Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем

При изучении алгебры 9 класса мы начали решать уравнения, содержащие параметры. Уравнения такого типа вызвали интерес, который я направил для более подробного изучения параметров. В 9 классе мало сведений о параметрах и я решил выйти за рамки учебника. Рассмотрел вопрос подробнее: разные задачи с параметрами, которые могут помочь учителю при рассмотрении этих вопросов на факультативных занятиях. Решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Задачи такого типа помогают повысить уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Обычно в уравнении или неравенстве буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение (неравенство) – значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению (неравенству). Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений (неравенств). При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений (неравенств) надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.

В своей работе я собрал теоретический и практический материалы о параметрах, используя материалы различных источников, приведено решение различными способами уравнений, неравенств и их систем. Материалы работы выходят за рамки школьной программы и являются подготовительными для изучения алгебры и начал анализа в 10 – 11 классах.

§1. Знакомство с параметром.

Рассмотрение параметров более подробно можно начать с простых примеров неравенств и уравнений, где искомые значения х выступают в роли зависимой переменной, а параметр – независимой. Условие задач отводит параметру место, где неясно, повлияет ли его присутствие на ход решения.

1. Сравнить –а и 3а.

Решение. Рассмотреть три случая: если а < 0, то -а > 3а ; если а = 0, то –а = 3а; если а > 0, то –а < 3а.

2. Решить уравнение ах = 1.

Решение. х = , но при а = 0 уравнение решений не имеет.

Ответ: если а = 0, то нет решений; если а 0, то х =.

3. Решить уравнение (а - 1)х =а +1.

Решение. Рассмотрим случаи:

1) а = 1, тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = -1, получаем 0х = 0, и х – любое.

3) а 1, имеем х =.

Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. Здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Ответ: если а = -1, то х – любое; если а =1, то нет решений; если а 1, то х =.

4. Решить неравенство ах < 1.

Решение. Рассмотрим три случая:

1) если a > 0, то х < ,

2) если а = 0, то х – любое число,

3) если а < 0, то x >.

Ответ: если a > 0, то х < ; если а = 0, то х – любое число; если а < 0, то x >.

5. Решить неравенство > -а.

Решение. При а0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = -3.

Ответ: если а 0, то х – любое; если а = 0, то х < -3, или х > -3.

6. Решить уравнение = 0.

Решение. Единственный корень х = а. Условие х 1 влечет за собой требование а 1.

Ответ : если а 1, то х = а; если а = 1, то нет решений.

7. Решить неравенство (а – 1) 0.

Решение. Ответ зависит от знака двучлена а – 1. При а 1 очевидно данному неравенству удовлетворяет любое значение х из области определения, т. е. х 0. При а > 1 левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в рассматриваемом случае х = 0 – единственное решение.

Ответ: если а 1, то х 0, если а > 1, то х = 0. 4

8. При каких а уравнение (а - 2)x2 + (4 - 2а)х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то

Ответ, а = 5.

9. При каких а уравнение ах2 - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а2 – 12а – положительный. Отсюда получаем -4 <а<1.

Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0, которое, как мы уже промерили, неприемлемо.

Ответ. -4<а<0 или 0<а<1.

10. При каких а уравнение а(а +3)х2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?

Решение. Стандартный шаг — начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение ах2 + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + За) положителен при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка

(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.

Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0.

11. При каких а уравнение (-1)(х - а) = 0 имеет единственное решение?

Решение. При любом а х = 1 – корень данного уравнения, и требование единственности решения сводит задачу к поиску условий, при которых уравнению «запрещено» иметь корни, отличные от единицы. В то же время множитель х - а как бы предлагает еще один корень х = а, и, на первый взгляд, значение а = 1 представляется достаточным для ответа. Но более внимательный анализ позволяет «отмести» х = а за счет области определения уравнения: при а < 0 х = а не является корнем.

Ответ. а = 1 или а < 0.

Заметим, что если начать решение с записи равносильной уравнению системы, а именно то, возможно, мы уменьшим вероятность того, что в ответ не пойдет промежуток ( -∞, 0).

12. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем

D = а2 - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 — корень уравнения х2 – ах +1 = 0 при а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен от -3.

Ответ. а = ±2 или а = -10/3.

Благодаря параметру регулировались свойства решений уравнений (неравенств). Продолжая эту тему, рассмотрим, как параметр влияет на условия равносильности уравнений и неравенств.

