Математика в художественной литературе

Человечество говорит более чем на 2000 языках. Каждая народность имеет свой язык, свою культуру. Но есть язык, который понятен каждому грамотному человеку, это язык математики, « из всех языков мира самый лучший – это искусственный, весьма сжатый язык, язык математики». Математическая символика во всем мире одна и та же. Любая формула, любое математическое выражение, записанное при помощи цифр и знаков действии, имеет один и тот же смысл для всех народов. К этому международному языку математики люди пришли не сразу. Путь был длинный и сложный.

Часто говорят, что математика скучна. Так думают нерадивые люди, далеко стоящие от математики. Спросите кого-либо из математиков – кажется ли ему математика скучной? Вы услышите – нет! Математика пленяет всех тех, кто достаточно продвигается в ее изучении.

Фантазия! Напрасно думают, что она нужна только поэту. Это глупый предрассудок. Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии. Фантазия – есть качество величайшей ценности.

Наука не знает добра и зла

Лишь к истине вечной ведет, и вела.

И все же ученый творит, как поэт,

Он видит вселенную в целом.

Известный русский математик А. Я. Хинчин не стал профессиональным поэтом, хотя еще в юности опубликовал четыре книжки своих стихов.

Вчитайтесь в математические книги А. Я. Хинчина, от которых веет высокой литературной культурой, строгой изысканной красотой. Как видим, со всем не напрасно учился математике Грибоедов, а Хинчин начал со стихов.

Знакомясь с биографиями некоторых математиков, узнала, что они занимались литературой. Мне стала интересна эта тема. В работе я использовала биографии математиков С. Ковалевской, О. Хайяма, поэтов и писателей М. Лермонтова, А. С. Пушкина.

В произведениях Пушкина, Гоголя, Толстого, Чехова, Ж. Верна и Блока описаны: использование счета, геометрических теорем, элементов математической логики, решение задач. Это - маленькая частица того, что я использовала в своей работе.

С. В. Ковалевская

Математика пленяет всех тех, кто достаточно продвигается в ее изучении. Не даром, выдающая русская женщина – математик. С. В. Ковалевская остается во все времена гордостью русской науки. Она родилась 15. 01. 1850 г. В г. Москве, в семье богатого помещика, артиллерийского генерала В. В. Корвин-Круковского. Детские годы она провела в Белоруссии. Этот период детства Ковалевская талантливо изобразила в своих «Воспоминаниях детства», где она с большой теплотой отзывается о белорусской природе. «Витебская губерния, - писала Ковалевская, - известна своими огромными лесами и большим количеством крупных, красивых озер». Окружающая природа под влиянием прочитанных книг как нельзя лучше способствовала поэтическим настроениям впечатлительной Софьи. Она в двенадцать лет писала стихи, их даже похвалил известный писатель Ф. М. Достоевский, который был частым гостем Корвин – Круковских. Одновременно Софья обнаружила неодолимую тягу к научным знаниям, в особенности к математике. Кипучую страсть к математике и любовь к поэзии она сохранила на всю жизнь.

О своей склонности к математике и художественной литературе С. В. Ковалевская писала: « Я понимаю, что вас так удивляет, что я могу заниматься и литературой, и математикой. Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, смешивают ее с арифметикой и считают ее наукой сухой и aride (бесплодной). В сущности же это наука, требующая наиболее Фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе». Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен что-то сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел – это одно и то же. Мне кажется, что поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен математик.

Что до меня касается, то я всю мою жизнь не могла решить: к чему у меня больше склонности – к математике или литературе? Только что устанет голова над чем-то абстрактными спекуляциями. Тот час начинает тянуть к наблюдениям над жизнью, к рассказам, и наоборот, в другой раз вдруг все в жизни начинает казаться ничтожным и не интересным, и только одни вечные непреложные научные законы привлекают к себе.

Очень может быть, что в каждой из этих областей я сделала бы больше, если бы предалась ей исключительно, но, тем не менее, я ни от одной из них не могу отказаться совершенно».

В 1888 г. С. В. Ковалевская за научную работу «Задача о вращении твердого тела вокруг не подвижной точки» Парижской Академией наук была присуждена премия в размере 5000 франка. С. Ковалевская напечатала девять научных работ, получив еще за одну из них премию Шведской Академии наук. Работы ее относятся к области математики, механики, физики и астрономии. Научные результаты, полученные ею, излагаются в больших университетских курсах.

Софья Ковалевская в то же время была замечательным писателем – беллетристом.

Ее автографические «Воспоминания детства», роман «Нигилистка» и отрывки незаконченных или утерянных повестей дают интересную картину общественной и политической жизни России второй половины 19 века. Она же написала драму «Борьба за счастье», единственное в мировой литературе произведение, написанное по математическому плану. Она чрезвычайно требовательна к себе. В одном из стихотворений она пишет:

«С того человека и взыщется много,

Кому было много талантов дано».

Ковалевская превосходила своих предшественниц талантом и значительностью полученных результатов.

