Недесятичные системы счисления

В наше время технического прогресса ведущую роль среди наук играет математика. Она служит базой для инженерных наук. Все крупнейшие технические достижения от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полётов - были бы невозможны без математики. Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время-период невиданного расцвета математики.

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической, она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с десятичной системой серьёзно конкурируют двоичная и отчасти троичная система, которыми «предпочитают пользоваться» современные вычислительные машины.

Чтобы иметь дело с числами, необходимо, прежде всего, уметь называть и записывать их. Способ наименования и записи чисел, принято называть СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ. Привычной для нас и общепринятой является ПОЗИЦИОННАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.

Чтобы лучше ее понять, необходимо познакомиться с другими системами. Возможно много различных систем счисления, которые делятся на две большие группы - ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ. Начнем с рассмотрения НЕПОЗИЦИОННЫХ систем. Это облегчит нам знакомство с позиционными системами. На некоторое время ограничимся рассмотрением лишь натуральных, т. е. целых положительных, чисел.

Цифра- это письменный знак, изображающий число. В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками: одна палочка изображала единицу, две палочки - двойку и т. д.

Для изображения сколько – нибудь больших чисел этот способ был непригоден. Поэтому появились особые знаки для числа 10, а у некоторых народов и для числа 5. Позднее были созданы знаки для больших чисел. Знаки эти у разных народов имели разную форму и с течением времени видоизменялись. Различны были и СИСТЕМЫ НУМЕРАЦИИ, т. е. способы соединения цифр для изображения больших чисел.

1) ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ нумерация.

В древнейшие времена в Греции была распространена так называемая АТТИЧЕСКАЯ нумерация. Числа 1,2,3,4 обозначаются черточками,( (, ((,(((,((((. Число 5 записывалось знаком(. Числа 6,7,8,9 обозначались ((, (((,((((,(((((. Число 10 - (. Числа 100,1000,10000 обозначались H, X, M. Числа 50,500,5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10 , 5 и 100 , 5 и 1000, а именно: ( , ( , (.

В третьем веке до н. э. аттическая нумерация была вытеснена так называемой ИОНИЙСКОЙ системой. В ней числа 1-9 обозначались первыми девятью буквами алфавита: α=1, β=2, γ=3, δ=4, ε=5, ς=6, ζ=7, η=8, υ=9. Числа 10, 20, 30,, 90- следующими девятью буквами: ι=10, ι=20, λ=30, μ=40, ν=50, ξ=60, ο=70, π=80, с=90; числа 100, 200,,900- последними девятью буквами: е=100, д. =200, τ=300, υ=400, φ=500, χ=600, ψ=700, ω=800, ﴿=900.

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами с добавлением особого значка сбоку: α=1000, β=2000 и т. д.

2) СЛАВЯНСКАЯ нумерация.

В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая «арабская нумерация», которую мы используем и сейчас. Приводим славянские цифры.

СЛАВЯНСКИЕ ЦИФРЫ

а в г д є ѕ з и д

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ι κ л м n з о п ч

10 20 30 40 50 60 70 80 90

ρ с т γ φ χ ψ ω ц

100 200 300 400 500 600 700 800 900

3) ДРЕВНЕАРМЯНСКАЯ и ДРЕВНЕГРУЗИНСКАЯ нумерация.

Армяне и грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения букв следовали порядку букв в армянских и грузинских алфавитах.

В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления.

4) ВАВИЛОНСКАЯ ПОМЕСТНАЯ нумерация.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась ПОМЕСТНАЯ НУМЕРАЦИЯ, т. е. такой способ изображения чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Числа, меньше 60, обозначаются с помощью двух знаков: для единицы ( и для десятка ＜. Они имели клинообразную вид так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторяли нужное число раз, например,

￨￨￨￨￨= 5, ＜＜＜= 30, ＜＜＜￨￨￨￨￨= 35,

5) РИМСКАЯ нумерация.

Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». В позднейшем своем виде цифры выглядят так:

Ｉ-1, Ｖ-5, Ｘ-10, Ｌ-50, Ｃ-100, Ｄ-500, Ｍ-1000.

