Наука и искусство — вольные дети природы, исконных сил человека

Мне любо изречение древнего и славнейшего живописца Памфила, у которого молодые люди благородного звания начали обучаться живописи. Он считал, что ни один живописец не может хорошо писать, не зная хорошо геометрии. Наши наметки, в которых изложено всё искусство живописи во всём безусловном совершенстве, будут легко поняты всяким геометром, но невежда в геометрии не поймет ни этих, ни каких – либо иных правил живописи. Поэтому я и утверждаю, что живописцу необходимо обучаться геометрии.

“Окружающий нас мир – это мир геометрии”. Так сказал выдающийся российский математик, физик и философ XX века Александр Данилович Александров, намекая на тесные и многообразные связи геометрии с окружающей нас действительностью. По его словам, практическое значение геометрии всегда имело огромный смысл. Действительно, с этим мы не можем не согласиться. В доказательство можно привести длинный перечень простейших фактов из истории, например: чтобы построить хижину, вырыть пещеру, раскинуть шатёр, необходимы хотя бы интуитивные познания в геометрии. А роль в современном мире с его чудесами технических сооружений такой области математики, как геометрия, вообще не должна вызывать сомнений.

Но геометрия – это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией и совершенством, а другие отталкивают?

“Геометрия и искусство”. Название этой работы на первый взгляд может показаться довольно неожиданным. В самом деле, что общего между столь прозаичной (для непосвящённого) областью математики, как геометрия, и столь возвышенным предметом, как искусство? Вопрос о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков. Место геометрии в раскрытии секретов искусства определило интерес к ней многих творцов прекрасного, в том числе таких гигантов, как Леонардо да Винчи или Альбрехт Дюрер, или Витрувий, или Томас Гоббс, пытавшихся осуществить, так сказать, “личную унию” между искусством и геометрией.

Можно полагать, что математика и искусство возникли почти одновременно, их происхождение было связано с религиозно – философскими исканиями человека. Существует взгляд на эти два предмета, как на основы, которые помогают понять законы природы, раскрыть гармонию и совершенство Вселенной. И если математика и искусство первоначально были связаны с религией, то впоследствии они выросли в основные инструменты всякого знания и определили фундамент общего умственного и духовного развития, которым считалось необходимым владеть всякому образованному человеку.

Настоящая исследовательская работа в первую очередь характеризуется стремлением взглянуть на геометрию как на неотъемлемый элемент общей культуры, чему, в частности, способствует попытка в какой – то мере сопоставить геометрию с изобразительным искусством и архитектурой и затронуть вопрос об их связи и взаимозависимости.

Глубокие основания имеет математический лозунг: “Ищите искусство в геометрии”. Да, математика красива – и чисто эстетические критерии играют в ней весьма серьёзную роль. Но мой лозунг будет звучать совсем иначе: “Ищите геометрию в искусстве”. Именно этим поиском мы и займёмся. Итак, речь пойдёт о возможных взаимосвязях искусства и геометрии.

Актуальность исследования.

Казавшийся ещё совсем недавно необъяснимым удивительный феномен искусства вовсе не необъясним: оказывается, его наполняют какие – то общие психологические и математические закономерности. Особенно интенсивными стали поиски лежащих в основе искусства закономерностей математического порядка в последние десятилетия – это произошло в связи с созданием ЭВМ и попытками моделирования интеллектуальной деятельности человека. В чём же заключаются эти закономерности?

В наше время столь удивительно вдруг встретить художника, скульптора, архитектора, который в своей творческой деятельности занят проблемами, лежащими в основании целых наук и нескольких математических дисциплин. Подобное не случалось с тех времён, когда художники открывали законы перспективы и были пионерами в анатомических исследованиях произведений искусства. Это происходит, потому что искусство и наука сегодня живут в различных сферах деятельности и при этом стремятся разойтись всё дальше и дальше друг от друга. У представителей нынешних поколений сформировалось мнение, что геометрия – это “сухой” предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на духовную сферу человека, в которой нет места логике, следовательно, геометрия и искусство – это “лед и пламень”.

Я попытаюсь развеять этот миф и ответить на вопрос: есть ли точки соприкосновения геометрии с искусством, а, точнее, с его разновидностями: живописью, архитектурой и скульптурой? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?

