Множества вокруг нас

Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной оценкой.

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе такие задачи встречаются редко.

Логические задачи данного вида загадочны с первого взгляда, поэтому многие считаются неразгаданными. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.

В нашей жизни порой возникают следующие проблемы:

– Составить список продуктов для приготовления нескольких блюд праздничного ужина и оптимизировать маршрут похода по магазинам

– В период эпидемий купить необходимые лекарства, находясь вне дома как можно меньше времени

В данной работе я попробовал с помощью кругов Эйлера – Венна решить подобные проблемы.

Цель исследования:

• Выяснить, какое значение имеют множества в нашей жизни

Задачи исследования:

• Узнать происхождение названия «диаграмма Эйлера – Венна».

• Рассмотреть основные операции над множествами.

• Решать олимпиадные задачи с помощью кругов Эйлера.

• Составлять и решать задачи практического содержания.

2. 1 Происхождение названия «диаграмма Эйлера – Венна»

Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже диктовал ученикам, которые проводили за него громоздкие вычисления.

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика».

Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

2. 2 Основные операции над множествами

Понятие множества является одним из простейших, одним из первоначальных понятий математики.

Начала теории множеств были разработаны немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918). Теория множеств и математическая логика составляют основу современной математики. Согласно Г. Кантору: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Человеческому мышлению свойственно группировать различные предметы по какому-либо признаку в самостоятельный объект. В языке это обстоятельство достаточно полно отражается в словах: группа, класс, компания, экипаж, набор, ансамбль и др. Эти слова имеют тот же смысл, что и слово «множество».

В окружающей нас реальной действительности мы имеем дело с различными множествами:

• множество жителей данного города,

• множество простых чисел, множество букв в русском алфавите и т. д.

Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по какому либо общему для них признаку.

Множество задано, если о любом предмете можно точно сказать, является ли он элементом этого множества.

Множества иногда задают перечислением его элементов.

А= {мама, папа, я}

Множества иногда задают общим свойством его элементов.

А- множество членов семьи Мироновских.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

А – {мама, папа, я} , B- {мама, я, папа }, C-{ мама, папа, сестра}

А=В, А≠С.

Если в множестве нет элементов, то говорят что оно пустое.

Пустое множество обозначается так:

Часть множества называют подмножеством. B А

А- множество членов семьи Мироновских.

B- множество мужчин в семье Мироновских.

Общую часть множеств называют пересечением. A B = {Таня - мама}

Объединением называют множество всех элементов, принадлежащих данным множествам. A B = {Таня, папа, я, Валя, Катя, Витя}

А- множество членов семьи Мироновских.

В- множество членов семьи Рычковых.

2. 3 Решение олимпиадных задач с помощью кругов Эйлера

Задача 1

В классе 33 ученика. 24 из них выписывают журнал « Весёлые картинки», а 14 – выписывают журнал «Мурзилка». Сколько учащихся выписывают оба журнала?

Решение.

1) 33-24=9 (уч). – выписывают только «Мурзилку».

2) 14-9=5 (уч). - выписывают оба журнала.

Ответ: 5 учеников.

Кроме ответа на вопрос задачи, с помощью этой диаграммы можно узнать следующую информацию.

24-5=19 (уч) -которые выписывают только «Весёлые картинки»

Задача 2

В классе 33 ученика. 24 из них выписывают журнал « Весёлые картинки», а 14 – выписывают журнал «Мурзилка». Сколько учащихся выписывают оба журнала, если 5 учеников ничего не выписывают?

Решение.

1) 33-5=28(уч)- выписывают что-то.

2) 28-24=4 (уч) - выписывают только «Мурзилку».

3) 14-4=10(уч) -выписывают и то и другое.

Ответ:10 учеников.

Задача 3

В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой.

Решение.

1)35-16=19(чел. )посещают кружки;

2) 19-9=10 (чел. ) только матем. кружок;

3) 12-10=2(чел. ) биолога.

Ответ: 2 биолога.

Задача 4

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение.

