Математика. В помощь учителю

«Геометрия обладает двумя великими сокровищами.

Первое ─ это теорема Пифагора, второе ─ деления отрезка в крайнем и среднем отношении».

Иоганн Кеплер

История золотого сечения.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э. ). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э. ), Папп (III в. н. э. ) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в. ) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В истории математики тесно связаны золотое сечение и правильные пятиугольники, выпуклый и невыпуклый. Последний многоугольник в житейской практике называют пятиконечной звездой, а в науке ─ пентаграммой.

В Ш в. до н. э. Евклид рассматривал пропорцию, которую мы ныне называем золотым сечением, во II книге своих "Начал", а в следующих книгах использовал эту пропорцию для построения правильного пятиугольника, десятиугольника, а также таких многогранников, как додекаэдр и икосаэдр.

И. Кеплер (1571─1630) в произведении "О шестиугольных снежинках" писал: "Построение пятиугольника невозможно без той пропорции, которую современные математики называют божественной". Во времена Кеплера эпитетами "божественная", "чудесная", "превосходнейшая" награждали именно золотое сечение.

Утвердившаяся с древних времен последовательность изучения принята и в настоящее время. В научно-популярных изданиях сначала рассматривается золотое сечение, а потом с его помощью строятся правильный выпуклый пятиугольник и правильный невыпуклый пятиугольник: пентаграмма. Тем самым создается впечатление, что золотое сечение ─ первичное понятие, а пентаграмма ─ вторичное. Конечно, золотое сечение ─ математический закон. Для начинающего естественно сначала приступить к изучению закона, а потом уже перейти к рассмотрению его применений в природе, в науке и в искусстве.

Но, с другой стороны, пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодоносных деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов ─ пентаграмма ─ стала известна значительно раньше, чем золотая пропорция. В книге Э. Д. Грибанова "Медицина в символах и эмблемах" читаем: "Этот знак (пентаграмма ─ пятиконечная звезда) появился очень давно и уходит своими корнями в Месопотамию. Он был впервые обнаружен при раскопках Древнего Вавилона периода правления царя Урука (3000 лет до н. э. ). Это был геометрический знак пяти планет (Юпитера, Меркурия, Марса, Сатурна и Венеры) макрокосмоса. Хорошо была известна пентаграмма и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции. Пифагором (около 580-500 гг. до н. э. )".

Понятно, что именно интерес человека к познанию природы привел к открытию её математических закономерностей. Поставим же себя на место открывателей и попытаемся вывести математические закономерности пентаграммы. Эту фигуру мы будем рассматривать с точки зрения применения элементарных знаний по геометрии, которыми владеют ученики IX класса. Эти сведения были известны еще древним грекам, а может быть и древним вавилонянам.

Построение пентаграммы.

Начертим окружность, разделим ее на пять равных частей и, соединив последовательно точки деления, получим пятиугольник ABCDE с равными сторонами и углами. Проводим в нем диагонали, они просто напрашиваются на рисунок из соображений эстетики. А теперь обнаруживаем, что получили пятиконечную звезду. Мы видим, что на рисунке углы:ВАС, CAD, DAE равны, т. к. они опираются на равные дуги. Проведенные диагонали делят А на три равные части.

То же самое происходит и с другими углами пятиугольника ABCDЕ каждый из них делится диагоналями на три равные части. Если из вершины каждого из равнобедренных треугольников: DAC, EBD, АСЕ, BDA, СЕВ провести биссектрису, медиану, высоту, то все они пересекаются в одной точке О ─ центре описанной окружности.

Если вращать пентаграмму вокруг точки О, то она пять раз совпадет со своим первоначальным положением. Отсюда можно вывести следующие равенства:

АС = BD= СЕ = AD= BE и АК= ВК= BL= CL=.

Далее легко заметить, что прямые АО, ВО, СО, DO, ЕО являются осями симметрии пентаграммы, т. е. АК= AF = ВК = BL=.

Из того, что точки A и C, F и M, E и D симметричны друг другу относительно прямой ВО, заключаем, что АС FМ ED. Аналогично можно убедиться, что АB FL EC, и т. д.

Рассмотрев равные ромбы AEDL, ABCN, EKCD, АВМЕ, устанавливаем, что AL= ED= КС = CD = ЕК=.

Проведенный анализ позволяет сравнить по длине все элементы пятиугольника. Они распределяются на четыре группы. Назовем эти группы в порядке уменьшения, обозначив длину отрезков соответственно через a1, а2, а3, a4, где a1> а2 > а3 > a4.

I группа ─ самые большие отрезки АС = AD = BD = BE = СЕ = a1.

II группа: AL = СК = CD = ED = ЕМ =. = а2.

Ш группа: АК = CL = LN = MD = ND =. = а3.

IV группа ─ отрезки наименьшей длины: KL = LM = MN = NF = FK = a4.

Сравним теперь отрезки разных групп, например I, II и III. Отметим сначала, что для древнегреческого ученого сравнить отрезки означало найти их отношение. Рассмотрим треугольники, в которые входят какие-либо отрезки I, II и III группы, например ΔACD и ΔALN.

Они подобны, т. е. АС : AL = CD : LN. Поскольку CD = AL, а LN =CL, то пропорцию можно переписать в таком виде АС : AL = AL : CL.

Точка L делит отрезок АС: отношение всего отрезка АС к его большей части AL равно отношению большей части к меньшей. Но это и есть золотое сечение.

Рассмотрим ΔAKF и ΔACD и докажем, что точка К также делит отрезок СА в золотом отношении. Полученный вывод можно повторить по отношению ко всем сторонам пентаграммы. В общем виде все пропорции, связывающие отрезки I, II и III группы, можно записать так: a1 : a2 = a2 : a3. (1)

Сравним теперь отрезки II, III и IV групп, подобрав подходящие подобные треугольники. Так как ΔALN ~ ΔAKF, т. е. AL:AK = LN: KF. силу равенств АК = LN и KL = FK, получим AL:AK = АК: KL. Значит, что точка К делит отрезок AL в золотом сечении. a2: a3 = a3: a4. (2) Объединяя пропорции (1) и (2), получим равенства, характеризующие соотношения между отрезками, на которые стороны пентаграммы делят друг друга: a1: a2 = a2 : a3 = a3 : a4. Полученные соотношения назовем равенствами пентаграммы. В силу своей общности, наглядности и упорядоченности они позволяют «механизировать» процесс нахождения в пентаграмме отрезков, связанных золотым сечением.

В этой работе, мы не ставим своей целью воссоздать исторический путь открытия золотой пропорции. Это невозможно, так как он до конца не известен.

Мы провели исследование, опирающееся на минимум элементарных геометрических сведений, которые могли быть известны древним исследователям, или нащупаны нами интуитивно, на основе рассмотрения чертежа.

Это исследование показало, что все отрезки на сторонах пентаграммы, если взять их последовательно по возрастанию или по убыванию, составлены по закону золотого сечения, причем золотое сечение на каждой стороне пентаграммы присутствует двоекратно.

Золотое сечение есть одно из основных геометрических свойств пентаграммы. Трудно найти объект, в котором эта пропорция проявилась бы более наглядно. Логично предположить, что именно пятиконечная звезда «подсказала» древним наблюдателям золотую пропорцию.