Ответы на эти вопросы дадут возможность увидеть взаимозависимость геометрии и искусства, помогут понять законы природы и раскрыть её совершенство.

Гипотеза.

Если я буду изучать выбранную мной тему, то я докажу существование в живописи, архитектуре и скульптуре многих закономерностей математического порядка и удостоверюсь в том, что между геометрией и искусством существуют весьма тесные и многообразные связи.

Цели и задачи исследовательской работы.

Цель: изучить законы геометрии для восприятия красоты и гармонии в искусстве и найти практическое значение геометрии в искусстве.

Задачи:

• исследовать роль симметрии и ассиметрии в искусстве;

• найти области применения в искусстве принципа пропорций;

• изучить значение перспективы в искусстве.

Содержание.

1. Что такое геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Слово геометрия греческого происхождения и означает землемерие. Геометрия это – наука о пространстве, точнее – наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем. Они передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т. д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н. э. Во время сезона тропических дождей, Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

2. Что такое искусство?

Искусство — это разновидность культурной деятельности. В искусстве посредством творчества элементы духовного мира человека переносятся на доступный восприятию художественный образ. Также, в широком смысле, искусство – это результат такой деятельности.

В настоящее время в мировой культурной традиции используются понятия об искусстве, берущие свое начало в средиземноморской античности, в особенности в греко – римском восприятии этого термина. Искусство берет начало в доречевых навыках и приемах передачи, восприятия и хранения в памяти языковой информации. Чисто коммуникативная функция искусства утратилась с овладением человеком речью. Коммуникативная утилитарность искусства, наряду с развитием эстетического аспекта, ярко наблюдается в дописьменный, фольклорный период культур всех народов. Так же, как в своё время, для передачи языковой информации в наиболее полном и доступном виде, в дальнейшем ко всем другим аспектам культурной жизни привлекались лучшие мастера, использовались самые совершенные для своего времени навыки. Это позволяло легче воспринимать, лучше запоминать и успешно передавать из поколения в поколение комплексную культурную информацию. На этой, в прошлом утилитарной, основе формировались вкусы и требования, которые мы сейчас называем эстетическим воздействием и эстетическим восприятием. Не случайно, что этимология слова “искусство”, как в русском, так и в греческом языке подчеркивает мастерство и искусность.

3. Где мы будем искать связь математических закономерностей с искусством?

Само понятие искусство как разновидность культуры включает в себя широкий спектр различных видов творческой деятельности, например: вязание, поэзия, музыка, театр, танцы, архитектура, живопись, скульптура (два последних вида искусства можно объединить под названием изобразительные искусства) и т. д. Также слово геометрия не является только определением области изучения форм, размеров и объёмов фигур в пространстве, а содержит в себе перечень различных математических аспектов. Для изучения взаимосвязи геометрии с искусством я ограничился следующими разновидностями и разделами художественной деятельности: архитектура, живопись и скульптура, и науки: симметрия, пропорция, перспектива. Такой выбор мною сделан ввиду наиболее ярких предпосылок участия этих математических закономерностей в осуществлении гармонии с представителями области искусства. Поэтому далее в ходе исследовательской работы понятие искусство будет предполагать архитектуру, скульптуру и живопись.

4. Что такое живопись?

Живопись – это один из видов изобразительного искусства, воспроизведение при помощи красок «видимой реальности».

Живопись – важное средство художественного отражения и истолкования действительности, воздействия на мысли и чувства зрителей. Идейный замысел произведений живописи конкретизируется в теме и сюжете и воплощается с помощью композиции, рисунка и цвета (колорита).

Винсент ванн Гог. “Интерьер ресторана”.

Леонардо да Винчи.

“Мона Лиза”.

Сальвадор Дали. “Кубическое распятие”.

5. Что такое архитектура?

Архитектура – искусство и наука строить.

Архитектура – это удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени.

Самые ранние архитектурные сооружения обеспечивали людям лишь частичную защиту. Шатер бедуина или вигвам индейца служили укрытием от солнца, ветра и дождя, но почти не спасали от холода; в своем иглу эскимос находил также прибежище от диких зверей. Но человек стремится воплотить в формах архитектуры еще и свое стремление к прекрасному, свои идеи и надежды. Всякое произведение архитектуры является конструкцией, но не всякая конструкция становится произведением архитектуры.