13. При каких а уравнения х2 – а = 0 и – а = 0 равносильны?

Решение. Очевидно, что при а > 0 первое уравнение имеет два различных корня, а второе — только один, и в этом случае о равносильности речь идти не может. Так же ясно, что при а = 0 решения уравнений совпадают. При а < 0 ни первое, ни второе уравнения решений не имеют. Однако, как известно, такие уравнения считаются равносильными.

Ответ. а ≤ 0.

14. При каких а уравнение ах = а2 равносильно неравенству х-3‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ≥ а ?

Решение. При а ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство - бесконечно много. Если а = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является все множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только а = 0.

Ответ, а = 0.

15. При каких а неравенство 2х+а > 0 является следствием неравенства х + 1 - 3а > 0 ?

Решение. Перепишем данные неравенства в виде х > -а/2 и х > 3а -1. Учитывая условие, отметим, что множество решений неравенства х > -а/2 должно содержать множество решений неравенства х > 3а - 1. Это требование выполняется, если -а/2 ≤ 3а – 1, т. е.

а ≥ 2/7.

Ответ. а ≥ 2/7.

2. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем ("ветвление").

Примененный нематематический термин «ветвление» в большой степени характеризует процесс решения тех задач, где параметр «управляет» поиском значений переменной. Сказанное в полной мере относится к уравнениям (неравенствам, системам), содержащим параметр. Действительно, поскольку уравнения с параметром — на самом деле целый класс уравнений, то решать надо сразу весь этот класс, что, естестве» но, влечет за собой необходимость разбора различных случаев зависимости от определенных значений параметра.

16. Решить уравнение.

Решение. Переходим к уравнению-следствию:

(х + а - 1)(х + 1) - 3(х + 1)=5а, х2 + х(а - 3) - 4а - 4 = 0.

Отсюда х1= 4, х2 = - а - 1. Для того чтобы найденные значения переменной были корнями исходного уравнения, достаточно потребовать: х1 ≠ 1 - а, х2 ≠ -1, х1 ≠ -1, х2 # 1 – а. Выполнение двух последних требований — очевидно. Если х1 = 1 - а, т. е. 4 = 1- а, то а = -3. Следовательно, при а = -3 значение х1 = 4 не является корнем данного уравнения. Здесь важно не сделать ошибочный вывод, что при а = -3 вообще нет корней. На самом деле, для а = -3 имеем х2 = 2, и ничто не мешает х2 = 2 быть корнем исходного уравнения.

Если х2 = -1 ,т. е. -а - 1 = -1, то а = 0. Отсюда при а = 0 х2 — не корень, a х1 — корень данного уравнения. Соберем полученные результаты в

Ответ. Если а = -3, то х = 2; если а = 0, то х = 4; если а ≠ 0 и а ≠ -3, то х = 4 или х = -а -1.

3. Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

17. При каких значениях а уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Полученное квадратное уравнение имеет два корня при а > -1/4. Понятно, что если меньший из этих корней неотрицательный, то и система имеет два решения. Запишем

Отсюда легко получить -1/4 < а ≤ 0.

Ответ. -1/4 < а ≤ 0.

18. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения.

Решение. Наличие сложного радикала наводит на мысль выделить квадрат двучлена под «внешним» корнем. Имеем

Если а < 0, то уравнение не имеет решений. Если а ≥ 0, то последнее уравнение равносильно такому:

Это уравнение, а значит, и исходное имеют решения лишь при , т. е.

а ≥ 1/4. При указанных а получаем , и очевидно это уравнение имеет только один корень.

Ответ. Если а < 1/4 , нет решений; если а ≥ 1/4, то уравнение имеет единственное решение.

4. Параметр и свойства решений уравнений, неравенств и их систем.

19. Найти рациональные решения уравнения х + = x+ a2 , где а — рациональный параметр.

Решение. Данное уравнение выгодно записать так:

7 х - а2 = (x - 1).

В силу условия левая часть этого уравнения принимает только рациональные значения. Тогда структура правой части позволяет сделать вывод, что если исходное уравнение имеет рациональный корень, то он обязательно равен единице. Понятно, что при х = 1 получаем a = ± 1. Легко установить справедливость обратного утверждения. Тогда

Ответ. Если а = ± 1, то х = 1; при других рациональных данное уравнение рациональных корней не имеет.