Прежде они имели несколько иную форму.

Так, число 1000 изображается знаком (｜), а 500- знаком ｜).

Очень неудобны и сложны в непозиционной системе арифметические действия. Попробуем, например, пользуясь только римской системой, сложить числа ＣＣＣＬＩＸ и ＣＬＸＸＶ, т. е. 359 и 174 будет ровняться 533, значит, ＤＸＸＸＩＩＩ. Еще труднее состоит дело с умножением. Поэтому нет ничего удивительного в том, что римская система была быстро вытеснена позиционной. Запись чисел римскими цифрами применяется теперь позиционной. Запись чисел римскими цифрами применяется теперь очень редко и только арифметические действия, например, для нумерации глав в книгах, веков и т. п.

Позиционные системы счисления. Десятичная система.

Общепринятой системой счисления является ДЕСЯТИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА, берущая начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, затем заимствована там арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В этой системе для записи любого числа используется лишь десять цифр- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значение каждой цифры в позиционной системе счисления определяется не только ею самой, но также и местом (позицией), которое она занимает в записи числа.

Например, единица изображается цифрой 1. Можно было бы писать 01 или 001, во всех случаях цифра 1 стоит на первом месте справа. Если же эта цифра переместится на второе место справа. Если же эта цифра переместится на второе место справа, то мы получим уже число 10 или 010, т. е. десять. Число сто изображается той же цифрой 1, но уже стоящей на третьем месте справа- 100 и т. д.

Вспомним, как мы читаем число, записанное цифрами. Чтобы прочитать, например, число 3604, мы смотрим, на каком месте от конца стоит первая цифра, затем по порядку - вторая, третья и т. д. После этого в уме производим сложение. В записанном числе впереди стоит цифра 3. Она занимает четвертое от конца место- место ТЫСЯЧ. Следовательно, в числе 3 тысячи. Вторая цифра- 6 занимает место СОТЕН. Десятки обозначают нулем, значит, в этом числе ДЕСЯТКОВ нет. Наконец, четвертая по порядку цифра указывают число ЕДИНИЦ. В уме складываем: 3тыс. + 6 сот. + 4 ед. , а всего три тысячи шестьсот четыре. Итак, все число мы представляем в виде отдельных ступенек - ТЫСЯЧИ, СОТНИ, ДЕСЯТКИ, ЕДИНИЦЫ, которые затем сложили. В математике такие ступеньки называют РАЗРЯДАМИ.

Единица каждого следующего разряда всегда в определенное число раз превосходит единицу предыдущего. Это отношение называют ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Наша система счисления потому и называется ДЕСЯТИЧНОЙ, что ее основание является число десять: каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего.

Записывая целое число в десятичной системе счисления, мы представляем его в виде единиц, десятков, сотен, десятков тысяч, и т. д. Заметим, что все названные здесь числа являются степенями числа 10.

100= 10², 1000= 10³

Поэтому можно сказать, что запись числа в десятичной системе счисления означает, представление этого числа в виде суммы степеней десяти с различными коэффициентами. Эти коэффициенты и являются цифрами в записи числа. Например, запись 135609 в десятичной системе означает 135609= 1*10 + 3*10 + 5*10³ + 6*10² + 0*10¹ + 9*10º

Первая часть написанного равенства по внешнему виду напоминает многочлен. Действительно, если обозначить основание системы 10 какой- либо буквой, например, d, то можно написать:

135609= d + 3d + 5d³ + 6d² + 0d+ 9

Общеупотребительная запись числа является сокращенной формой записи этого многочлена: опущены плюсы и буква, заменяющая десятку в разных степенях.

Правила выполнения арифметических действий в позиционной десятичной системе счисления очень просты и достаточно хорошо известны.

Позиционные системы с другим основанием.

Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием.

Например, сосчитал до пяти - загни палец правой руки. Сосчитал еще пять предметов - загни палец той же руки и т. д. Когда все пальцы правой руки загнуты, то загибают один палец на левой руке, а пальцы правой руки разгибают. Дальше счет продолжают снова, загибают пальцы своей правой руки или другого человека.