У архитектуры есть три фундаментальных признака. Во – первых, сооружение должно отвечать своему назначению. Во – вторых, помимо утилитарных нужд, архитектура выражает духовные потребности человека, состоящие в создании и созерцании красивых, гармоничных образов. Третий критерий оценки архитектурного сооружения — его надежность.

Проекты зданий определяются, прежде всего, вкусами людей и духом времени.

Баптистерий. Калат – Семан, Сирия.

Пагода в городе Нара.

Рим. Арка Константина.

6. Что такое скульптура?

Скульптура (от латинского “sculpture” — вырезаю, высекаю) — вид изобразительного искусства, произведения которого имеют объемно-пространственную форму, трехмерны и осязаемы.

Выразительность скульптуры достигается с помощью построения основных планов, световых плоскостей, объемов, масс, ритмических соотношений. Большое значение имеют четкость и цельность силуэта. Материалами скульптуры являются камень дерево, кость, металл и т. д.

Сложная и многоэтапная технология скульптуры сопряжена с большим физическим трудом. Используются различные технические методы — лепка, высекание, резьба, литье, чеканка, ковка, сварка, применяются разнообразные материалы — камень, металл, дерево, глина, гипс, керамика, стекло, пластилин, воск, синтетические полимерные составы. Помимо авторской работы художника (лепка, резьба, обработка твердых материалов) важную роль в скульптуре играет вспомогательный труд мастеров – ремесленников (рубка камня, формовка, отливка, чеканка и др. ).

Один из самых древних видов искусства. Различные формы скульптуры существовали у всех народов мира издавна: женские фигуры и рельефы неолита (Венера из Савиньяно (Модена), 10-8 тыс. до н. э. ). Развитые формы скульптуры известны у народов Древнего Востока (Царица Нефертити, 14 в. до н. э. , Берлин Государственные музеи; рельефы из дворца Ашшурнасирапала II в Нимруде, 883-859 до н. э. , Лондон, Британский музей), Древней Америки. Важным этапом истории скульптуры является античность, идеалами которой были создание образа гармонически развитого человека (Мирон, Фидий, Поликлет, Пракситель, Скопас).

Микеланджело Буонарроти. Давид. Жан Антуан Гудон. Вольтер.

Венера Милосская.

II. Практическая часть.

1. Симметрия в геометрии и искусстве.

Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое – многое другое. Значение симметрии, играющей одну из ведущих ролей в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни велико и неоспоримо. Симметрия в своих простых формах понятна любому человеку и часто мы выделяем ее как элемент прекрасного и совершенного. В известной мере симметрия отражает степень упорядоченности системы. Например, окружность, ограничивающая каплю на плоскости, более упорядочена, чем размытое пятно на этой же площади, и, следовательно, более симметрична.

Симметрия в геометрии – свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Леонардо да Винчи. “Витрувианский человек”.

Одно из определений понятия симметрии дал В. Готт: симметрия – понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т. е. если хотите, некий элемент гармонии. Это определение принимает свою форму в каждой сфере человеческой деятельности.

Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами, и проявляется в соразмерности и взаимосвязанности, гармонизации отдельных частей в целой композиции. Симметричные произведения – статичные (устойчивые), левая и правая половины одинаковы.

В архитектуре использование принципов симметрии зависит от функционального содержания объекта. Она применима для сооружений с центричной схемой и главного объекта большого архитектурного комплекса. Симметрия создает парадную торжественность, благодаря чему часто использовалась архитекторами при строительстве многих крупнейших объектов прошлого. Но в настоящее время все более широкое распространение получают сооружения из сложных функциональных элементов, которые трудно решить целиком по симметричной схеме; применяется асимметричная композиция, которая обеспечивает более экономичные решения при более удобной функциональной взаимосвязи между элементами, лучшем использовании рельефа, более гармоничном взаимодействии с окружающим пространством.

В симметричной композиции живописи люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины.

Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

Виктора Михайлович Васнецов. "Три богатыря".

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.

В асимметричной композиции расположение объектов может быть самым разнообразным в зависимости от сюжета и замысла произведения, левая и правая половины неуравновешенны.

