Пентаграмма

Звезда!. Сколько же звезд в нашем мире, в нашей жизни, в нашем окруженииДумаю, что их никогда не счесть. Стоит только посмотреть на ночное ясное небо и ты тут же в этом убедишься. А сколько их на земле. , созданных самим человеком: на новогодней елке, на башнях кремля, на погонах, на флагахТаким образом еще и еще раз можно убедиться в том, что звезда- это один из многих символов, которые нас окружают.

Если заглянуть в толковый словарь, то узвезды много понятий. Например:

- звезда- это небесное тело, ночью видимое как светящаяся точка;

- звезда- это деятель искусства, науки, спорта, т. е. знаменитость той или иной области;

-звезда- это фигура, а также предмет с треугольными выступами по окружности;

-звезда- это офицерский знак различия в армиях некоторых стран, также в Российской Армии;

-звезда- это иглокожее морское животное и т. д.

На вопрос: « Какие ассоциации у вас вознивают в связи со словом «звезда»?», каждый отвечает по-своему. Например: ночное звездное небо, «Фабрика звезд», вечный огонь, звезды эстрады, Кремлевские звезды

Невольно возникает вопрос: а почему именно звезда? Почему же люди выбрали символ именно звезды? Почему звезда украшает национальные флаги большинства стран мира?

Тайну эту можно попытатьтя искать в геометрическом построении пентаграммы.

Теоретическая часть

Пентаграмма- это звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Красота внешней формы пентаграммы связана с необычайным пропорциональным стрением. Здесь есть среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое.

Пусть окружность разделена на пять равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду, или звездчатый пятиугольник. Это и есть пентаграмма. Легко видеть, что внутри пятиконечной звезда вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т. д.

Рассмотрим треугольник АВС. Он равнобедренный, так как хорды АВ и АС стягивают равные дуги. Далее, < А=36°,∟В=∟С=72° как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72° (=360°: 5) и в 144° (= 72°-2) соответственно. Но < BCD равен 36 град. как опирающийся на дугу FB в 72°, и, следовательно, CD является биссектрисой в АВС и отсекает от него

BCD ∞ АВС. Из подобия этих треугольников имеем AB:BC= ВC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD (так как в АDС ∟А=∟С и, следовательно, СD=АД), приходим к пропорции

АВ = АD ,

АD ВD т. е. данный отрезок АВ так относится к его большей части АD, как большая часть относится к меньшей АВ. Иначе говоря, точка D делит отрезок АВ в золотой пропорции.

Итак, равнобедренный треугольник, у которого углы при основании(72°) вдвое больше угла при вершине(36°), обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. За свое замечательное свойство этот треугольник был прозван средневековыми математиками возвышенным.

Именно золотое свойство возвышенного треугольника и использовал Евклид для его построения, а значит, и для построения правильного пятиугольника. В самом деле, если данный отрезок АВ точкой D разделить в золотой пропорции, а затем циркулем из точки В сделать засечку радиусом АD, а из точки А- радиусом АВ, то точка пересечения С и будет вершиной возвышенного треугольника АВС. Далее остается описать окружность около АВС и провести биссектрисы углов В и С до пересечения с окружностью. Окружность разделена на пять равных частей, и, значит, правильный пятиугольник готов.

Остается показать, как во времена Евклида делили отрезок в золотой пропорции. Мы знаем, что величина x, делящая отрезок a в золотом сечении, удовлетворяет уравнению x²+ax-a²=0, положительный корень, которого можно представить в виде x= √(a/2)2 + a2- a/2.

Греки это решение находили геометрически. В самом деле, подкоренное выражение, согласно теореме Пифагора, можно рассматривать как гипотенузу треугольника с катетами а и а/2 (или как диагональ двойного квадрата со стороной а/2, мы и найдем искомую величинy x. Остается только (опять-таки с помощью циркуля) перенести отрезок x на отрезок а . Золотое сечение отрезка а построено. Способ построения золотого сечения с помощью двойного квадрата был известен и древним египтянам.

Вернемся к пентаграмме. Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF=AD=1, полагая DB=x и, следовательно, AB=1+x и , приходим к уравнению

1+x = 1 ; x2+x-1=0,

1 x которое имеет единственный положительный корень: x=√5-1 =φ

Так как

1- φ=1-√5 – 1 = 3 - √5

φ2 = (√5 – 1)2 = 5 - 2√5 + 1 = 3 - √5

(2)2 4 2 то

1 – φ = φ2 и мы окончательно находим

AD = DC = CB = AF = = 1;

X = DB = AF = EF = = φ;

ED = EG = GH = = 1 – φ = φ2.

Повторяя наши рассуждения для ∆DGH, в котором DG = φ, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны φ3, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника – φ4 и. т. д. .