20. При каких значениях а все решения уравнения: неположительные?

Решение. Перепишем исходное уравнение в таком виде:

Переходим к равносильной системе

Ясно, что при а = 3 нет решений. Если а ≠ 3, то.

Так как нас интересует лишь неположительные решения, то искомые значения параметра а найдем, решив систему

Ответ. -4/3 ≤ а < 14/9 или 14/9 < а < 3.

5. Параметр как равноправная переменная.

Напомним, что во всех разобранных задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. К примеру, при таком взгляде на параметр формы ƒ (х ; а) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения, определяющий этот тип) задач с параметрами. Рассмотрим несколько аналитических решений задач из указанного класса.

21. Найти все значения а, при которых уравнения х2 + х + 4а = 0 и а2х2 + ах + 4а = 0 имеют общий действительный корень.

Решение. Рассмотрим систему двух уравнений с переменными х и а :

Решением этой системы будут пары вида (х ; а), и очевидно значения вторых компонентов пар-решений будут составлять ответ данной задачи. Имеем

Последняя система равносильна совокупности трех систем: а)

Эта система решений не имеет.

Очевидно при а = -1 эта система решений не имеет. Тогда

Эта система имеет три решения (х; а): (-1; 0), (-2; -1/2), (2; -3/2).

Ответ. а = 0, или а = -1/2, или а = -3/2.

22. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства у = х2 - 4рх + 2р2 - 3 , где р - параметр.

Решение. Если (х0 ; у0) — точка, через которую не проходит ни одна из кривых заданного семейства, то координаты этой точки не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, задача свелась к тому, чтобы найти зависимость между х и у, при которой данное в условии уравнение не имело бы решений. Нужную зависимость несложно получить, сосредоточив внимание не на переменных х и у, а на параметре р. В этом случае возникает продуктивная, но уже не новая идея: рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно р. Имеем 2р2 - 4рх + х2 - у - 3 = 0. Дискриминант D = 8х2+ 8у + 24 должен быть отрицательным. Отсюда получаем у < - х2 - 3. Следовательно, искомое множество - это все точки координатной плоскости, лежащие «под» параболой у = - х2 - 3.

Ответ. у < - х2 - 3.

9 § 2. Свойства функций в задачах с параметрами

С каждым уравнением (неравенством, системой) связав конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. С этой точки зрения, например, уравнение ƒ(x) = g (х ) мы можем рассматривать как задачу о нахождении значений аргумента х, при которых равны значения функций ƒ и g. Такие, казалось бы, тривиальные рассуждения нередко дают возможность найти результативный путь решения многих задач. Кратко основную идею можно сформулировать так: ключ решения — свойства функций.

По существу, в немалом числе ранее решенных примеров мы использовали свойства функций. Но при этом, выделяя идею решения, иначе расставляли акценты. В настоящем параграфе будем отдавать предпочтение функциональному подходу, суть которого достаточно ясно раскрывается на следующем простом примере.

Требуется решить неравенство > 2. C одной стороны, используя свойства числовых неравенств (возведение обеих частей в четную степень), можно показать, что неравенство > 2 равносильно х > 4. С другой стороны, функциональный взгляд позволяет рассуждать так: перепишем исходное неравенство в виде >. Далее, учитывая характер монотонности функции у = , получаем х > 4.

Отметим, что пункты этого параграфа соответствуют стандартной схеме исследования функции.

Монотонность.

Напомним читателю некоторые свойства монотонных функций, которые нам понадобятся в этом пункте:

1) Если функции у = ƒ (х) и у = g (х) возрастают (убывают) на множестве М, то функция у = ƒ (х) + g (х) также возрастает (убывает) на множестве М;

2) Если функции у = ƒ (х) и у = g (х) возрастают (убывают) на множестве М, прячем

ƒ (х ) ≥ 0 и g (х ) ≥ О при всех допустимых х, то функция у = ƒ (х) g (x) возрастает (убывает) на множестве М;

3) Если функция у = ƒ (х) монотонная, то уравнение ƒ (х) = а имеет не более одного корня; другими словами, монотонная функция принимает каждое свое значение только один раз.

Перейдем к задачам.

23. Решить систему уравнений

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию ƒ (t) =. Она возрастающая. Имеем ƒ (х ) = ƒ (у). Следовательно, х = у. Отсюда.

Это уравнение равносильно системе:

Очевидно, что х =.

