Остров Самос - родина Пифагора

Пифагор (VI века до н. э. ) не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, человек-фантом, философ и пророк.

Пифагор воспитал в человечестве веру в могущество разума, убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.

Один из историков сказал, что начинать писать о Пифагоре просто страшно. Перед глазами предстает пустыня, по которой разбросаны горстки развалин. Кому принадлежат эти развалины-очертания отживших цивилизаций?

Правда, надо сказать, что античные авторы наперебой рассказывали о Пифагоре. За 1000 лет античной истории имя Пифагора обросло таким количеством легенд, что в одно время Пифагор стал почитаться полубогом.

Около 570 г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор. Отцом Пифагора был Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Бытует легенда, что он вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты и подарил его Поликрату. Египетский фараон Амасис, состоявший в дружеских отношениях с Поликратом и встревоженный его величием, написал: « твои великие успехи не радуют меня, так как я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета, теперь и ради своего счастья, поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеряй то, что может больше всего огорчить тебя. Эту-то вещь ты закинь так, чтобы она не попалась никому в руки. И, если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету».

Поликрат нашел совет Амасиса мудрым. Посадив людей на 50-весельный корабль, он сам поднялся на борт и приказал выйти в море. Когда корабль отошел далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил его в море. После этого от отплыл назад и, опечаленный потерей, возвратился во дворец.

Спустя 5 или 6 дней какой-то моряк поймал большую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Когда желание рыбака было исполнено, он подал Поликрату рыбу со словами: «Царь! Поймав эту рыбу, я не захотел ее нести на рынок, хотя и живу от трудов своих. Я решил, что она достойна тебя и твоего царства, поэтому я приношу ее тебе в дар».

Обрадовавшись таким словам, Поликрат ответил: «Ты поступил прекрасно, я благодарю тебя вдвойне за речь и за подарок, и приглашаю тебя на обед».

Слуги выпотрошили рыбу и нашли в брюхе этот Поликратов перстень. Увидев его, Поликрат понял, что его божественное знамение, и написал послание в Египет Амасису.

Амасис убедился, что ни один человек не сможет уберечь другого от предреченной ему участи и что Поликрат не кончит добром. Пророчество сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море , персы хитростью выманили Поликрата из Самоса и зверски убили его.

Это случилось примерно через 7 лет после того, как Пифагор, протестуя против жестокостей Поликрата, навсегда покинул родной Самос и переселился в Кротон.

Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына.

Многие, имея на то все основания, считают, что Пифагор – это не имя, а прозвище, поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как дельфийская Пифия.

Существует другая версия. Один самосский поэт уверял, что истинным отцом Пифагора является не Мнесарх, а сам бог Аполлон. Поскольку бог Аполлон после победы над змеем Пифоном получил прозвище Аполлон Пифий, то «Пифовещатель превращается в Аполлоновещателя или уста Аполлона», как иногда переводят имя Пифагора. Со временем, развивая эту версию, в античной литературе Пифагора стали называть « устами Аполлона» и представлять его сыном лучезарного покровителя искусств Аполлона.

Версия о том, что Пифагор – это не имя собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной.

Хочется остановить ваше внимание на второй букве имени Пифагора (греческая – ипсолон, латинская – игрек, старославянская – ижица).

Ипсолон называли философской, или пифагоровой буквой, а ее правую и левую ветви – Самосскими ветвями. Эта буква называлась также виловатым крестом, который являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. Правая ветвь изображалась прямой, идущей вверх, и символизировала добродетель, а левая кривой, загибающейся к низу, и означала порок. Вплоть до средних веков было распространено выражение: « По пифагоровой букве выбрать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей.

Эта буква в чистом виде нашла отражение в гербе старинного русского города Саратова (герб цветным мелком в крупном плане был нарисован на доске). Три серебряного цвета стерляди, символизирующие богатство волжского края рыбой, образуют пифагорову букву. Полагают, что число геральдических рыб на гербе Саратова ( рыба издавна является христианским символом) равнялось числу монастырей в городе, которые по праву считались форпостом обороны, культуры и духового богатства города. Расположение рыб в форме философской буквы должно было напоминать горожанам о выборе достойного , правого пути на ежедневных жизненных перепутьях.

Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского.

Гермодамант - потомок рода эпических певцов на Самосе, которые странствовали по всей Элладе и под аккомпанемент кифары исполняли народные предания и поэмы Гомера. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца, внимая мелодии кифары и поэзии Гомера. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженный толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство знаменитому тезису: «Все есть число».

Другой его учитель - Ферекид Сиросский. И как о всяком мудреце, о нем рассказывают много удивительного. Будто, однажды, прогуливаясь по Самосу, Ферекид увидел корабль под парусом и сказал, что он сейчас потонет, и корабль утонул у всех на глазах.

Будто, отведав воды из колодца, он сказал, что на третий день случится землетрясение, и оно случилось. Но если отбросить легенды, то Ферекид был философом и вслед за Питтаком считался основателем италийской школы философии. Третьим в цепи италийских философов стал Пифагор. Именно Ферекид направил взор Пифагора к природе, и в ней одной велел видеть своего первого и главного учителя.

1. 2 Годы странствий. Египет

Пифагор отправился путешествовать. По словам его учителя, «Путешествие и память- суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости».

Возраст двадцатилетнего юноши для Пифагора заканчивался. Следовало выбирать свою дорогу в жизни и науках. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Пифагор имел рекомендательные письма от тирана Поликрата к египетскому фараону Амасису. Три дня и три ночи, которые заняло плавание, Пифагор молча просидел на корабельной скамье. Он не менял позы, не принимал ни воды, ни пищи и не заснул ни на мгновение. Перед Пифагором открывалась неизвестная страна и неведомая культура. Древний Египет был страной высокой грамотности. Необозримое количество текстов в погребальных камерах пирамид и гробниц, рельефов на стенах и колоннах дворцов и храмов, записей на хрупких листах папируса сохранились до наших дней. Чтобы написать все это, в древнем Египте существовала целая армия писцов, прекрасно организовавшая и великолепно обученная. Каждый песец был не просто чертежником иероглифом , он был художником.

Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки и возмужалый эллин с черной кудрявой бородой. Очень быстро Пифагор своих однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к таинствам знаний. Далее нужно было войти в греческий храм , который был государством в государстве. Надо было окончить особую храмовую школу, досконально изучить египетскую мифологию, образцы Пантеона богов, их эпитеты и атрибуты, их разветвленную родословную. Нужно было пройти через обряды мистерии, выдержать испытания духа и проверку знаний. Тогда только открывалась дорога в высший храмовый институт – «Дом жизни».

«Дом жизни» был собранием ученых, жрецов и мудрецов. «Дом жизни» - это мозг интеллектуальной жизни Древнего Египта , ее память , разум и действие. В библиотеке «Дома жизни» хранилась тысячелетняя история Древнего Египта.

Наконец, Пифагор почувствовал себя готовым к осуществлению главной цели своего путешествия - поездке в святая святых жреческой мудрости город Мемфис. В пути двинулись во время разлива Нила, когда есть Египет покрывала вода, и лишь города возвышались над ней, будто острова в Египетском море.

Несмотря на рекомендательное письмо от самого Амасиса, жрецы не спешили открывать свои тайны. Наоборот, они пытались отпугнуть Пифагора безмерными тяготами, назначали ему трудные и противные испытания, но в конце концов его настойчивость победила. Двери мемфиских храмов открылись перед ним. Лес гигантских каменных колонн был настолько чистым, что казалось будто они сходятся друг к другу, чтобы раздавить пришельца. И стены, и колонны были испещрены множеством рисунков, знаков, иероглифов, разобраться в которых было выше человеческих сил. Чаще других попадались изображения мужчин с головой ибиса и палочки писца в руке. Это был бог Тот - создатель и покровитель египетской мудрости. Тот разделил время на месяцы и годы, создал письменность и научил людей письму и счету, написал священные книги, в том числе и знаменитую книгу « Книгу мертвых». Под покровительством Тота находились все архивы и огромная библиотека.

Незаметно храм переходил в подземелье, свет мерк, и человек из белого солнца египетской пустыни погружался во тьму безвременья.

Темный коридор подземелья упирался в статую Исиды, сидящей в глубоком раздумье с закрытой книгой на коленях. « Смертному не дано поднять моего покрывала», - гласила надпись у его ног. Рядом скрывалась еле заметная дверь.