Омар Хайам

Омар Хайям ( 1004 – 1123 ) – математик, астроном, философ и поэт родился в Иранском г. Нишапуре. Он как астроном, пользуясь своими наблюдениями и вычислениями, составил календарь. Омар Хайям известен всему миру своими четверостишиями (рубаи), которые полны неподдельного лиризма глубокого социального и философского смысла. Оказывается, Омар Хайям не был доволен тем миром, в котором он жил, и желал улучшить его:

Когда б я властен был над этим небом злым,

Я б сокрушил его и заменил другим,

Чтоб не было преград стремленьям благородным

И человек мог жить, тоскою не томим

От поэзии Хайяма веет и духом гордого одиночества и жизнерадостным восприятием жизни.

Мы источник веселья – и скорби рудник.

Мы вместилище скверны – и чистый родник.

Человек, словно в зеркале мир – многолик.

Он ничтожен – и он же безмерно велик!

Тайны мира, как я записал их в тетрадь,

Головы не сносить, коль другим рассказать.

Средь ученых мужей благородных не вижу,

. Поэтому на другие и молчанья печать.

Омар Хайям известен также своими оригинальными работами в области математики, в особенности своим трактатом по алгебраическим уравнениям. В 1077 г. Он написал трактат о теоремах Евклида.

О параллельных он закончил труд.

Пройдут года, столетия пройдут

И скажут люди: «Первым был Хайям,

Кто истину приблизил смело к нам.

Ведь теоремы доказал поэт,

Что станут через много-много лет

Основой геометрии иной

Мир новый, не Евклидов, не земной,

Понятней и доступной станет нам

Так звезды к людям приблизил Хайям[7].

В своем крупнейшем математическом сочинении «Алгебра» Омар Хайям подробно рассматривает решение линейных и квадратных уравнений, а также геометрическое построение корней кубического уравнения.

Алгебру как науку Хайям определяет так: «Алгебра есть научный метод. Ее предмет есть абсолютные числа и измерение величин, которые, будучи неизвестны, поставлены в такие соответствия с чем-нибудь, как через уравнение[8]. Заслуга Хайяма в алгебре заключается в том, что он дал первые способы решения кубических уравнений, которые не были известны до него.

Задачи Омара Хайяма.

Задача 1. решить уравнение: х 2 + 10х = 39

Решение самого Хайяма.

«квадрат и десять корней, - рассуждал О. Хайям – равны 39. умножь половину корней саму на себя. Произведение это придай к числу (т. е. к 39) из корня квадратного вычти половину числа корней, остаток будет равен корню квадрата».

Х = (10/2) 1/2 + 39 – 5

Кроме того, Хайям данные уравнения решал геометрически.

«Пусть квадрат АВСД ( х 2 ) увеличенный на 10 корней (10х ), равняется 39. Десять корней представляется в виде прямоугольника СДЕН. Прямая ДЕ = 10. Разделим ее в точке М пополам. Произведение ЕА на АД, равное прямоугольнику АВНЕ, прибавленное к квадрату ДМ, будет равно квадрату АМ.

Е М Д А

5+х=8 5х 5+х=8

Черт. 1

Но квадрат ДМ (25) известен, а также прямоугольник АВНЕ, выражающий данное число ( 39 ). Следовательно, квадрат АМ будут известны. АД найдется, тогда как остаток от вычитания ДМ из АМ»[9].

Задача 2. Решить уравнение: (1/х ) 2 + 2* 1/х = 5\4.

Решение О. Хайяма.

«Пусть У = 1/х ; тогда У 2 +2У =5/4 ; или У2 + 2У +1 = 9/4, откуда ( У + 1 ) 2 =9/4 ;

У + 1 = 3/2 , следовательно У =1/2 ; а х = 2.

Знаний сердце мое никогда не чуждалось,

Мало тайн, мной не познанных, в мире осталось.

Только знаю одно: ничего я не знаю.

Вот итог всех моих размышлений под старость[10].

Две параллельных: рифма и число,

И может,быть всем им очень повезло,

Что легко владели и тем, и этим

У лодки жизни не одно весло.

Ведь не даром известный немецкий математик Вееритрасс писал: «Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком».

МАТЕМАТИКА В ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

«Ученый кот» Пушкина

А. С. Пушкин писал: « Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии».

Читая произведения Пушкина, мы находим применение геометрии. Кому не известны следующие пушкинские строки из поэмы «Руслан и Людмила».

У лукоморья дуб зеленый

Златая цепь на дубе том.

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом.

А задумываемся ли мы над тем, какую линию описывает кот при своем движении? На первый взгляд может показаться, при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь все время наматывается или сматывается с дуба так, что она натянута и образует касательные к окружности ствола. Ее концы при этом описывают линию, которая называется эвольвентой окружности, а окружность при этом эволютой данной эвольвенты. Так что кот не зря назван Пушкиным «Ученым»: он знаком со сложной геометрической кривой.

В «Скупом рыцаре» А. С. Пушкина рассказана старинная легенда восточных народов.

