – ре – ля – ми – си – фа-диез – до-диез – соль-диез – ре-диез – ля-диез – ми-диез – си-диез.

При этом двенадцатая квинта си-диез, совпадающая с начальным звуком до в нашей современной системе, в пифагоровом строе была чуточку выше. Таким образом, строй никак не замыкался, он как бы простирался в бесконечность

Кроме того, акустическая чистота настройки каждой ступени, удовлетворявшая требованиям одноголосной музыки, давала неприятную резкость в созвучиях – квинтах и октавах. Понадобилась нарочитая фальшь в настройке, чтобы начальный звук до совпал с двенадцатой квинтой си-диез.

Темперированный строй устраняет основной недостаток естественного строя путём уменьшения всех квинт на ничтожно малое количество колебаний (на так называемую комму – интервал меньше четверти полутона ~ 21,5 цента (цент – одна сотая полутона, полутон равен 100 центам, в октаве 1200 центов) так, что в результате до совпало бы с си-диезом, фа – с ми-диезом, ре-бемоль – с до-диезом и так далее. Это совпадение впоследствии получило в теории музыки название энгармонизма.

Пифагорейцы установили соответствие между семью цветами радуги и семью нотами музыкальной гаммы. Красному цвету соответствует нота «до», оранжевый – «ре», желтый – «ми», зеленый – «фа», голубой – «соль», синий – «ля», фиолетовый – «си», синий – «ля».

Было установлено соответствие между семью нотами и семью небесными телами. Ноте «до» соответствовал Марс, «ре» - Солнце, «ми» - Меркурий, «фа» - Сатурн, «соль» - Юпитер, «ля» - Венера, «си» - Луна.

Попробуем представить музыкальную пьесу, разложив её не только на ноты, но и на числа и на цвета.

Заметим, что в марше задействованы преимущественно следующие числа: 66, 294, 262, 232, 130, 330, т. е. – четные числа, следующие цвета: желтый, красный, оранжевый, синий, фиолетовый, вызывающие воодушевление, приподнимающие настроение, зовущие к действию. Напрашивается вывод: четные числа – числа решительного действия, нечетные – числа вызывающие сомнения, не побуждающие к действиям. Эти числа соответствуют следующим цветам: зеленый, голубой.

В своей работе я рассматриваю проблему трех гармоний – гармонию чисел, гармонию цвета, гармонию звуков. Все эти гармонии взаимосвязаны друг с другом. Очевидно, что природа устроена рационально и все явления протекают по точно выверенному математическому плану.

В работе я хотел показать что математика и искусство неразделимы. Вся наша жизнь пронизана искусством, что оно необходимо нам как воздух и как воздух мы его не замечаем. И порой мы не осознаем, как музыка и окружающие нас звуки влияют на наши чувств, мысли, поступки, поведение в целом.

Гармония должна быть везде, мы должны знать и уметь применять как законы математики, так и законы искусства и должны воспитывать в себе способность восприятия искусства, которое поможет в нашем стремлении к Истине, Добру, Красоте.