«Подумай, ты еще можешь вернуться», - сказал ему жрец. Многие нищие духом ступали за эту дверь, но никто из них не вернулся. Пифагор молча шагнул в темноту, и дверь Исиды захлопнулась за ним. Потоки густой черноты обрушились на вошедшего, и не понятно было, стоит ли он на земле, или парит в черном бесконечном пространстве.

«Здесь погибают безумцы, возжелавшие тайного знания», - троекратно повторило эхо округлого зала чей-то вкрадчивый скрипучий голос.

Пифагора не покидало ощущение, что чьи-то глаза следят за ним из ниш лабиринта.

В черной бесконечности зала Пифагор разглядел слабые отблески огня. Он инстинктивно двинулся на чуть заметные блики, и через несколько десятков шагов ощутил холод стены зала, а затем различил и нишу, откуда они шли. Ниша переходила в извилистый коридор, с каждым поворотом которого свет все усиливался. Наконец, коридор распрямился, и его дальний конец замыкала сплошная стена огня. Вперед пути не было, но не было пути и назад. Обратной дороги не было, и Пифагор прыгнул сквозь обруч пламени. По ту сторону стояли два помощника верховного жреца и знаком пригласили следовать за ними. Вновь они шли темными закоулками, лабиринтами, и вновь он оканчивался круглым залом, но к величайшему удивлению Пифагора, над головой он увидел не беспроглядную темень, а серебряный блеск ночных звезд. Пифагору объяснили, что ему надлежит три ночи провести под сводами ночного неба; каждое утро с первыми проблесками рассвета он возвращался назад в подземельную галерею, где его ждала чаша с водой и легкая пища. Три дня и три ночи промелькнули, как падающая звезда.

Желая узнать, чему научился Пифагор в Египте, ученые попали в нелегкую ситуацию. Ничего неизвестно о египетской математике времен Пифагора, ничего неизвестно об этом в сочинениях Пифагора. Все это напоминает сказку: пойти туда, не зная куда, принести то, не знаю что.

И, тем не менее, можно сказать, что греческая математика избрала свой путь.

Но вот что Пифагор в избытке заимствовал у египетских жрецов, так этого всякого рода мистики, пристрастия к таинствам, священнодействиям магии чисел и. т. д. Можно с уверенностью сказать, что вся числовая магия, пышным букетом расцветшая в средневековой Европе , имела своим « крестным отцом» Пифагора.

Долгое пребывание в атмосфере таинства оставила свой отпечаток в сознании Пифагора. Пора ученичества подходила к концу. Возможно, неудовлетворенность бездоказанностью египетской математики ускорили окончательное решение Пифагора возвратиться на родину. Нужно было ехать домой и создавать свою школу, в которой ясность логики и твердость доказательства стали бы главным строительным материалом. Жрецы неохотно открывали двери своих храмов, но еще крепче закрывали их перед входящими. Через 11 лет пребывания в Египте Пифагору удалось выбраться из цепи жреческих объятий.

1. 3 Вавилонский плен и вавилонская мудрость

12 октября 539г. до н. э. пал Вавилон. Вряд ли стоит драматизировать вавилонский плен Пифагора. В те времена, если пленник не являлся властелином порабощенной державы, а был умным ремесленником или мудрым мыслителем, находил свое место под солнцем.

Вавилонская наука была значительно более развита, нежели египетская. Вавилонскую математику отличает, прежде всего, высокоразвитое вычислительное искусство, хотя и в математике Вавилона обнаруживались хоть какие-то намеки на то, что мы называем доказательством.

Вавилонский плен длился 6 лет. Либо надо было оставаться в роли вечного ученика, либо следовало сделать последнюю попытку вырваться на самостоятельную дорогу в жизни. Пифагор выбрал второе. Поликрат поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слова о мудрости которого бежала впереди него. Пифагор не спешил принимать милости Поликрата. Роль придворного полураба, пусть и украшенного лаврами, никак не устраивала его, Пифагор не мог жить рядом с источником несчастий своих сограждан. Он удалился за город и для своих занятий избрал пещеру в окрестностях Самоса.

