Основные линии и углы трапеции
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Если же соединить отрезком середины оснований, получится вторая средняя линия трапеции. Итак, вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.
KS – вторая средняя линия трапеции АВСD
Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. А есть ли связь между второй средней линией трапеции и её боковыми сторонами? Очевидно, что вторая средняя линия трапеции не равна полусумме боковых сторон, в чём можно убедиться, хотя бы растяжением одного из оснований: В К С
A1А S D D1 сумма боковых сторон трапеции изменилась, а длина KS осталась прежней. И всё же связь между второй средней линией трапеции и боковыми сторонами есть. Воспользуемся векторным способом: в трапеции АВСD ВС АD, КS – вторая средняя линия.
KS = KB + BA +AS, с другой стороны, KS = KC + CD + DS. Сложив оба равенства, получим: 2KS = (KB + KC) + (BA + CD)+ (AS + DS), т. е.
KS = (BA + CD)
Таким образом, вектор второй средней линии трапеции равен полусумме векторов боковых сторон, взятых в одном порядке (сверху вниз).
Это утверждение можно доказать и вторым способом:
В К СВ трапеции АВСD (ВС АD) КS – вторая средняя линия, О – произвольная точка
По формуле для середины отрезка:
А S D ОК = (ОВ + ОС), OS = (OA + OD)
OS – OK = ((OA – OB) + (OD – OC)), KS = (BA + CD)
Рассмотрим некоторые свойства второй средней линии трапеции.
1. Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
BKC Для доказательства рассмотрим треугольники ВСD и ABD: KN - средняя линия треугольника BCD,
MОNKN BD и.
A S DMS – средняя линия треугольника ABD, MS BD,. Аналогично, МК АС, , NS AC,. Таким образом, MKNS – параллелограмм, MN и KS – его диагонали, следовательно, KO = OS, MO = ON.
2. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей.
B K CДано: ВК = КС
OДоказать: AS = SD
S Доказательство: как накрест лежащие при ВС AD и секущей BD. как вертикальные. подобен , аналогично, подобен.
. Из этих равенств следует, что , а т. к. BK = KC (по условию), то AS = SD.
3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны. О Для доказательства рассмотрим треугольники ВОС и AOD.
Они подобны по двум углам,
ODOC, OBOA, OA =k ·OB, OD = k ·OC.
По формуле середины отрезка:
OK = (ОВ+ОС), OS = (OA+OD), OS = (k ·OB + k ·OC)= k (OB+ OC)= = k ·OK OK коллинеарен OS, ОKS.
Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны и середину одного из оснований, то она проходит и через середину другого основания (является второй средней линией трапеции).
Дано: Прямая OS проходит через середину основания AD трапеции ABCD.
Доказать: ВК = КС
Доказательство:
∆KOC ~ ∆SOD
∆ВОК ~ ∆AOS
, т. к. АS = SD(по условию), то КС = ВК.
4. В равнобочной трапеции средние линии перпендикулярны.
ВKСДано: ABCD - трапеция, АВ = CD,
MN, KS – средние линии
МN Доказать: MNKS.
Доказательство:
АSDMK – средняя линия ∆АВС, МКАС, МК=АС
NS – средняя линия ∆ADC, NSAC, NS =АС
Если противоположные стороны четырехугольника MKNS равны и параллельны, то по признаку MKNS – параллелограмм
Т. к. трапеция ABCD – равнобокая, то AC = BD,
MK = АС, KN = BD,
MK = KN, MKNS - ромб
По свойству ромба, диагонали в нем перпендикулярны, MN KS.
Верно и обратное утверждение: если средние линии трапеции перпендикулярны, то эта трапеция равнобокая.
Доказательство :
По теореме о средней линии трапеции MNBC, MNAD
По условию MNKS, BCKS, ADKS
BK=KC, AS=SD, KS- ось симметрии трапеции ABCD,
AB и CD симметричны относительно KS, AB=CD.
Пользуясь доказанным свойством, можно сформулировать следующее:
5. В равнобочной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям (см. доказательство предыдущего утверждения)
6. Если средние линии трапеции равны, ее диагонали перпендикулярны.В Е С
Доказательство:
МNМЕNF – параллелограмм, по условию MN=EF.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник, ENME,
AFDт. к. ENBD, MEAC, то BDAC,
Обратное утверждение также верно: если диагонали трапеции перпендикулярны, то средние линии этой трапеции равны.
Доказательство:
ACBD, MEEN, MFFN MENF – прямоугольник EF=MN
Мне удалось найти очень мало задач, связанных со второй средней линией трапеции (авторы: Кушнир И. А. , Лидский В. Б. , Прасолов В. В. , Сивашинский И. Х. , Шахно К. У. ). В учебнике «Геометрия 7-9 » (автор Л. С. Атанасян) представлена лишь одна задача (№820). Кроме того, две задачи повторяются у нескольких авторов, правда, с различными формулировками:
Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой.
Задачи такого типа рассмотрены при исследовании свойств 2 и 3.
Приведу решение остальных найденных мной задач.
Задача 1 (Кушнир И. А. )
Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на диагональ трапеции и на синус угла между ними.
B E C рис. 9Дано: ABCD – трапеция,
EF – вторая средняя линия.
Доказать:
Доказательство. Соединив точки А и E, С и F, получим что площадь трапеции AECF, , где - угол между отрезками EF и AC. и. Значит, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции AECF, что и требовалось доказать.
Задача 2 (Кушнир И. А. )
Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции.
B E C рис. 10NДано: ABCD – трапеция,
EF – вторая средняя линия,
MСNEF, AMEF.
Доказать:
Доказательство: Рассмотрим треугольники AEF и ECF. ,. Тогда. Т. к. , то.
Задача 3 (Кушнир И. А. )
Как с помощью одной линейки провести в трапеции вторую среднюю линию?
Решение:
1) Провести диагонали.
2) Продолжить боковые стороны до их пересечения.
3) Через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон провести прямую.
4) Отрезок прямой, заключенный между основаниями трапеции – искомая вторая средняя линия трапеции.
Задача 4 (Русакова М. А)
Можно ли построить трапецию, если известны её средние линии и угол между ними?
Решение: можно; решений будет бесконечное множество. При построении нужно воспользоваться свойством 1.
Задача 5 (Атанасян Л. С. )
(№820) Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.
Решение: см. доказательство свойства 4.
Задача 6 (Сивашинский И. Х. )
В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
рис. 11M Решение: AF = FD, BN = NC
AD – гипотенуза,
MF = AF = FD = AD
C B NMN = BC
A F DFN = MF – MN
FN = AD - BC = (AD – BC)
Задача 7 (Кушнир И. А. )
В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания равны а и в (а >в).
Решение: воспользуемся рис. 11: в треугольнике AMD , значит,. Поэтому MN = , MF=.
NF = MF – MN = (a – b)/2.
Предлагаю задачи, составленные мной:
Задача 1
Верно ли утверждение: если прямая проходит через середину одного основания трапеции и точку пересечения диагоналей, то и другое основание она делит пополам?
Решение:
Да, см. свойство 2.
Задача 2
Основания трапеции равны 10 см и 6 см, вторая средняя линия – 4 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.
Решение:
А H S D
(соответственные), , КН = 2 см
Результат работы
В ходе данного исследования я:
1) изучила свойства второй средней линии трапеции,
2) решила задачи, имеющиеся в литературе,
3) составила и решила свои собственные задачи.
Комментарии