Множества и операции над ними

Понятие множества является одним из простейших, одним из первоначальных понятий математики. Оно не определяется, а только поясняется на примерах:

• множество натуральных чисел,

• множество точек плоскости,

• множество жителей данного города.

Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по какому либо общему для них признаку.

Начала теории множеств были разработаны немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918). Теория множеств и математическая логика составляют основу современной математики. Согласно Г. Кантору: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Человеческому мышлению свойственно группировать различные предметы по какому-либо признаку в самостоятельный объект. В языке это обстоятельство достаточно полно отражается в словах: группа, класс, компания, экипаж, набор, ансамбль и др. Эти слова имеют тот же смысл, что и слово «множество».

В окружающей нас реальной действительности мы имеем дело с различными множествами:

• множество жителей данного города,

• множество простых чисел,

• множество букв в русском алфавите и т. д.

Универсальность этого понятия сделала возможным применение теории множеств не только во всех областях математики, но и в экономике, биологии, лингвистике, и других науках. Теория множеств является одной из сравнительно молодых математических дисциплин.

В разговорной речи термин «множество» всегда связывается с большим числом предметов. В теории множеств это не обязательно. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта. Например, множество сооружений на Земле высотой более 500м состоит из одного элемента – телевизионной башни в Останкино, а множество сооружений, высотой более 800м, не содержит ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ø. Пустым множеством является:

- множество млекопитающих, имеющих шесть ног;

- множество пятилетних мастеров спорта;

- множество правильных треугольников, у которых углы не равны;

- множество чисел, которые больше 10, но меньше 1.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С,

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с, или какой-нибудь одной буквой с индексом, например, b1; b2; b3;.

Отношение между элементами и множеством выражаются словами: «является элементом» или «принадлежит». Предложение «Элемент а принадлежит множеству А» обозначают символом аА. Если же а не является элементом множества А, то обозначают аА.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным – множество делителей числа 568. Если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным – множество точек на отрезке бесконечно.

Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В этом случае названия всех элементов множества записывают в строчку, отделяют между собой знаком; и заключают в фигурные скобки:

• – множество однозначных нечетных чисел,

• – множество, состоящее из элементов а, б ,с.

Но этот способ применим только к конечным множествам, но не ко всем. Например, хотя множество рыб в океане конечно, его нельзя задать списком.

Бесконечные множества никак нельзя определить с помощью списка. Например, нельзя составить список всех натуральных чисел.

Имеется другой, универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано указанием свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один объект, не являющийся его элементом. Данное свойство называют характеристическим свойством этого множества.

Например, множество может быть задано как множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5.

Множество элементов, определенных характеристическим свойством, обозначают так: запись означает, что А – множество четных чисел.

Таким образом, для того чтобы задать некоторое множество, надо либо перечислить его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов.

Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Леонард Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги.

Точки внутри круга считаются элементами множества.

Рассмотрим множество положительных делителей числа 24 и множество положительных делителей числа 8.

Сравнивая эти множества, замечаем, что все элементы множества В являются также элементами множества А, или множество А включает множество В, или В – подмножество множества А. Этот факт обозначается так: ВА. Множество В называется подмножеством (или частью) множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

Пустое множество считают подмножеством любого множества.

Любое множество является подмножества самого себя.

Два множества А и В называются равными (или совпадающими), если А В и В А. Равенство множеств обозначают символом А = В и читают «А равно В». На диаграмме Эйлера – Венна контуры множеств А и В совпадают.

Пусть А – множество гласных букв в слове «белок», а В – множество гласных букв в слове «прогресс». Очевидно, что множества и равны между собой. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

1. Пересечение множеств

В классе имеется танцевальная группа и хоровая группа. Учащиеся, являющиеся членами обеих групп, образуют множество , называемое пересечением множеств А и В и символически обозначаемое АВ.

Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В .

Пусть имеем два множества:

– множество натуральных делителей числа 12;

–множество натуральных делителей числа 18.

Образуем множество, состоящее из общих элементов множества А и В. Вновь полученное множество называется пересечением множеств А и В. Аналогично находится пересечение трех и более множеств.

2. Вычитание (разность двух множеств) множеств.

Пусть А – множество равнобедренных треугольников, В – множество треугольников, не имеющих прямого угла. Тогда множество равнобедренных прямоугольных треугольников состоит из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Это множество называют разностью множеств А и В.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначают символом А \ В. Определение разности можно записать в виде:

Согласно определению разности хА \ В тогда и только тогда, когда хА и хВ. Соответственно хА \ В тогда и только тогда, когда хА или хВ.