Ответ. Если а ≥ b + 1, то ; если а < b + 1, то решений нет.

§ 3. Графические приемы. Координатная плоскость (х; у).

Естественным продолжением знакомства с основными приемами и методами решений задач с параметрами будет обращение к наглядно-графическим интерпретациям.

В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый — построение графического образа на координатной плоскости (х ; у), второй — на (х ; а). Первому из перечисленных методов посвящен настоящий параграф. Схематично опишем его структуру.

На плоскости (х ; у) функция у = ƒ (х ; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство ƒ обладает определенными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать, с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т. д. ) можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой. Каждому из таких преобразований будет посвящен отдельный пункт. Как нам кажется, подобная классификация облегчает решающему поиск необходимого графического образа. Отметим, что при таком подходе идейная часть решения не зависит от того, какая фигура (прямая, окружность, парабола и т. п. ) будет являться членом семейства кривых.

Разумеется, не всегда графический образ семейства у = ƒ (x ; а) описывается простым преобразованием. Поэтому в подобных ситуациях полезно сосредоточить внимание не на том, как связаны кривые одного семейства, а на самих кривых. Иными словами можно выделить еще один тип задач, в которых идея решения прежде всего основана на свойствах конкретных геометрических фигур, а не семейства в целом. Какие же фигуры (точнее семейства этих фигур) нас будут интересовать в первую очередь? Это прямые и параболы. Такой выбор обусловлен особым (основным) положением линейной и квадратичной функций в школьной математике. Пункт настоящего параграфа посвящен задачам, связанным с уравнением прямой. В силу масштабности темы «Квадратичная функция» ей будет отведена отдельная глава.

Графический метод — всего лишь одно из средств наглядности. А наглядность может быть обманчивой. Так, для графиков функций у = (1/16)х и у = - log1/16 х «картинка»

11 скорее всего покажет одну общую точку. На самом деле их три. Таких примеров можно привести немало. Но, с нашей точки зрения, каждый из них свидетельствует только о том, что при использовании графических методов решения, как и аналитических, может быть допущена ошибка. Поэтому в тех случаях, когда результат, «прочитанный» с рисунка, вызывает сомнения, мы советуем подкрепить выводы аналитически. Это следует сделать для подтверждения правоты выбранного пути решения, обратив особое внимание на построение графиков у = ƒ (х+а), y = ƒ (x)+a, y = ƒ (х), у = (ƒ (х) , у = ƒ (kx), у = kƒ (x) путем преобразований графика у = ƒ (х).

Ответ, полученный графически, требует затрат, по крайней мере, не больше, чем соответствующее аналитическое решение.

1. Параллельный перенос

24. При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?

Решение. Графиком функции является полуокружность с центром (0; 0) и радиусом 1. Функция у = а – х для каждого фиксированного значения параметра задает прямую, т. е. уравнение у = а – х на координатной плоскости (х ; у) порождает систему параллельных прямых.

Нам надо определить те значения параметра, при которых найдутся точки полуокружности, расположенные выше соответствующих точек прямой. Понятно, что такие точки появятся после того, как прямая у = а – х займет положение слева от касательной. Легко определить, что моменту касания соответствует а =. Следовательно, при а < данное неравенство имеет решения.

В следующих двух задачах нам предстоит иметь дело уже не с одним семейством графиков, а сразу с двумя.

25. При каких значениях параметра а корни уравнения х - а2 = -а2 + 2а + 3 имеют одинаковые знаки?

Решение. Первое семейство у = х - а задает систему «уголков», стороны которых образуют углы по 45° с осью абсцисс. Что касается вершин, то они находятся на оси х, причем справа от начала координат (а = 0 нас не устраивает, так как в этом случае исходное уравнение очевидно имеет корни разных знаков).

Второе семейство у = -а2 +2а + 3 представляет собой множество прямых, параллельных оси абсцисс. Эти прямые должны пересекать «уголки» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки. По рис. 3 легко получить условие для параметра, удовлетворяющее требованию задачи. Имеем

Решив эту систему, получим

Ответ. или

26. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

12 х - а = 2 2х - а2 имеет три различных корня.

Решение. График функции у = 2 2х - а2 для а ≠ 0 изображен на.