Композицию натюрморта или пейзажа легко представить в виде схемы, на которой ясно видно, симметрично или асимметрично построена композиция.

Симметричные композиции в живописи.

Асимметричная композиция в живописи.

2. Тайны симметрии и ассиметрии в искусстве.

Асимметрия – понятие, противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия и это связано с изменением, развитием и динамичностью системы. Таким образом, из соображений симметрии – асимметрии мы приходим к выводу, что развивающаяся динамическая система должна быть неравновесной и несимметричной. В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, для определенных геометрических фигур нетрудно увидеть эту симметрию и показать ее путем соответствующих преобразований, в результате которых фигура не изменит своего вида.

Следование принципу зеркальной симметрии в искусстве иногда приводило к парадоксальным результатам. Так, на мозаике Киевского собора св. Софии под знаменитой Орантой изображены два зеркально – симметричных Христа, обращенных лицом к ученикам. Правда, при ближайшем рассмотрении мы увидим, что симметрия здесь лишь приблизительная, так как один Христос преломляет хлеб, а другой разливает вино. Этот прием, позволяющий одновременно изобразить два важнейших момента тайного причастия, безусловно, является слишком "математичным" и со временем был вытеснен более реалистическим изображением тайной вечери.

Фрагмент мозаики Киевского собора св. Софии.

Собор Василия Блаженного.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Асимметричная композиция архитектуры подобно симметричной гармонична, подчинена закономерностям, но создана не по законам геометрического равенства, а по принципу гармонического единства архитектурных форм, несимметрично расположенных в пространстве. Основной принцип ее построения — поиск зрительного равновесия всех частей. Равновесие данной композиции, созданной в соответствии с законами гармонии, обеспечивает и асимметричной композиции совершенство, от которого нельзя ничего ни отнять, ни прибавить и которое свойственно в основном симметричной композиции.

Как и в любом деле, абсолютизация одной идеи не могла привести ни к чему хорошему. Симметрия в искусстве не составила исключения. "Красота неправильная" – асимметрия стала пробивать себе дорогу в искусстве, так как сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему именно единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность. Итак, "сфера влияния" симметрии (а значит, ее антипода – асимметрии), поистине безгранична, но в искусстве она занимает почётнейшее место. Природа – наука – искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал – симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.

3. Золотое сечение в искусстве.

Иоганн Kеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением.

И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.

Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение – далеко не все.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на золотом сечении.

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается деление отрезка в отношении золотого сечения, являются “Начала” Евклида (III в. до н. э. ). Уже во второй книге “Начал” Евклид строит золотое сечение, а в дальнейшем применяет его для построения некоторых правильных многоугольников и многогранников. Но золотое сечение было известно и до Евклида. В частности, знали о нём Пифагор и его ученики (VI в. до н. э. ).

Термин "золотое сечение" ввёл Леонардо да Винчи (1452 – 1519) – гениальный живописец, ученый и инженер эпохи Возрождения.

Современное определение понятия золотое сечение выглядит следующим образом: золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a : b = b : c или с : b = b : а

Геометрическое изображение золотой пропорции.

Золотое сечение в архитектуре.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является храм Парфенон (V век до н. э. ).

Парфенон — главный храм в древних Афинах, посвященный покровительнице этого города и всей Аттики, богине Афине – Девственнице. Строительство этого храма длилось около десяти лет (с 448 по 438 г. до н. э. ).

Отношение длины здания Парфенона в Афинах к его высоте равно Ф (фи).

Архитектор Фидий. Храм Парфенон.

КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

Известный русский архитектор Казаков Матвей Федорович в своем творчестве широко использовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту Казакова построена в Москве Голицынская больница, которая в настоящее время называется “Первая клиническая” больница имени Пирогова.

Петровский дворец в Москве построен по проекту М. Ф. Казакова.

Петровский дворец в Москве 1776 – 1796 гг.

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова (1786 г. ) является одним из наиболее совершенным произведением архитектуры Василия Ивановича Баженова.