Пять загнутых пальцев правой руки обозначают 5*5= 25, три загнутых пальца левой руки выражают число 25*3= 75, пять пальцев той же руки обозначают число 25*5= 125.

Такой способ счета называется ПЯТЕРИЧНЫМ, т. к. в его основе лежит число пять. Пятеричной системой счета пользовались папуасы с острова Новая Гвинея. Об этом написал русский этнограф и путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846-1888).

В древнем Вавилоне применялось ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до наших дней делении часа или градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Очень широкое распространение имела в древности, особенно на Ближнем Востоке ДВЕНАДЦАТЕРИЧНАЯ система. Ее происхождение, по всей вероятности, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах, только за единицу принимался не отдельный палец, а фаланги - отдельные суставы.

Остатки ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОЙ системы счисления сохранились до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно название для числа двенадцать, т. е. для единицы второго разряда в двенадцатеричной системе - дюжина.

Все позиционные системы с любым натуральным основанием устроены одинаково. В каждой такой системе для записи числа употребляется определенное количество знаков- цифр, и число, изображаемое данной цифрой, зависит как от самой цифры, так и от места, которое эта цифра в записи числа занимает.

Количество требуемых для записи числа цифр, как легко догадаться, определяется основание системы счисления. Различных цифр должно быть ровно столько, сколько существует натуральных чисел меньших основания, т. к. все эти числа в данной системе являются однозначными и должны изображаться разными знаками. Если мы учтем, что, кроме этих цифр, необходим еще и нуль, то станет ясно, что для записи числа в позиционной системе с основанием n требует ровно n цифр. Так, в десятичной системе счисления, как мы уже знаем, для записи числа употребляется десять цифр. Естественно использовать те же цифры 0,1,2,3,4. Основание системы - число 5- изобразится здесь как 10, поскольку оно является единицей следующего (второго) разряда. Следующие числа, однозначные в десятичной системе, в пятеричной системе будут двузначными. Например, число 7 в пятеричной системе будет выглядеть как 12-одна единица второго разряда (пятерка) и две единицы первого. Десятичное число 25 равно квадрату основания системы, т. е. единице третьего разряда, и потому запишется в пятеричной системе в виде 100.

По тем же причинам в ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОЙ системе для записи числа нужно иметь двенадцать цифр. Введя, например, для этих чисел обозначения 0 и 1, получим двенадцать различных цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1. Число12, являющейся основанием системы счисления, запишется в этой системе как 10. Легко понять, что так будет в любой системе счисления: основание системы всегда записывается как 10.

Чтобы различать, в какой системе записано число, если это не следует из сказанного, мы будем указывать основание системы мелким шрифтом справа внизу числа. Например, число 257(10) записано в обычной десятичной системе, 257(8)- в восьмеричной, 257(12)- в двенадцатеричной системе. При этом само основание во всех случаях пишется в десятичной системе!

Семеричная система счисления.

В предыдущей главе я рассказывала историю разных систем счисления, использованные народами других частей света. Теперь я подобнее углубляюсь в систему счисления с основанием семь.

В недесятичной системе счисления правила арифметики, конечно, те же самые, но в таблице сложения и умножения однозначные числа отличны от наших десятичных. Будучи приучены к десятичной системе и связаны с наименьшим числителем в нашем языке, мы, если пытаемся считать по иным системам, сначала испытаем известное неудобство. Попробуем поупражняться в умножении по семеричной системе. Прежде чем приступить к этому, рекомендую выписать таблицы, которыми придется пользоваться.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 10

2 3 4 5 6 10 11

3 4 5 6 10 11 12

4 5 6 10 11 12 13

5 6 10 11 12 13 14

6 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 11 13 15

3 3 6 12 15 21 24

4 4 11 15 22 26 33

5 5 13 21 26 34 42

6 6 15 24 33 42 51

Станем теперь умножать 265 на 24, при чем предполагаются написанными в семеричной системе.