На диаграммах Эйлера-Венна разности соответствует заштрихованная часть. Операция, с помощью которой находится разность множеств, называется вычитанием.

3. Дополнение множества.

Если В А, то разность А \ В называется дополнением множества В до множества А. Обозначают дополнение символом

Если множество В является подмножеством универсального множества U, то дополнение В до U обозначают.

Итак, по определению = U \ В .

Из определения следует, что х тогда и только тогда, когда хВ, и х тогда и только тогда, когда хВ.

4. Объединение (сложение) множеств

Пусть даны два множества :

– множество двухзначных чисел, кратных 15;

– множество двухзначных чисел, кратных 18.

Образуем новое множество, состоящие из элементов этих множеств. Полученное множество называют объединением множеств А и В. Число 90 записали один раз, поскольку в записи множеств элементы не должны повторяться.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящие из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Союз «или» понимается не в разделительном значении. Другими словами, если элемент принадлежит объединению множеств, то он принадлежит А, или В, или обоим множествам одновременно.

Обозначают объединение множеств А и В символом А В.

Аналогично находится объединение трех и более множеств.

Определение объединение можно записать в виде :

Согласно определению объединения, х АВ тогда и только тогда, когда хА или хВ. Соответственно х АВ тогда и только тогда, когда хА и хВ.

Умение вычленять множества в текстовых задачах и операции, которые над ними выполняются,- важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «В букете 3 ромашки и 4 колокольчика. Сколько всего цветков в букете?», надо понять, что в задаче рассматриваются два множества – множество ромашек в букете (в нем 3 элемента) и множество колокольчиков в этом букете (в нем 4 элемента); эти множества объединены в одно и требуется найти число элементов в этом объединении.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР - ЖИЗНЕНЫЙ ПУТЬ

15 апреля 1707 года в городе Базели у Пуаля Эйлера и его жены Маргариты Дрюкнер родился мальчик, которого назвали Леонардом. В следующем году семья переехала в деревню Рюген, неподалёку от Базеля где Пуаль Эйлер стал пастором евангелической реформистской церкви. В молодые годы Пуаль Эйлер занимался математикой под руководством Якоба Бернулли, старшего из математиков знаменитого бернуллиевского семейства.

В 1724 году Эйлер защищает диссертацию, в которой сравнивает концепции естествознания Декарта и Ньютона, и получает степень магистра искусств.

В 1727 году Эйлер получает приз Парижской Академии наук. Эта академия ежегодно объявляла конкурсы на работы по прикладному естествознанию.

Эйлер прибыл в Россию 17 мая 1727 года и пробыл там до 1741 года, когда переехал в Германию, чтобы снова вернуться в 1766 году.

Эйлер никогда не отказывается ни от какой работы и не от каких поручений. Первоначально он занял вакансию по медицине и добросовестно исполнял свои обязанности.

Эйлер очень любил детей, играл с ними, учил их. И работал не прерываясь. Современники вспоминают, как он писал свои труды, держа на коленях ребёнка, когда другие дети резвились вокруг него.

В 1735 году у Эйлера начались проблемы со здоровьем: он едва не умер от лихорадки и начал слепнуть.

В 1736 году был завершен его труд по механике, в которой впервые Эйлер выразил ньютоновскую динамику средствами математического анализа.

В Германии Эйлер прожил 24 года. И вернулся в Россию. Последний период его жизни был также продуктивен.

В 1771 году в доме Эйлера случился пожар. Ему удалось спастись только благодаря героизму его слуги и сохранить лишь математические рукописи.

В 1776 году умерла жена. И в том же году он полностью лишился зрения.

Но он работал до последней минуты.

В 1783 году 18 сентября Эйлер пообедал, потом попросил принести ему внука. Внезапно он почувствовал себя дурно. Сказал: «Я умираю» и перестал вычислять.

Список трудов Леонарда Эйлера, составленный в 1910 году, насчитывает 886 различных книг, статей, заметок. В 1909 году Швейцарское общество естествоиспытателей задумало издать полное собрание сочинений Эйлера предполагается закончить этот огромный труд к 2009 году – столетию с его начала. Собрание будет включать в себя порядка 160000 страниц! Немыслимо даже вообразить, как все это могло быть создано за полвека одним человеком, который последние 17 лет был почти слепым.

Было бы неплохо, если бы кто-нибудь из историков составил реестр содеянного Эйлером на благо России. Эйлер научил всех пониманию сути разделов математики (алгебра, аналитическая геометрия, механика и др. ) и создал язык, на котором и поныне все разговариваем.