1. 4 Кротон. Пифагорейское братство

Того, что долгие двадцать лет скитаний он мечтал обрести, на родине не было, и Пифагор принимает решение переселиться в Кротон. Здесь начинается самый славный период его биографии. Кротон был древнейшей ахейской колонией на юге Аппенинского полуострова. Предание рассказывает, что часть ахейцев, возвратившихся с троянской войны, была занесена в эти края. Ахейцы вылезли осмотреть незнакомый берег. Плывшие с ними троянские женщины, измотанные бурей, завидев наконец уютные берега, сожгли покинутые мужчинами корабли. Выбора не было, пришлось обосновываться на новом месте, благо земля оказалась на диво плодородной. За первыми поселениями потянулись и другие. Так возник Кротон и еще множество колоний на юге Италии.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозноэтического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Основу пифагорейского союза составили многочисленные братства орфиков. Орфики были близки Пифагору по духу, и он сумел объединить их в единый религиозно - политической союз. Союз быстро завоевал в Кротоне широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни полиса.

Феноменальная популярность Пифагора в Кротоне объясняется, прежде всего, его личными качествами философа, его умением увлечь за собой людей. Ореол вечного странника, а возможно, и мученика, вобравшего в себя мудрость великой восточной культуры, придавало образу Пифагора особую притягательную силу.

Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа, и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех. Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания.

«Для всех, и для многих и немногих, было у него на устав правило : беги от всякой хитрости, отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошества, от города – смуту, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность».

Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений: когда идешь ко сну, и когда пробуждаешься ото сна. И в тот, и в другой час следует потребовать от себя отчета во всем происходящем, окинуть мысленным взором все, что сделано, и что предстоит еще сделать. День пифагорейцу надлежало заканчивать стихами: « Не допускай ленивого сна на усталые очи прежде, чем на три вопроса не ответишь: « Что я сделал? Чего не сделал? Что осталось мне сделать?» И начинать со стихов « Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил».

Не правда ли, эти стихи современны и по прошествии двух с половиной тысячелетий?

Система морально – тических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи». «Золотые стихи» переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории.

Рассказ о пифагорейском братстве хорошо закончить характеристикой современных исследователей:

«Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречалось у многих сект, но что отличало пифагорейцев от всех других - это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения и соединения с божеством при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит к противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония.

Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучил божественную числовую гармонию, станет божественным и бессмертным».

1. 5 Космос пифагорейцев

Разумеется, звездное небо будоражило и разум пифагорейцев. Астрономия была мировоззренчески значимой и одновременно наиболее поэтической наукой. Астрономия, как никакая другая наука, давала пищу богатому воображению братства; они мало заботились об изучении своих фантазий логическими и эмпирическими доказательствами. Пифагорейская математика была чисто умозрительной. Она парила на крыльях поэтических фантазий, не отягощая их грузом научных сомнений.

В своих астрономических гипотезах пифагорейцы исходили из одной глубокой идеи: они верили в гармоническое устройство мира, в стройную организованность, рациональную упорядоченность, симметрию, а значит, и красоту. Вот почему Вселенную пифагорейцы впервые назвали словом «космос», что в буквальном переводе означает строй, порядок, прекрасное устроение. К сожалению, сегодня это первоначальное пифагорейское значение слова «космос» забыто.

1. 6 Пифагор и пифагорейское учение о числе

Греки совершили открытие, величайшее из когда - либо совершённых человеком: они открыли могущество разума.

М. Клайн

С берегов Средиземноморья – «колыбели европейской цивилизации», с тех давних времён, названных через много веков «весною человечества», дошло до нас имя Пифагора – математика, мистика, философа. Мы не знаем доподлинно портрета Пифагора, не сохранилось ни одной строки из его сочинений; его биография стала легендой, полной невероятных преувеличений, а самого Пифагора назвали «на одну десятую гением, на девять десятых выдумкой». По преданию, вид его был так величествен, что ученикам часто казалось, будто это сам бог Аполлон говорит с ними.

Согласно преданию, на сороковом году жизни Пифагор поселился в южноитальянс - ком городе Кротоне. Здесь он сразу привлёк всеобщее уважение как человек, много странствующий, многоопытный и дивно одарённый судьбою и природою. С виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и в голосе, и в обхождении и во всём – писал в «Жизни Пифагора» древнегреческий философ Порфирий (233 – 304). В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Система жизненных принципов и правил, проповедуемая Пифагором, и сейчас достойна подражания.