Для проверки проделаем то же действие в десятичной системе. Чтобы переписать число 10416 по десятичной системе придется найти степени 7 вплоть до четвертой: 7²= 49, 7³= 343, 74= 2401. Отсюда следует, что 10416= 2401+ 4*49 + 7+ 6, причем правая часть равенства записана уже по десятичной системе. Складывая числа, мы находим, что число 10416, записано по семеричной системе, равно числу 2610, записана по десятичной. Умножить 145 на 18 в десятичной системе получается как раз 2610.

Вот и заключается сложность в семеричной системе в том, что числа получаются по сравнению с десятичной гораздо больше. При этом такой способ мало кто использует, но знать различные системы сложения необходимо для сохранности истории.

Восьмеричная система счисления.

Среди позиционных систем счисления, кроме общепринятой десятичной системы, особое место занимают еще две - восьмеричная и двоичная.

Для записи числа в восьмеричной системе используется восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Число восемь запишется уже в виде 10, т. к. является единицей следующего разряда. Единица третьего разряда равна квадрата основания, т. е. 1008= 6410.

Арифметические действия над числами в восьмеричной системе выполняются по тем же правилам, которые рассмотрены для десятичной системы. Впрочем, лучше сказать, что действия над многозначными числами по тем же правилам сводятся к действиям над однозначными, т. к. действия над однозначными числами выглядят в восьмеричной системе уже по-иному, чем в десятичной.

Прежде чем рассматривать действия с многозначными числами, нужно составить таблицы для сложения и умножения однозначных чисел в восьмеричной системе.

Таблица сложения в восьмеричной системе.

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7 10

2 2 3 4 5 6 7 10 11

3 3 4 5 6 7 10 11 12

4 4 5 6 7 10 11 12 13

5 5 6 7 10 11 12 13 14

6 6 7 10 11 12 13 14 15

7 7 10 11 12 13 14 15 16

Таблица умножения в восьмеричной системе.

1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7

2 2 4 6 10 12 14 16

3 3 6 11 14 17 22 25

4 4 10 14 20 24 30 34

5 5 12 17 24 31 36 43

6 6 14 22 30 36 44 52

7 7 16 25 34 43 52 61

Пользуясь таблицами сложения и умножения для однозначных чисел, можно выполнять действия над многозначными числами в восьмеричной системе по правилам, общим для всех позиционных систем. Рассмотрим пример на сложение и вычитание:

37564 26371

44205 17063

103771 7306

Сложение нескольких слагаемых выглядит в восьмеричной системе так:

Приведем еще по одному примеру на умножение и деление в восьмеричной системе:

40026613 1155

3507 32327

Можно примеров привести бесчисленное множество.

Двоичная система счисления.

Двоичная система счисления есть позиционная система с основанием два. Для изображения чисел в этой системе требуется лишь две цифры: 0 и 1. Основание двоичной системы, число два, изображается в этой системе как 10.

Прибавляя к этому числу единицу, мы получим 11, что двоичная запись числа три. Прибавляя еще единицу, мы должны будем сделать перенос во второй, а затем и в третий разряд, что дает двоичное изображение числа четыре - 100.

Выражение первых чисел натурального ряда в двоичной системе показано в приведенной таблице:

Десятичные числа Двоичные числа

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14. 1110

15. 1111

Из этой таблицы видно, что запись числа в двоичной системе значительно длиннее десятичной записи. Так, двузначное десятичное число 19 записывается пятью двоичными разрядами, а 50 - даже шестью, однозначное в десятичной системе число 8 требует в двоичной системе четырех разрядов и т. п. Рассматривая различные примеры, легко убедиться в том, что для записи произвольного целого числа в двоичной системе требуется в среднем втрое больше разрядов, чем в десятичной. Поэтому при обычном ручном счете двоичная система неудобна и невыгодна.

Может показаться, что требование большого числа разрядов увеличивает количество требуемого для машины оборудования. Но это не так, поскольку для машины существенно не количество разрядов, а общее количество устойчивых состояний всех элементов, используемых для изображения числа. В этом смысле двоичная система оказывается даже значительно более экономной, чем десятичная.