Прекрасное творение прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы. Наружный вид сохранился почти без изменения до наших дней, ныне Российская государственная библиотека.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимания и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания к достижению сего служит руководством знание пропорции, перспективы, механики или вообще физики ,а всем им общим вождем является рассудок”

Дом – Пашкова. В. И. Баженов.

Внимание людей издавна привлекала совершенство формы пятиконечная звезда.

АD:АС = АС:СD=АВ:ВС=Ф.

Пятиконечной звезде – около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком.

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Чем же объясняется такая популярность? Тем, что совершенная форма этой фигуры радует глаз. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Золотое сечение в скульптуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела связывалось с формулой золотого сечения.

Пропорции золотого сечения создают впечатления гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Статуя Зевса Олимпийского.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал золотое сечение в своих произведениях.

Самая знаменитая из них была статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света и статуя Афины Парфенос.

Аполлон Бельведерский.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволило обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно 13:8=1,625, а взрослых женщин оно составляет 8:5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к золотому сечению.

Особым видом изобразительного искусства Древней Греции является изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека идущего, сидящего и т. д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам. Художники Древней Греции совершали специальные путешествия в Египет, чтобы поучиться умению пользоваться каноном.

Перед вами канон изображения стоящего человека, все пропорции человека связаны формулой золотого сечения.

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.

Золотое сечение в живописи.

Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

“Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

В наиболее известной картине Леонардо, портрете Моны Лизы (так называемой “Джоконды”, около 1503 г. , Лувр) образ богатой горожанки предстает таинственным олицетворением природы как таковой, не теряя при этом чисто женского лукавства; внутреннюю значительность композиции придает космически – величавый и в то же время тревожно – отчужденный пейзаж, тающий в холодной дымке. Ее композиция основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.

Леонардо да Винчи. “Мона Лиза”.

Нет живописи более поэтичней, чем живопись Боттичелли Сандро, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его “Венера”. Для Боттичелли его Венера – это воплощение идеи универсальной гармонии “золотого сечения”, господствующего в природе.

Боттичелли Сандро. “Венера”.

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом.

Золотое сечение – ассиметричная симметрия.

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863 – 1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего – то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Золотое сечение представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что – либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.

4. Загадки египетских пирамид.

Всё на свете страшится времени,

А время страшится пирамид.

Арабская пословица.

Египетские пирамиды – это величайшие творения древнего архитектурного искусства. О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число “Пи” и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т. п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а несут какие – то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (2SR) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота пирамиды (OP) оценивается исследователями различно: от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла “усадка” конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную “геометрическую идею”, положенную в основу сооружения.

Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г. Вайз: он равен 51° 14´. Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высоты пирамиды (OP) к половине длины её основания (РR), очень близка к корню квадратному из золотой пропорции, равному 1,27202 и является иррациональной величиной.

Итак, примем отношение катетов, т. е. высоты пирамиды (ОР) к половине длины ее основания (РR), равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения (или должна была иметь по проекту).

Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани равна 404,5 локтя.

Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер. Они равны 475,5 локтя.

Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания (2*2SR) к высоте пирамиды OP отвечает числу “Пи”. Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число “Пи” получалось разным: 3,16 – 3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем “египетском Пи”, равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2*2SR/OP=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа “Пи” (3,14159).

Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2OP/2SR = и 2*2SR/OP = “Пи”.

Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональную (т. е. неизмеримую) величину – “Пи” со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.

5. Перспектива в искусстве.

Перспектива (от франц. perspective, от лат. perspicere – смотреть сквозь, проникать взором) – это система изображения предметного мира на плоскости в соответствии со зрительным восприятием предметов человеком, геометрический способ изображения художественного пространства

Люди издревле учились отображать объекты окружающего их трехмерного мира на двумерную плоскость картины. Но сделать это можно разными путями. Прежде всего заметим, что реальный существующий мир и видимый нами мир – не одно и то же. Они могут быть представлены двумя противоположными геометрическими образами, названными перспективами. Прямая перспектива предполагает, что удаляющиеся предметы уменьшаются в размерах – так, рельсы железной дороги кажутся нам сходящимися на горизонте. Напротив, обратная перспектива требует увеличения предметов при их удалении, объединения нескольких точек зрения. На принципах прямой перспективы главным образом построено все светское искусство начиная с эпохи Возрождения (когда, собственно, и были разработаны геометрические принципы учения о перспективе) и заканчивая современной живописью. Обратная перспектива является основой христианского искусства, преимущественно православного, и нашла яркое воплощение в иконописи.