Так, Пифагор учил: «беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошество, от семьи–ссору, от всего, что есть – неумеренность». День пифагорейцу надлежало заканчивать вопросом:

«Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? Чего не сделал? и что мне осталось сделать?», и начинать день с вопроса: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, думой раскинь, какие дела какие дела тебе день приготовил».

Сам Пифагор начинал занятия ранним утром, успокоив душу игрою на лире и пением стихов Гомера, предпочитал уединённые прогулки, замечая при этом, что «где тише всего, там и краше всего». Система этических правил Пифагора была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи».

Пифагор предписывал чтить старейших, «ибо всюду предшествующее почётнее последующего». Он высоко ценил дружбу, считая, что у друзей всё общее и что друг – это второе я. Скромность и пристойность он видел в том, чтобы не хохотать и не хмуриться, избегать издёвок и пошлых рассказов. В еде он довольствовался хлебом, мёдом, овощами и воздерживался от животной пищи. Носил Пифагор ослепительно белые одежды.

К сожалению, реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством сказок и легенд, которые со временем породили несерьезное отношение к Пифагору как исторической личности. Легенды на перебой объявляли его чудотоворцем: сообщали, что у него было золотое бедро; что люди видели его одновременно в двух разных местах говорящим со своими учениками; что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и воскликнула: «Да здравствует Пифагор!»; что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.

Порфирий приводит любопытный эпизод. Проповедуя вегетарианство, Пифагор, тем не менее, посоветовал самосскому атлету Евримену ежедневно питаться мясом, а не сыром и смоквами, как это делали остальные спортсмены. Евримен последовал Пифагоровой мудрости – набрался сил и, несмотря на свой малый рост, одержал победу в борьбе на Олимпийских играх.

Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Но и попав в орден после строго отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос Учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет аскетической жизни. «Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии». Эта меткая характеристика пифагорейского братства принадлежит известному голландскому математику и историку науки Б. Л. ван дер Вар-дену.

Обед молчания, даваемый пифагорейцами, нашёл отражение в поговорке «бык на языке», что на современный лад означает «держи язык за зубами». Вообще, пифагорейцы имели множество знаков и символов, которые были своего рода заповедями, например: «через весы не шагай», т. е. не задевай гневных людей обидными словами; «не ешь сердца», т. е. не нарушай справедливости; «огня ножом не вороши», т. е. не подтачивай душу страстями или горем.

Известна легенда, рассказывающая, что однажды, увидев, как били собаку, Пифагор сказал: «Перестаньте её бить, в этой собаке живёт душа моего друга: я узнал его по голосу».

Звёздчатый пятиугольник, или пентаграмма – пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак.

Но главным пифагорейским символом – символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Звёздчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Видимо, поэтому пентаграмма и была выбрана в качестве пифагорейского символа.

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатится с гостеприимным хозяином дома, ухаживающим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пройдёт пифагореец, он обязательно сюда заглянет», сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его.

Однако в первоначальном виде пифагорейский союз просуществовал недолго и к концу VI века (ок. 510 г. до н. э. ) подвергся кровавой расправе. Пифагорейцы бежали из Кротона в другие города, что во многом способствовало распространению учения Пифагора по всей Греции и за её пределами. Сам Пифагор удалился в город Метапонт, расположенный неподалёку от Кротона, где и провёл остаток своей жизни.

1. 7 Смерть Пифагора.

Смерть Пифагора также окружена красивыми легендами. По одной из них, дом в Кротоне, где Пифагор собирался со своими учениками, был подожжён. Преданные друзья бросились в огонь и проложили в нём дорогу учителю, чтобы он по их телам вышел из огня, как по мосту. Друзья погибли, а сам Пифагор, спасённый столь дорогой ценой, так затосковал, что лишил себя жизни. Умер Пифагор около 500 г. до нашей эры.