Например, для изображения целых чисел от 1 до 999 в десятичной системе достаточно трех разрядов, т. е. трех элементов. Поскольку каждый элемент может находиться в десяти различных состояниях, то общее число требуемых состояний равно тридцати. В двоичной системе для тех же чисел потребуется уже десять элементов, так как 99910= 11111001112, но каждый элемент имеет лишь по два состояния, поэтому обще число требуемых состояний в двоичной системе будет равно лишь двадцати.

Существует и еще более экономичная в этом смысле позиционная система - троичная. Если для записи целых чисел от 1 до 109 в десятичной системе требуется 90 различных состояний, то в двоичной – 60, а в троичной лишь 57.

Арифметические действия в двоичной системе производятся по обычным правилам, общим для всех позиционных систем. Таблица сложения однозначных чисел в двоичной системе имеет следующий вид:

0+0=0, 1+0=1,

0+1=1, 1+1=10.

Сложение двух многозначных чисел выглядит так:

1011100101

10111100

1110100001

Таблица умножения в двоичной системе предельно проста. Так как умножение на нуль всегда дает нуль, то в таблице умножения остается лишь одна строка:

Но умножение на единицу не меняет числа. Поэтому умножение многозначных чисел в двоичной системе сводится лишь к сдвигу и сложению; никакого другого счета здесь не требуется. При многозначных множителях с большим числом единиц между множителями и частичными произведениями удобно оставлять свободное место для записи единиц переноса при сложении.

Приведем два примера для умножения:

11011 111001101

100,1 1110001

11011 11 11

11011 111111111

1111001,1 111001101

111001101

111001101

111001101

1100101101111101

В первом из них без записи единиц переноса легко было обойтись.

Обратные действия – вычитание и деление – выполняются так же просто по таким же правилам. Например,

1101001101 10101110001111 11011

11100110 11011 110011101

1001100111 100001

Примеры решения задач в недесятичной системе счисления.

« Загадочная автобиография »

В бумагах одного математика была найдена странная автобиография: « Я окончил школу 33 - летним юношей и поступил в том же году в институт, который успешно окончил в возрасте 42 лет. Вместе со своей маленькой сестренкой, которая училась в 3 классе средней школы и была в возрасте 20 лет, я поехал на учительскую работу. Школа помещалась в 10 км от железной дороги. Это расстояние я, не спеша легко преодолевал за 1 час, а на велосипеде даже за каких-нибудь 100 минут. Работа в школе мне давалась легко, нагрузка у меня была не большая: 100 часов в неделю. Сестра моя училась очень хорошо и через 12 лет окончила среднюю школу, будучи еще совсем молоденькой девушкой: ей едва исполнилось 32 года»

Как выяснилось, все числа в этой автобиографии написаны в пятеричной системе счисления. Расшифруйте теперь автобиографию.

Решение:

1) Во сколько лет окончил школу?

33(5) = 3*51 + 3*50 = 15 + 3= 18 (лет)

2) Во сколько лет окончил институт?

42(5) = 4*51 + 2*50 = 20 + 2 = 22 (года)

3) Сколько лет было сестре, когда она училась в третьем классе?

20(5) = 2*51 + 0*50 = 10 (лет)

4) Сколько километров было от железной дороги до школы?

10(5) = 1*51 + 0*50 = 5 (км)

5) За сколько минут преодолевал расстояние от железной дороги до школы на велосипеде?

100(5) = 1*52 + 0*51 + 0*50 = 25 (мин)

6) Какова была нагрузка в школе?

100(5) = 1*52 = 25 (часов)

7) Через сколько лет сестра окончила среднюю школу?

12(5) = 1*51 + 2*50 = 7 (лет)

8) Сколько лет исполнилось сестре, будучи еще совсем молоденькой?

32(5) = 3*51 + 2*50 = 17 (лет)

Вам дана двоичная запись нескольких чисел: 101; 10001.