Художественные полотна, подчиненные перспективе, служат дидактическим средством, раскрывающим связь между искусством и законами природы, с математической точностью объясняющим устройство мироздания. Художники Возрождения даже Бога считали великим геометром, который сотворил мироздание по точным математическим законам.

В зависимости от назначения перспективного изображения перспектива включает в себя несколько видов:

1. Воздушная перспектива — понятие техники живописи, способ передачи светотеневых и колористических (а не линейных) качеств изображаемых объектов. Воздушная перспектива — это изменение в цвете и тоне предмета, изменение его контрастных характеристик, в сторону уменьшения, приглушения при удалении вглубь пространства.

2. Прямая линейная перспектива. Вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Линейная перспектива — это изображение, построенное на плоскости

3. Обратная линейная перспектива. Вид перспективы, при которой изображенные предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя, картина имеет несколько горизонтов и точек зрения, и другие особенности. При изображении в обратной перспективе предметы расширяются при их удалении от зрителя, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя. Среди причин ее появления самой простой и очевидной для критиков было неумение художников изображать мир, каким его видит наблюдатель. Потому такую систему перспективы считали ошибочным приемом, а саму перспективу — ложной.

4. Тональная перспектива. Характеризуется исчезновением четкости и ясности очертаний предметов по мере их удаления от глаз наблюдателя. При этом дальний план характеризуется уменьшением насыщенности цвета (цвет теряет свою яркость, контрасты светотени смягчаются), таким образом — глубина кажется более светлой, чем передний план. В природе наблюдаются и явления световой перспективы. Они особенно заметны и оказывают существенное влияние на восприятие предметов в условиях помещения и искусственного освещения. Световая перспектива определяется расстоянием до источника света и положением предмета по отношению к нему. В условиях помещения по мере удаления от источника света (например, лампы или освещенного окна) освещенность предметов слабеет. В связи с этим изменяется насыщенность и светлота цвета предметов.

Световую перспективу очень важно учитывать и передавать в работе над натюрмортом, портретом, тематическими постановками. Предметы переднего плана или ближние части фигуры, как правило, яснее по цвету, световым контрастам, деталям, нежели предметы дальних планов постановки, где контуры несколько утрачивают свою четкость, а насыщенность цвета относительно слабее.

По мере удаления изменяется не только собственная цветовая окраска предметов. Все увеличивающийся слой воздуха размывает их очертания и контрасты светотени. Предметы начинают принимать расплывчатый, суммарный характер. На большом расстоянии становится невидимым объем, рельеф, детали, материал предмета.

Вдали предмет смотрится обобщенно, мягко, в виде небольшого плоского пятна. Порой тот или иной предмет узнается лишь по характеру силуэта, очертаниям или движению. Причем, чем больше расстояние до предмета, чем больше толщина воздуха между предметом и глазом наблюдателя, чем мутнее воздух, тем более неясными становятся внешние черты и особенности предметов.

Обратная перспектива и ее сочетания с параллельной, сферической и другими видами перспективы – сумма условных приемов изображения как основополагающий принцип структурообразования художественного произведения. Увеличение предметов и фигур по мере их удаления от переднего плана – функциональная принадлежность указанного способа изображения, позволяющая насытить дальние планы значимой, органично вживленной в общую пластически-колоритную ткань произведения информацией и тем самым обогатить зрительное восприятие всей композиции.

Обратная перспектива в древнерусской иконописи, искусстве Востока, средневековом искусстве и детском рисунке как неувядающая традиция пластического выражения идеи произведения, следование которой обусловливает плодотворное решение многих проблем творческого процесса.

Проведенное мною исследование с представлением и объяснением значительного количества фактов участия математических закономерностей в искусстве даёт основание признать выдвинутую мною гипотезу полностью подтверждённой.

В ходе исследовательской работы мы взглянули на геометрию как на неотъемлемый элемент изобразительного искусства и архитектуры, увидели их практическую связь и взаимозависимость.

Да, между геометрией и искусством существуют тесные и многообразные связи.