Подлинно новым и революционным в пифагорейской научной системе явилось учение о числе, которое мы рассмотрим в трёх аспектах: философском, математическом и музыкальном. В числовых отношениях, т. е. математике, видели пифагорейцы сущность мировой гармонии, ключ к разгадке к разгадке всех тайн природы, окруженных ореолом мифологии. В математических свойствах пифагорейцы увидели сущность явлений природы, а в основе разносторонних процессов они обнаружили некоторую пропорциональность, закономерность, выражаемую числом. Примечательно, что отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. Именно в музыке была впервые обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки: 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора. День, когда было сделано это открытие, можно назвать днём рождения математической физики.

Вот как описывает это день римский философ и сенатор Северин Боэций (480 – 524); «И вот однажды, под влиянием какого-то божественного наития, проходя мимо кузниц, он слышит, что удары молотков из различных звуков образуют некое единое звучание. Тогда, поражённый, он подошёл в плотную к тому, что долгое время искал, и после долгого размышления решил, что различие звуков обусловлено силами ударяющих, а для того чтобы уяснить это лучше, велел кузнецам поменяться молотками. Однако выяснилось, что свойство звуков не заключено в мышцах людей и продолжает сопровождать молотки, поменявшиеся местами. Когда Пифагор это заметил, то исследовал вес молотков. Их было пять, причём обнаружилось, что один из них был вдвое больше другого и эти два отвечали друг другу соответственно созвучию октавы. Вес вдвое большего был на 4/3 больше веса третьего, именно того с которым он звучал в кварту.

2. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

2. 1 Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть a, b - катеты прямоугольного треугольника, c - его гипотенуза. Построим квадрат ABCD со стороной a+b и возьмем на его сторонах AB, BC, CD, DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a. Иными словами, от каждой из вершин A, B, C, D откладывается по отрезку длины a в направлении к следующей вершине; "следующей" значит "следующей в порядке ABCDA". Наш квадрат разбивается на четырехугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника EBF, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников один катет равен a, а другой - b. Значит, все эти треугольники равны, так что, в частности, AEH = BFE. Гипотенуза равна c, а площадь треугольника есть ½ab. У четырехугольника EFGH длина каждой стороны равна c, так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например, HEF= AEB- BEF- AEH=180_- BEF- BFE= EBF=90_. Итак, EFGH - квадрат со стороной c, так что его площадь равна c2. Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е. c2+4*½ab=(a+b)2. Левая часть равна c2+2ab, а правая - a2+2ab+b2, откуда и видно, что c2=a2+b2. Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это и было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора, какое я видел. Теперь его часто используют в школе. Но если вы посмотрите учебники, которые были приняты как основные в течение длительного времени, то вы там его не найдете. Почему? Неужели их авторы, люди вполне сведущие и умные, не знали этого рассуждения, известного уже несколько тысяч лет, или не понимали, что оно понятнее, проще, лучше запоминается, чем другие? Позднее я скажу, в чем, по-моему, здесь дело.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, что x2 + y2 = z2.   (1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z=5: 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x,y,z)? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение - это не одно число, а три. ) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде x=l(m2-n2),   y=2lmn,   z=l(m2+n2),  (2) где l, m, n - натуральные числа, причем m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3,4,5) получается при l=1, m=2, n=1.

То что при любых натуральных l, m, n с m>n тройка (x,y,z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путем простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? Об этом я и буду говорить. На самом деле, как это часто бывает, "прокручивая в обратную сторону" мои рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться. Что при перестановке x и y снова получается решение - об этом и говорить нечего.

По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли - неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше решений. ) Как его позднее доказывали древние греки - известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А я хочу рассказать несколько более простое доказательство, которое я узнал в свои студенческие годы от моего однокурсника Юры Манина. Ныне Юрий Иванович Манин - член-корреспондент Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, один из директоров международного Математического института им. Макса Планка в Бонне. Ни одного из этих высоких титулов вроде бы не нужно, чтобы придумать то простое рассуждение, которое я сейчас расскажу; в истории неоднократно бывало, что любители придумывали куда более затейливые вещи. Тем не менее, я нигде в литературе не встречал этого рассуждения. Впрочем, не могу поручиться, что его нигде нет или что никто, кроме Манина, такого доказательства не мог придумать. Так что не исключено, что кто-нибудь из вас это рассуждение знает. Но уж точно, что таких среди вас не может быть много - рассуждение если и является известным, то не общеизвестным.

Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если x, y и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku, y=kv, z=kw, где u, v, w - натуральные числа, то ясно, что тройка (u,v,w) снова является решением (1). Обратно, если мы знаем какое-то решение (x,y,z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k, мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у x и y, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа (x и y, x и z, y и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно просты.

При l1 числа x, y, z в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что если мы интересуемся только взаимно простыми x, y, z, то для них в (2) должно быть l=1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается: натуральные решения (x,y,z) уравнения (1) с взаимно простыми x, y, z с точностью до перестановки x и y представимы в виде x=m2-n2,   y=2mn,   z=m2+n2,  (3) где m, n - натуральные числа и m>n. Заметьте, что я вовсе не утверждаю обратного: что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в x, и в y, и в z.

Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении, что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми x, y, z, то я, самое меньшее, должен был бы уточнить: с взаимно простыми m и n. А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да, но меня поправили). Ведь если m и n оба нечетные, то x получится четным, а y в (3) всегда четное. Но если одно из чисел m, n четное, а другое нечетное, то x получится нечетным, и общим с y у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у x и y имеется и нечетный простой делитель p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2-n2 тоже делится на p, то и второе из чисел m, n делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые m, n. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными x, y, z обязательно представимо в виде (3) с какими-то m, n, а что при каких-то других m, n могут получиться решения с не взаимно простыми x, y, z - это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно взаимно простыми x, y, z, то одно из чисел x и y должно быть четным, а другое - нечетным; z при этом, конечно, нечетно. Действительно, если x и y оба четные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то мы можем написать, что x=2r-1, y=2s-1 с некоторыми натуральными r, s. Отсюда z2=(2r-1)2+(2s-1)2=4(r2-r+s2-s)+2.

Получается, что z2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечетно, то z2 и на 2 не делится, а если z четно, то z2 делится на 4.

Раз одно из чисел x и y четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно x, а четно y, - в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так: y2=z2-x2, 2-2=1 или, обозначая через u и через v, в виде u2-v2=1, т. е. (u+v)(u-v)=1. u и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). u+v тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь m и n - натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если (u-v)=1, то u-v=. Итак,

(4) m2+n2 где m, n - взаимно простые натуральные числа. Рассматривая ( как линейную систему уравнений относительно u, v, решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v:

=u=,    =v=.   (5)

Отсюда видно, кстати, что m>n.

Мы знаем, что и - несократимые дроби. Если бы мы знали, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что мы этого не знаем; однако о дробях , мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) мы вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k, что m2+n2=kz,   2mn=ky,   m2-n2=kx.   (6)

Допустим, что k имеет нечетный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это нечетное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у k нет нечетных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что y - четное число, y=2w. Получается, что 2mn=2kw, mn=kw, и если k - степень двойки (с ненулевым показателем), то число mn четное. Тогда хотя бы одно из чисел m, n - четное. Но из m2+n2=kz следует, что m2+n2 - четное число, и если вдобавок одно из чисел m или n - четное, то и другое должно быть четным. Снова у m и n нашелся общий делитель. Остается признать, что k=1, а это и означает (3).

3. СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

3. 1 Комбинированный метод

Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения

– пунктирной.

Рекомендуем учителям предложить учащимся по этим рисункам самостоятельно доказать теорему Пифагора.

3. 2 Равенство треугольников

Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т.  е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т.  е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC связаны соотношением c2 = a2 + b2. (3  )

Докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника.

Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:  c12 = a2 + b2. (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что c12 = c2, или c1 = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

3. 3 Доказательства методом достроения

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

На рис. 7 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь C∈EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

На рис. 8 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

3. 4 Алгебраический метод доказательства.

Из того, что ΔABC подобен ΔACM следует b2 = cb1; (1) из того, что ΔABC подобен ΔBCM следует a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

• Доказательство Мёльманна.

Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна с другой, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности Имеем:

откуда следует, что c2=a2+b2.

• Доказательство Гарфилда.

На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором 

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

• Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида. На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

• Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т.  е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т.  е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC связаны соотношением c2 = a2 + b2. (3)

• Докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника . Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:  c12 = a2 + b2. (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что c12 = c2, или c1 = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.