Какие здесь числа записаны? (Запишите их в десятичной системе счисления)

Решение:

1) 101(2) = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4 + 1 = 5(10)

2) 10001(2) = 1*25 + 1*20 = 32 + 1 = 33(10)

« Интересная игра »

Попробуйте со своим товарищем сыграть в следующую игру. Расположите на столе три кучки спичек. Например, в 12, 10 и 7 спичек. Игра заключается в том, чтобы поочередно брать из кучек некоторое, какое вам захочется, количество спичек, но каждый раз только из одной кучки. Можно взять и сразу целую кучку. Выигрывает тот, кто последним возьмет спички. Давайте для примера разыграем партию. Одного игрока обозначим А, другого Б.

Исходное положение 12, 10, 7

После хода А 12, 10, 6

Б 12, 7, 6

А 1, 7, 6

Б 1, 5, 6

А 1, 5, 4

Б 1, 3, 4

А 1, 3, 2

Б 1, 2, 2

А 0, 2, 2

Б 0, 1, 2

А 0, 1, 1

Б 0, 0, 1

Последним ходом игрок А выигрывает. Вопрос состоит в следующем: может ли А играть так, чтобы всегда выигрывать?

Решение: Ответ на вопрос неожиданно оказывается связанным с двоичной системой изображения чисел. Представим каждое из чисел 12, 10, 7 в двоичной системе:

12 - 1100

10 - 1010

7 - 111

В каждом столбце получившейся таблицы, за исключением крайнего правого, стоит по две единицы. Первым ходом игрок А делает так, чтобы в каждом столбце стояло по две единице или одной:

12 – 1100

10 – 1010

6 – 110

Своим ходом игрок Б нарушает это свойство, а игрок А его опять восстанавливает:

7 – 111

6 – 110

Если мы последним за игрой далее, то увидим, что каждым ответным ходом игрок А восстанавливает нарушенное предыдущим ходом Б свойство таблицы содержать в каждом столбце четное количество единиц.

Назовем систему из трех целых неотрицательных чисел правильной, если после представления каждого числа в двоичной системе любой столбец содержит четное количество единиц, и неправильной в противном случае.

Легко видеть, что правильная система после любого хода становится неправильной, а из любой неправильной системы одним ходом всегда можно сделать правильную. Для этого давайте выберем самый левый столбец, где стоит нечетное число единиц, и то из чисел, которое в этом столбце имеет единицу, заменим на меньшее так, чтобы получилась правильная система. Это, очевидно, всегда можно сделать.

Вы выиграете, если будете играть так, чтобы после каждого вашего хода в любом столбце таблицы стояло четное число единиц.

« Угадывание любого целого числа от 1 до 31 с помощью двоичной системы счисления ».

Пусть этот фокус проводят два ученика – А и Б. Б выходит из комнаты, А вызывает к столу 5 учеников (кто желает) и выстраивает их в один ряд. Затем он предлагает присутствующим в комнате назвать любое число от 1 до 31. В уме он приводит число в двоичную систему счисления и расставляет учащихся так, чтобы нулю соответствовал ученик, стоящий лицом к присутствующим, а единице – ученик, стоящий несколько боком к аудитории. Например, если предложено число 13, то в двоичной системе счисления оно запишется так: 1101, или (что то же) 01101. Затем А уходит в сторону (или вовсе уходит из комнаты). Приглашают Б, и он, посмотрев на пятерку учеников, восстанавливает в уме по их расположению загадочное число (сначала - в двоичной системе, а затем переводит его в десятичную).

« Волшебная таблица »

5 4 3 2 1

16 8 4 2 1

17 9 5 3 3

18 10 6 6 5

19 11 7 7 7

20 12 12 10 9

21 13 13 11 11

22 14 14 14 13

23 15 15 15 15

24 24 20 18 17

25 25 21 19 19

26 26 22 22 21

27 27 23 23 23

28 28 28 26 25

29 29 29 27 27

30 30 30 30 29

31 31 31 31 31

16 8 4 2 1

Вот таблица, в которой в пяти столбцах написаны известным образцом все числа от 1 до 31. Таблица эта отличается следующим «Волшебным свойством».