Сразу заметим, что при а = 0 уравнение имеет единственный корень. Из семейства параллельных прямых у = х - а нас интересуют только те, которые пересекают построенный график в трех точках. Очевидно таких прямых только две. Они и построены на рисунке. Для прямой I имеем а =, а для прямой II: -а = 2а2. Поскольку а ≠ 0, то получаем

Ответ. а = -2 или а = -1/2.

2. Две прямые на плоскости.

По существу, в основе идеи решения задач настоящего пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения двух прямых: а1х+ b1y + с1 = 0 и a2х + b2y + с2 = 0. Несложно показать решение этой задачи в общем виде. Мы же обратимся непосредственно к конкретным характерным примерам, что, на наш взгляд, не нанесет ущерба общей стороне вопроса.

27. Определить число решений системы в зависимости от значений параметра а.

Решение. Очевидно, графиками уравнений системы являются прямые. Параллельно заметим, что не всякое уравнение вида ах + by + с = 0 задает прямую: необходимо еще потребовать, чтобы а2 + b2 ≠ 0. Поскольку коэффициент при у в первом уравнении отличен от нуля, то это уравнение задает невертикальную прямую.

Второе уравнение при а = -5 задает вертикальную прямую, которая очевидно пересекает график первого уравнения, что равносильно исходной системе иметь единственное решение. Если а ≠ -5, то имеем.

Сделаем замечание общего характера. При исследовании взаимного расположения двух прямых удобно вначале рассмотреть случаи, когда коэффициенты при у равны нулю (имеем вертикальное положение прямых), затем каждое из уравнений представить в виде у = kх + l.

Прямые параллельны, если прямые совпадают, если

и, наконец, прямые пересекаются, если.

Решение первой системы а = -7 , второй – а = -1, решение последнего неравенства а ≠ -7 и а ≠ -1.

Ответ. Если а ≠ -7 и а ≠ -1, то система имеет единственное решение (заметим, что значение а = -5 учтено ); если а = -1, то решений бесконечно много; если а = -7, то решений нет.

И еще одно замечание. Рассмотренная система принадлежит к классу систем двух линейных уравнений с двумя переменными х и у, т. е. систем вида где а1, b1, с1, a2, b2, с2 – некоторые числа (параметры).

28. Найти все а, при которых для любого b существуют четыре различных значения с, при которых система имеет хотя бы одно решение.

Решение. Воспользовавшись хорошо знакомым по предыдущим задачам методом исследования систем линейных уравнений, без труда устанавливаем, что при b ≠ 2 данная система имеет единственное решение при любых а и с. Поскольку по условию b — любое, то рассмотрим отдельно случай, когда b = 2.

Получаем

Очевидно, эта система имеет решение, если с4 + а = 2с2. Имеем биквадратное уравнение относительно с. Оно имеет четыре различных решения, если соответственное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня. Для этого достаточно потребовать, чтобы а > 0 и D > 0, где D = 4 - 4а. Отсюда

Ответ. 0 < а < 1.

§4. Графические приемы. Координатная плоскость (х; а)

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом возникает координатная плоскость (х; а). Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, покажем его применение для решения основных типов задач. Дадим самые общие признаки, которые, возможно, помогут узнавать задачи, подходящие под рассматриваемый метод (при этом необходимо помнить, что нет правил без исключений): в задаче фигурируют лишь один параметр а и одна переменная х, они конструируют некоторые аналитические выражения F (х; a) ,G(x; а) и т. д. (понятно, что выбор букв может быть иным); графики уравнений

F (х ; а) = 0, G (х ; а) = 0 и т. д. в системе координат (х; а) строятся несложно.

Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.

Перейдем непосредственно к задачам.

29. При каких значениях а уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Эта система на координатной плоскости (х; а) задает кривую, изображенную сплошной линией. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты (х; а), удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра а равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра. Очевидно при -1/4 < а ≤ 0 указанные прямые пересекают график в двух точках, что равносильно исходному уравнению иметь два корня.

Ответ. -1/4 < а ≤ 0.

§5. Корни квадратичной функции

1. Теорема Виета.

В настоящем параграфе, говоря о корнях квадратичной функции, в первую очередь нужно обратиться к хорошо знакомой школьникам теореме Виета. Рассмотрим непосредственно задачи, которые и раскроют возможности применения этой теоремы.

30. При каких значениях параметра а множество решений неравенства х2 + ах - 1 < 0 будет интервал длины 5?