1) 100-10=90(уч)выполнили хотя бы одну часть задания

2) 90-75=15(уч) сделали только эскиз фонтана

3) 65-15=50 (уч) сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

2. 4 Составление задач, имеющих практическое значение

Задача1. Праздничный ужин.

Составить список продуктов для приготовления нескольких блюд праздничного ужина, сделать выводы о требуемом количестве продуктов, чтобы оптимизировать поход по магазинам.

Список продуктов.

✓ Салат «Зеленый»: огурцы, салат, перец, лук, приправы, помидоры.

✓ Салат «Оливье»: яйца, колбаса, солёные огурцы, горох, лук, картофель, приправы.

✓ Горячее: курица, майонез, помидоры, приправы, картофель, сыр.

✓ Закуски: хлеб, икра, мясо, сыр.

✓ Сладкое: торт, конфеты, фрукты.

Я расположил продукты из данного списка в круги диаграммы Эйлера-Венна. Приложение №2. Праздничный ужин

Выводы:

1. В отличие от списка сразу видно, что в двух блюдах присутствуют: сыр, помидоры, картофель, лук.

2. В трёх блюдах присутствуют: приправы.

3. Остальные продукты находятся только в одном блюде.

4. Значит, приправ надо купить столько, чтобы хватило на три блюда; а сыр, помидоры, картофель, лук – на два блюда.

Задача2. Поход за лекарствами.

В период эпидемий нужно купить необходимые лекарства, находясь вне дома как можно меньше времени.

Во время каникул я спрашивал одноклассников, друзей, знакомых: не болеют ли они? Выяснилось следующее:

Только кашляют 7 человек. Только с температурой 5 человек. Только с насморком 8 человек. С насморком и кашлем 4 человека. С насморком и температурой 6 человек. С кашлем и температурой 3 человека. Все симптомы у 2 человек.

Таким образом я опросил 35 человек. Из них симптомы кашля имеют 16 человек, насморк – 20, температура – 16.

Это наглядно видно на диаграмме Эйлера – Венна.

Оказалось, что во время эпидемии не во всех аптеках есть нужные лекарства. Я навел справки в близлежащих аптеках и составил таблицу и диаграмму Эйлера – Венна. Приложение №3

Вывод: Из диаграммы видно, что аптека «Вита» содержит только такие лекарства, которые есть в других аптеках. Значит, за лекарствами из данного списка рекомендуется идти в «Казанские аптеки» и аптеки сети «36,6»

Задача3. Множество пожеланий.

Ко дню рождения моей бабушки Наташи я сделал «Множество пожеланий». Объединил пожелания мамы, папы и свои в диаграмме Эйлера – Венна. Когда это красиво оформил семейными фотографиями, то получился отличный подарок.

3. Заключение

Логика, наука о законах и формах правильного мышления, зародилась в Древней Греции. Она лежит в основе различных наук (естественных, общественных и технических). Логику должен знать каждый человек, чтобы мыслить правильно, т. е. определённо, непротиворечиво, доказательно, чётко, и уметь излагать свои мысли понятным языком. Одна из характерных черт любой логики состоит в том, что она позволяет, получив некоторую информацию, извлечь (выявить) содержащиеся в ней новые знания.

Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из множества данных. Это относится к задачам как олимпиадного характера, так и к тем, что встречаются в повседневной жизни. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что решение задач подчиняется одному и тому же способу. Решая задачи с помощью кругов Эйлера, я соблюдал следующую последовательность:

• Записываем краткое условие задачи.

• Выполняем рисунок - диаграмму Эйлера - Венна.

• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга (диаграммы).

• Делаем вывод и записываем ответ.

При выполнении данной исследовательской работы я узнал происхождение названия «диаграмма Эйлера – Венна» и рассмотрел основные операции над множествами, проиллюстрировав их собственными примерами. Также мною были решены олимпиадные задачи, составлены и решены задачи практического содержания.

Таким образом, множества в нашей жизни имеют немаловажное значение. Окружающее нас множество различной информации может быть упорядочено при помощи диаграммы Эйлера – Венна. Благодаря чему станет возможно оптимизировать поход по магазинам, приобретение необходимых лекарств и просто приятно удивить любимую бабушку.