Задумайте какое угодно число и укажите только, в каких столбцах это таблицы находится задуманное вами число, а я тот час же угадаю это число.

Если, например, вы задумаете число 27, то скажите только, что число находится в 1-м, 2-м, 3-м, 4-м,5-м столбцах, а я уже сам вам скажу, что вы задумали именно число 27. (Можно это сказать, даже не глядя на таблицу. )

Но в чем секрет?

РЕШЕНИЕ: Секрет разгадывания с виду прост: обратите внимание на цифры, написанные в самой нижней графе. Если вам скажут, например, что задуманное число находится во 2-м, 3-м и 5-м столбцах, считая справа, то сложите числа, стоящие в этих столбцах внизу, получите 22(2+4+16), и будьте уверены, что задумано именно это, а не иное какое – нибудь число.

Еще пример – число 18. Вы найдете его во 2-м и 5-м столбцах. Внизу этих столбцов стоят числа 2 и 16; сложенные вместе, они дают действительно 18.

Как же составляется подобная таблица?

Если написать ряд чисел, начиная с 1, таких, чтобы каждое число было вдвое больше предыдущего, т. е. 1, 2, 4, 8, 16, 32, , то ряд этот обладает тем замечательным свойством, что каждое целое положительное число может быть получено, и не более чем одним способом, как сумма некоторых членов ряда. Например, 27= 16+8+2+1. Для составления таблицы мы взяли только начальные члены ряда: 1, 2, 4, 8, 16 (20, 21, 22, 23, 24), сложением которых можно получить все числа от 1 до 31 (=25-1). За каждым из них закреплен определенный столбец таблицы (см. нижнюю строку). Воспользовавшись указанным выше свойством ряда степеней двойки, мы помещаем каждое целое число в те столбцы, в основании которых стоят степени двойки, в сумме составляющие это число. Так 27 попадает в столбцы с основаниями 1, 2, 8, 16. Теперь ясно, почему для угадывания достаточно сложить числа, стоящие внизу столбцов. Можно воспользоваться этим свойством степеней двойки для обозначения чисел. Напишем для каждого числа последовательность из 0 и 1 такую, что на первом месте справа стоит 1 или 0 в соответствии с тем, содержится наше число в первом или нет, на втором 1 или 0 в зависимости от того, стоит ли число во втором столбе, и так далее. Например, число 27 обозначается этим способом так: 11011, а число 12- так: 01100. Условимся не писать нули, стоящие слева, тогда для числа 12 получим представление 1100.

Такой способ записи называется двоичной системой изображения чисел.

Для того чтобы изобразить число с его помощью, совсем не обязательно иметь перед глазами таблицу. Достаточно представить целое число в виде суммы степеней двойки и на местах, номера которых (считая справа налево, начиная с 0) участвуют, в этом представлении, поставить 1, а на остальных местах 0:

Число Двоичное изображение

2=21 10

3=21+20 11

5=22+20 101

19=24+21+20 10010

134=27+22+21 и т. д. 10000110 и т. д.

Двоичная система очень удобно для представления чисел в вычислительных машинах, т. к. для записи любого числа достаточно только двух знаков - 0 и 1. В общеупотребительной же десятичной системе для этого требуется 10знаков – 0, 1, 2,, 8, 9.

Выполните следующие вычисления в двоичной системе счисления без перехода к десятичной:

10010111011

1101111101

После этого перейдите к десятичной системе счисления и выполните действия; сравните полученные результаты с ранее найденными.

10010111011

1101111101

100000101011

75 000011

55 101113

130. 1011 143

10001111

Угадывание предмета по таблицам.