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ = 0,618<1, или ряд золотого сечения:

÷ 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, , причем стороны правильных пятиугольников образует ряд четных степеней:

÷ 1, φ2, φ4, , а стороны звезд – ряд нечетных степеней:

÷ 1, φ, φ3, φ5,

Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторону y которой находится со стороной исходного пятиугольника AF=1 в золотой пропорции, т. е.

1/y = φ y=1/φ = √5 + 1 = Φ = 1,618>1.

Итак, данную пентаграмму можно неограниченно продолжать как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения. При этом стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого общего вида

, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0, Φ, Φ2, Φ3, , или

, φ3, φ2, φ, 1, Φ, Φ2, Φ3,

Из множества геометрических прогрессий данный ряд отличается замечательным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда: an – 2 + an – 1 = an, или Φn – 2 = Φn – 1 = Φn

В самом деле, поскольку 1 – φ = φ2, то

1 + Φ = 1 + 1 = 1 + φ = 1 + φ = 1 = 1 = Φ2

φ φ 1 – φ2 1 – φ φ2 и, значит, an – 2 + an – 1 = Φn – 2 + Φn – 1 = (1 + Φ) = Φn – 2 · Φ2 = Φn = an.

Аддитивное свойство ряда золотого сечения прекрасно видно на пентаграмме (рис. 1): AD = AE + ED(1 = φ + φ2), DG = DK + KG

(φ = φ2 + φ3), DK = DL + LK (φ2 = φ3 + φ4) и т. д.

Именно благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре, в том числе и в архитектуре Древней Греции. Архитектурное произведение(как, впрочем, и любое произведение искусства) смотрится как единое целое, гармонично, когда все его части находятся в непрерывной пропорциональной зависимости (это знаменитый принцип гармонии, сформулированный еще Гераклитом: «Из всего – единое и из единого – все»): а = а1 = а2 = а1 а2 а3

Но вместе с тем эти части должны образовывать целое, т. е.

а1 + а2 = а, а2 + а3 = а1,

Одновременно выполнение этих двух условий может обеспечить только ряд золотого сечения.

Итак, пентаграмма обладает массой интереснейших математических свойств:

1. Лучи пентаграммы делят друг друга в золотой пропорции:

АВ = АD = Φ.

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пентаграммы и сторона образованного пентаграммой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции:

AF = AD = Φ.

3. Лучи пентаграммы, выходящие из одной точки, образуют возвышенный треугольник.

4. Последовательность сторон правильных пятиугольников и вписанных в них пентаграмм образует ряд золотого сечения:

÷ 1, φ, φ2, φ3, φ4, , которой является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ < 1 и обладает аддитивным свойством:

φn = φn + 1 + φn + 2 (n = 0, 1, 2, ).

5. Отрезки пентаграммы AB = Φ, AD = 1, AE = φ и ED = φ2 связаны между собой всеми видами средних , а именно

AD = AB + ED – арифметическое среднее;

AD = √AB · AE – геометрическое среднее;

AE = √AD · ED - геометрическое среднее;

AE = 2AB · ED – гармоническое среднее.

AB + ED

В общем случае для четырёх последовательных членов ряда φn, φn + 1, φn + 2, φn + 3 нетрудно доказать соотношение

φn + 1 = φn + φn + 3;φn + 2 = √φn + 1 · φn + 3;

φn + 1 = √φn · φn + 3;φn + 2 = 2 φn φn + 3.

φn + φn + 3

Мы видим, что пентаграмма буквально соткана из золотой пропорции и всех видов средних.

Пентаграмма считалась в школе Пифагора символом дружбы, она считалась у них талисманом, помогающим им во всевозможных добрых начинаниях.

Можно только догадываться, в какой священной восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре! К математике присоединялась и числовая мистика: число 5=2+3 было для пифагорейцев числом любви как сумма первого женского и первого мужского чисел. Теперь становится понятным, почему именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Столь необычно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического содержания является основой и красоты ее внешней формы. Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Пентаграмма обладает замечательными математическими свойствами. Она содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую.

Поразительным является и еще одно обстоятельство. Звездчатый пятиугольник обладает поворотной симметрией пятого порядка. Но именно этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (вспомним цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони, малины, рябины и т. д. ) и принципиально не возможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию пятого порядка называют симметрией жизни; это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности. И именно геометрическую фигуру с симметрией пятого порядка пифагорейцы выбирают в качестве символа здоровья и жизни!

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостеприимным хозяином дома, ухаживавшим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пойдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет», - сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его.

В древности люди широко использовали божественную пропорцию в архитектуре и искусстве. Они проверяли ею красоту человеческого тела и признавали его идеальным лишь тогда, когда соотношение отдельных его частей подчинялись закону золотого сечения. В настоящее время существует гипотеза, что пертаграмма- первичное понятие, а золотое сечение- вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют цветы, морские звезды и др. создания природы. Природа- отличный художник, у нее верный глазомер и тонкое чувство гармонии. Пентаграмма- пропорциональна, значит, красива. Но первыми, кто обратил пентаграмму в символ, были пифагорейцы.