Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Основные свойства обратных тригонометрических функций

Обратным тригонометрическим функциям в школе обычно уделяется слишком мало времени, и в результате многие учащиеся имеют о них очень смутное представление. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Вся теория этих функций кажется туманной и сложной, заполненной к тому же большим количеством головоломных формул, которые невозможно ни вывести, ни запомнить. Предлагаемая вашему вниманию работа посвящена методам решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Надеюсь, что она окажется полезной для учеников, которые будут поступать в вузы, и учителей, работающих в старших классах – как общеобразовательных, так и математических.

Основные свойства обратных тригонометрических функций.

1 Функция y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [– 1; 1]; arcsin (– x) = – arcsin x (x ∈ [– 1; 1]);

2 Функция y = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [– 1; 1]; arccos (–  x) = π – arccos x (x ∈ [– 1; 1]);

E(arccos) = [0; π].

3 Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает на R; arctg (– x) = – arctg x (x ∈ R);

4 Функция y = arcctg x определена и монотонно убывает на R; arcctg (– x) = π – arcctg x (x ∈ R);

E(arcctg) = (0; π).

Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и неравенств.

I. Решение уравнений и неравенств,  левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

а) arctg f(x) = arctg g(x) ⇔ f(x) = g(x); б) acrtg f(x) ≤ arctg g(x) ⇔  f(x) ≤ g(x).

а) arcctg f(x) = arcctg g(x) ⇔  f(x) = g(x); б) arcctg f(x) ≤ arcctg g(x) ⇔  f(x) ≥ g(x).

Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще:  f(x)  ≤ 1 (тогда используем первую систему), или   g(x)  ≤ 1 (в этом случае используем вторую систему).

Пример 1. Решить уравнение arcsin (3x2 – 4x – 1) = arcsin (x + 1).

Решение. Уравнение равносильно системе

Замечание 2. Решать неравенство, входящее в систему, вообще говоря, не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения, как это и было сделано при решении примера 1.

Пример 2. Решить неравенство arcctg (8x2 – 6x – 1) ≤ arcctg (4x2 – x + 8).

Решение. Неравенство равносильно следующему:

Пример 3. Решить неравенство 3arcsin 2x < 1.

Решение.

Пример 4. Решить неравенство arccos (x2 – 3) ≤ arccos (x + 3).

Решение.

arccos (x2 – 3) ≤ arccos (x + 3)

Ответ: {– 2}.

Пример 5. Решить уравнение arccos (4x2 – 3x – 2) + arccos (3x2 – 8x – 4) = π.

Решение. Так как π – arccos t = arccos (– t), то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований: arccos (4x2 – 3x – 2) = π – arccos (3x2 – 8x – 4) ⇔

⇔ arccos (4x2 – 3x – 2) = arccos (– 3x2 + 8x + 4) ⇔

Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с параметрами.

Пример 7. Решить уравнение с параметром a: arcsin (ax2 – ax + 1) + arcsin x = 0.

Решение. Уравнение равносильно уравнению arcsin ( ax2 – ax +1) = – arcsin x ⇔

⇔ arcsin (ax2 – ax + 1)= arcsin (– x) ⇔

Рассмотрим два случая:

1) a = 0. В этом случае система примет вид:

2) a ≠ 0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:

Так как  x  ≤ 1, то. Если a = – 1, то x2 = x1 = 1. Если a ∈ (– ∞⋅; – 1) ∪ [1; ∞), то уравнение имеет два корня.

Ответ: при при a = – 1 и a = 0,x = 1; при прочих a решений нет.

Пример 8. Решить неравенство с параметром a: arccos (3ax + 1) ≤ arccos (2x + 3a -– 1).

Решение. Неравенство равносильно системе

Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что при a > первое неравенство системы равносильно неравенству x ≥ 1, при a < – неравенству x ≤ 1, при a = решением первого неравенства является любое действительное число. Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.

Ответ: при  a  > решений нет; при a = –  x = 1;

II. Решение уравнений и неравенств,  левая и правая части которых являются  разноименными обратными тригонометрическими функциями

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является чуть более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения.

Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a. Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0), откуда f2(x0) + g2(x0) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) ⇒ f2(x) + g2(x) = 1.   

Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:

Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x0, для которого f(x0) ≥ 0 и g(x0) ≥ 0. В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 9. Решить уравнение

Решение.

Корень является посторонним.

Ответ: {1}.

Пример 10. Решить уравнение

Решение.

Корень x = – 2 является посторонним.

Ответ:.

Пример 11. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).

Решение.

Корни вида являются посторонними.

При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.

Пример 12. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию и решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.

1) Найдем D(f). Для этого решим систему

2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение

Корень x = – 2 является посторонним.

3) Решим неравенство f(x) ≤ 0 методом интервалов.

Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения можно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция является монотонно возрастающей, а функция монотонно убывающей на отрезке. Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.

При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,

Пример 13. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x2 – 5ax + 2a2 – 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 < 0, то при любом a уравнение f(x) = 0 имеет ровно 2 корня, между которыми и заключено число 2a. Поэтому только больший корень f(x) удовлетворяет условию x > 2a. Это корень

Ответ: при любом a

III. Решение методом замены переменной.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Обозначим После преобразований получим уравнение

Поскольку  откуда

Пример 15. Решить неравенство arccos2 x – 3arccos x + 2 ≥ 2.

Решение. Пусть arccos x = t, 0 ≤ t ≤ π. Тогда

Поскольку  откуда 

Ответ: [– 1; cos 2] ∪ [cos 1; 1].

Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующему:

Пусть arcsin x = t, где

IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций

Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.

Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.

Теорема 3. Если   то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе

Пример 17. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.

Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.

Ответ: {0,5}.

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Пусть x2 + x = t. Тогда уравнение примет вид

Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому x2 + x = 0

Ответ: {– 1; 0}.

Пример 19. Решить неравенство

Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке функцию Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения. Поэтому решением неравенства является отрезок

Пример 20. Решить уравнение arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = π. Решение. Поскольку arcsin  то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно. Таким образом, уравнение равносильно системе:

Решение последней системы не представляет труда.

V. Решение уравнений и неравенств, используя « прямые» тригонометрические функции от обеих частей.

Пример 21. Решить уравнение arccos

Решение. Перепишем это уравнение в виде arccos и возьмем косинусы от обеих частей , т. е. x.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат ( от этого могут появиться посторонние корни, но нам все равно нужно делать проверку – ведь мы брали косинусы от обеих частей! ) : 3х²= 1-х². Отсюда 4х²= 1, т. е. х=±

Сделаем проверку. Для х=имеем , и следовательно, х=- корень данного уравнения.

Для х= -имеем , т. е. х= является лишним корнем.

Заключение

В данной работе я постаралась показать основные методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Для меня тема «Аркфункции» казалась очень сложной и непонятной, да и в школьных учебниках по данной теме написано немного, хотя в заданиях ЕГЭ встречаются задачи на вычисление значений выражений, содержащих «арки». В процессе работы я столкнулась с тем, что литературы по данной теме написано очень мало. Поэтому в основу моей работы легла статья С. Шестакова и М. Галицкого «Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции» опубликованная в газете «Математика», 2000 г. , №14. Надеюсь, что проработанная и дополненная мною выше названная статья ещё одним методом решения, будет интересна учителям и ученикам старших классов.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)