Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Множество действительных чисел

Число – одно из самых основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Люди не сразу знали все действительные числа, им понадобилось много лет, чтобы узнать и научиться пользоваться действительными числами. В следствии развития человеческого общества, начиная с первобытнообщинного строя и до сегодняшних дней, люди научились не только называть числа, но и обозначать их. Но для практических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними арифметические действия(сложение, вычитание, умножение и деление).

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества чисел. В III веке до нашей эры древнегреческий математик Архимед (287-212 до н. э. ) разработал систему обозначения чисел до такого громадного числа как 108 Х 1016.

Понятие о натуральном числе (0,1,2,3,4,5), возникшее в связи с практической необходимостью считать предметы, складывалось очень медленно. Оно подвергалось расширению и обобщению. Наряду с натуральными числами применяли дроби – числа, составленные из целого числа долей единицы. Множество натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения.

Древнегреческий философ и математик Пифагор (580-500 до н. э. ) учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир является гармонией и числом».

Сильнейший удар по этому взгляду был нанесён открытием сделанным одним из пифагорийцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со его стороной, отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.

С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным возникает необходимость в отрицательных числах. Ещё до нашей эры их стали употреблять китайские математики.

Положительные и отрицательные числа мы можем представить наглядно с помощью числовой оси. Возьмём прямую ось X и точку О на ней. Отложим от точки О по оси X единицу длины вправо и влево 1,2,3,4,5 и т. д. раз. Концы полученных отрезков расположенных справа отметим с помощью положительных чисел +1,+2,+3,и т. д. , а расположенных слева – с помощью отрицательных чисел –1,-2,-3,и т. д. Изображением числа нуль будет точка О, которая не является ни положительной, ни отрицательной

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Так же на числовой оси можно изобразить и дробные числа.

В своей аналитической геометрии Декарт изучает различные кривые как линии, получаемые движением точек: последние же определяются координатами-числами, выступающими в роли переменных величин.

Новое определение числа было сформулировано Ньютоном во «Всеобщей арифметике» (1707 г. ): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное».

В XV веке самаркандский учёный ал-Каши ввёл десятичные дроби, с помощью которых можно обозначить рациональные и иррациональные числа.

Рациональные (по-гречески ratio – «логос») числа – это все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные. Также в рациональную числовую область входят периодические дроби, как чистые, так и смешанные.

Иррациональные («алогос») числа – это бесконечная непериодическая десятичная как положительная, так и отрицательная дробь.

Первоначально термины «рациональный» и «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримыми соответственно несоизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же – симметричными и асимметричными. В V – VI вв. римские авторы М. Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин «соизмеримый» ввел в первой половине VI в. другой римский автор – Боэций.

Древнегреческие математики классической эпохи не пользовались другими числами, кроме рациональных. В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. Однако уже с начала нашей эры в противовес громоздкой и ограниченной в своих возможностях геометрической алгебре в Греции и в странах Востока начинается развитие алгебры, опирающейся не на геометрию, а на арифметику, развитие вычислительных методов, необходимых для астрономии, для плоской и сферической тригонометрии.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа.

В XVI в. отдельные учёные, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин, считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Ещё до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Ближнего и Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношений Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В этом же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами Древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский учёный XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввёл десятичные дроби, которыми он пользовался и для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шёл открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «Приложениях к алгебре» (1594) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным формальным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков и необходимостью расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое истолкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

Немецкий математик Рихард Дедекинд (1831-1916 г. ) в работе «Непрерывность и иррациональные числа» изложил свойства множества R рациональных чисел:

I. Если a>b, b>c, то a>c. Это свойство упорядоченности, при котором предполагается также, что для любых двух элементов (чисел) имеет место одно и только одно из трёх соотношений.

II. Если а, с – два различных числа, то существует бесконечное множество чисел, лежащих между а и с.

III. Если а есть какое-либо число, то оно разбивает все числа множества R на два класса (подмножества) К1и К2 так, что : 1) каждое число из множества R принадлежит одному и только одному из классов К1, К2; 2) ни один из классов К1, К2 не является пустым, т. е. каждый из них содержит по крайней мере по одному числу, и 3) каждое число одного, скажем первого, класса меньше любого числа второго класса.

Такое разбиение множества чисел на два класса называется сечением.

Всякий раз, когда нам дало сечение (К1, К2), которое не может быть произведено никаким рациональным числом, «Мы создаем новое иррациональное число а», которое рассматривается нами как «замыкающее» и, значит, вполне определено данным сечением (К1, К2).

Вместе с рациональными числами иррациональные образуют множество вещественных чисел, или континуума (от латинского continuum – непрерывно).

Теории вещественных чисел были построены Кантором и Вейерштрассом, которые также исходят из множества рациональных чисел.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)