Ведущий: «Вы видите перед собой различные геометрические фигуры и инструменты. В этой таблице выписаны все их названия:

1. Куб6. Циркуль11. Сегмент

2. Шар7. Цилиндр12. Транспортир

3. Окружность8. Треугольник13. Сектор

4. Круг9. Квадрат14. Пирамида

5. Линейка10. Параллелограмм15. Трапеция

Он же выписаны в этих четырех таблицах:

Таблица №4 Таблица №3 Таблица №2 Таблица №1

Треугольник Круг Шар Куб

Трапеция Линейка Окружность Сектор

Сектор Циркуль Цилиндр Трапеция

Пирамида Сектор Циркуль Сегмент

Транспортир Транспортир Пирамида Окружность

Квадрат Трапеция Трапеция Линейка

Параллелограмм Пирамида Сегмент Цилиндр

Сегмент Цилиндр Параллелограмм Квадрат

Выберите любой из этих предметов так, чтобы я не видел. С помощью несложных расчетов можно установить, какой предмет выбран. Кто желает проделать этот фокус?» Допустим, что к доске выходит ученик М. Ведущий поворачивается так, чтобы видеть только таблицу, в которой 15 названий. Затем он продолжает: «Выбери, М, любой из предметов на столе. Подними его так, чтобы его видели все, кроме меня. Записан ли этот предмет в таблице №1?» «Да». «А в таблице №2?» «Нет». «А в таблице №3?» «Да». « А в таблице №4?» «Нет».

Ведущий: «Я угадываю: ты выбрал линейку».

ОБЪЯСНЕНИЕ: Каждому предмету соответствует определенное число – номер, под которым название предмета значится в таблице с 15 предметами. Например, число 5 запишется так: 101, или (что тоже) 0101.

В первой таблице помещаются такие, и только такие слова, чьи номера в двоичной системе счисления имеют на первом месте справа 1. Например, слову «сектор» соответствует число 13, а в двоичной системе счисления – 1101; на первом месте справа – 1; поэтому слово помещено в таблицу №1. В таблицу №2 помещены те слова, чьи номера в двоичной системе счисления имеют на втором месте цифру 1. Например, слово «цилиндр» входит под номером 7, т. е. в двоичной записи – под номером 111. Вторая цифра с конца (справа) – 1. Следовательно, слово «цилиндр» включаем в таблицу №2. Аналогично составлены таблицы №3 и №4. Когда М. Говорит, что выбранный им предмет имеется в таблице №1 и №3, но не значится в таблицах №2 и №4, можно написать номер этого предмета в двоичной системе счисления: 0101, или в десятичной системе счисления: 0*23+1*22+0*2+1, т. е. 5. Под номером 5 в таблице из 15 предметов значится слово линейка. Значит М. выбрал линейку.

Заключение.

Каждый человек сталкивается с изучение слов математики, а людей, для которых знания этой науки является профессиональной потребностью, год от года становится больше. На вопрос «для чего изучают математику?» замечательно ответил ещё в XIII в. английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон : «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». В этом, по-моему, и заключается столь глубокое проникновение законов математики в обыденную жизнь человека.

Работая над рефератом, я просмотрела множество литературы, узнала много нового и интересного. После некоторого отдаления от всяких игр, я, разобравшись в и математической сущности, снова захотела поиграть в домино или крестики-нолики. Стоит заметить, что математика играет огромную роль в жизни людей как дисциплина, развивающая интеллектуальные и творческие способности человека. Лучшего средства для их совершенствования пока не найдено.

«Математика играет весьма существенную роль в формировании духовного облика. Занятие математикой - подобно мифотворчеству, литературе или музыке - это одна из наиболее присущих человеку областей его творческой деятельности, в которой проявляется его сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии». Эти слова принадлежат перу Германа Вейля и наиболее точно охарактеризовывают взаимосвязь жизни людей и математики, и я с ним согласна.

Завершив работу над рефератом, я выполнила основные моменты, достигла цели и, более того, освоила систему углубления знаний за счёт детального изучения узкой специализации науки. Кроме того, я сделала для себя несколько важных выводов.

Мне был интересен сам процесс перевода чисел из одной системы счисления в другую и сопоставление полученных результатов. Я заметила, что значение числа, его позиции не меняются в зависимости от того, в какой системе представлено число, а меняется только форма записи числа. В будущем мне хотелось бы расширить свое небольшое исследование и с непозиционными системами счисления.