Решение. Заметим, что при любых значениях параметра а дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, положителен. Пусть х1 и х2—корни этого квадратного трехчлена. По условию должно иметь место равенство х1 - х2 = 5.

Применяя теорему Виета, получим. Тогда. Отсюда а =

Ответ. а = или а = -.

31. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения ах2 – 28х + а = 0 равна 22,5?

Решение. Вначале рассмотрим решение, с которым нам не раз приходилось встречаться.

Поскольку , то получаем «ответ» a = 53. Однако при найденном значение а исходное уравнение корней не имеет. В этом решении мы столкнулись с одной из «популярнейших» ошибок, связанной с применением теоремы Виета: вести речь о корнях, предварительно не выяснив, существуют они или нет. Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при а ≤ 49 исходное уравнение имеет корни.

Ответ. Таких а не существует.

32. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

принимает наименьшее значение?

Решение. Найдем дискриминант данного квадратного уравнении. Имеем D = а2 + 8. Здесь важно не сделать ошибочный им пол о том, что уравнение имеет два корня при любом а. Оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а, т. е. при а ≤ 0 или а ≥ 4.

Используя теорему Виета, запишем.

Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции ƒ (a) = а2 -2а + 4 на множестве (- ∞ ; 0 ] U [4 ; ∞). Поскольку при а ≤ 0 ƒ (а) ≥ ƒ(0) = 4, а при а ≥ 4 ƒ(а) ≥ƒ(4) = 12, то функция ƒ на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке а = 0.

Ответ. а = 0.

2. Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек.

В задачах на определение знаков корней квадратичной функции мы по сути дела выясняли вопрос о расположении корней относительно точки х = 0. Такой подход предполагает естественное обобщение: не привязываться к точке х = 0 и, более того, пойти дальше, не ограничиваясь только одной точкой. Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами р и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т. п.

С первого взгляда представляется естественным, найдя корни квадратичной функции (если они существуют), сопоставить их с заданной точкой (точками). Заметим, что этот путь оправдан лишь в тех случаях, когда нам повезет — дискриминант квадратичной функции окажется полным квадратом. Именно с такого «комфортного» типа задач мы и начнем работу.

33. Найти все значения параметра а, при которых только один корень квадратного трехчлена х2 - 2х(b + 1) + 6b - 3 больше 2.

Решение. x1 = 3 и х2 = 2b - 1 — корни данного квадратного трехчлена. Поскольку х1 > 2 и таким свойством должен обладать только один корень, то мы вынуждены потребовать, чтобы х2 ≤ 2, т. е. 2b - 1 ≤ 2, или х2 = 3, т. е. 2b - 1 = 3. Отсюда

Ответ. b ≤ 3/2 или b = 2.

34. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения х2 - (2m + 1)x + m2 + m - 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй — между числами 3 и 5.

Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни х1 = m - 1, х2 = m + 2. Очевидно х1 < х2. Тогда искомые значения параметра найдем, решив систему

Ответ. 1 < m < 3.

3. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.

Это заглавие вполне отражает основную идею решения примеров настоящего пункта. Добавим лишь, что умение заметить «скрытую» в задаче квадратичную функцию — прием достаточно распространенный и в немалой степени эффективный. В этом пункте мы сохраним обозначения: ƒ — квадратичная функция; D — дискриминант; х0 — абсцисса вершины параболы.

35. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет решения?

Решение. Из второго уравнения системы следует, что у ≤ 2. Тогда, если хотя бы один корень первого уравнения будет не больше 2, то данная система имеет решения.

Если а = 1, то у = 9/8. Следовательно, а = 1 входит в ответ.

Если а ≠ 1, то квадратное уравнение удобно записать в таком виде:

. Для него.

Если а = -1/15, то у = -3/4. Значит, а = -1/15 также подходит.

Если D > 0, т. е. а > -1/15, то искомые значения параметра определяются следующей совокупностью неравенств :

ƒ(2) ≤ 0 или ƒ(2) > 0 и у0 < 2. Отсюда имеем

Решением этой совокупности будет -1/15 < а < 1 или 1 < а ≤ 8.

Ответ. -1/15 ≤ а ≤ 8.

Заключение

Материал данной работы будет полезен обучающимся, интересующимся вопросами математики, выходящими за пределы учебника и школьной программы. Учителя математики могут использовать материал на факультативных занятиях. Учащиеся, заинтересованные изучением уравнений, неравенств и их систем с параметрами найдут в работе много интересного материала.