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

«Гордый холм» Пушкина и башня Гоголя

Какой высоты мог быть такой холм? Действительно ли с его высоты такая широкая панорама? Это - одна из немногих легенд, в которой, при кажущейся правдоподобности, нет и зерна правды. Сделав расчет легко убедиться, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, он был бы обескуражен мизерностью, перед ним высилась бы настолько жалкая кучку земли, что никакая фантазия не в силах была бы раздуть ее в легендарный «Гордый холм».

Допустим, у царя было 100000 воинов. Это очень внушительная цифра для старинной армии. Горсть земли приблизительно равна 0,2дм3

Отсюда определится объем холма: 0,2 * 100000= 20000 дм3

Допустим, что холм имел форму конуса с максимально возможным углом наклона образующих к плоскости основания конуса, то есть с угла в 450, тогда высота конуса равна радиусу основания. Следовательно, 20 = П*Х 3 /3; Х= (60/П) 1/2 =2,4 м (1,5 человеч. роста). Сделав расчет для полного откоса, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы – предводителей гуннов – было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его войско в 700000 человек. Если бы все эти воины участвовали в высыпании холма, то образовавшая куча была выше вычисленной, но не на много. Ее объем был бы в 7 раз больше, поэтому высота превышала найденную всего в 7 1/ 3 , т. е. в 1,9 раза и был равен 2,4*1,9=4,6 м.

Сомнительно, чтобы курган таких размеров мог удовлетворить честолюбие Аттилы. С таких небольших возвышений, конечно, легко видеть «дол, покрытый белыми шатрами», но обозревать море возможно разве только если дело происходит недалеко от моря.

Выведем формулу для вычисления дальности горизонта, если известна величина возвышения наблюдателя над земной поверхностью, Из геометрии известно, что квадрат касательной к окружности равен произведению секущей на ее внешнюю часть, т. е. АВ 2 =AC*AD, следовательно, АВ 2= =(2R+H) H, где АВ -дальность горизонта, R – радиус Земли (6400км), H – высота глаза наблюдателя над Землей, т. к. H по сравнению с 2R слишком мало, то выражение 2R+H можно заменить на 2R. Тогда формула упростится и примет вид:

АВ 2= 2RH ; AB+2RH

Итак, дальность горизонта равна 2RH. Теперь подсчитаем, как далеко мог видеть Аттила с высоты своего холма. Учтем еще и его примерный рост. Итак, Н = 6м, К = 6400 км. Тогда дальность горизонта равна 2*600*0,006=8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на родной земле. Многие думают, что с возвышением наблюдателя, линия горизонта удаляется необычайно быстро, так думал и Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре нашего времени» следующее: «Башни огромные, колоссальные, необходимые в городе у нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимость видеть, по крайней мере, на полтораста верст во все стороны, и для этого может быть, один только или два лишних и все изменяется. Объем кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенной прогрессией».

Так ли это в действительности? Докажем, что и Пушкин, и Гоголь делают похожие ошибки. Достаточно взглянуть на формулу дальности горизонта 2RH, чтобы сразу стало ясно неправильность утверждения, что дальность горизонта с возвышением наблюдателя возрастает очень быстро. Наоборот, дальность горизонта растет медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты. Когда высота возвышения наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается только в 10 раз дальше, когда высота становится больше в 1000 раз, горизонт отодвигается в 31 раз дальше. Поэтому ошибочно утверждать, что «один только или два этажа лишних и все изменится». Если к восьмиэтажному дому пристроить еще два этажа, дальность горизонта вырастет всего в 10/8 раза, т. е. в 1,1 раза, или на 10%. Такая «прибавка» мало ощутима. Гоголь, конечно, не подозревал, что его идея постройки башни, с которой можно было бы видеть «на полтораста верст», совершенно, несбыточна, так как такая башня должна иметь огромную высоту.

Даже самые высокие из всех сооруженных до нашего времени зданий и башен намного ниже «проектируемых» Гоголем башен. А во время Гоголя даже и Эйфелева башня (высота 300м) еще не существовала!

Чеховская головоломка

Рассмотрим знаменитую арифметическую задачу, которая так смутила, когда-то семиклассника Зиберова из Чеховского рассказа «Репетитор». «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб?»

С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник – репетитор, и его ученик, 12-летний Петя, пока не выручил их Петин отец Удодов:

«Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.

-Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так, продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка, я разделю!

Зиберев (репетитор) делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.

-Странно-думает он, ероша волосы и краснея. Как же она решается? Гм ! Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая.

Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.

- Гм!. , Странно Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!

-Решайте! – говорит Пете.

- Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая, - говорит Удодов Пете, - Экий ты дурак, братец! Решайте уже вы ему, Егор Алексеевич.

Егор Алексеевич (репетитор) берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет и бледнеет.

- Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он. - Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил. Понимаете? Или вот что. Решите мне эту задачу к завтрему. Подумайте

Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7 класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.

- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.

- Вот, извольте видеть

Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.

- Вот-с по-неученому».

Эта история с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом злочастного репетитора, задает нам сама три задачи. А именно 1) Как намеревался репетитор решить алгебраически? 2) Как должен был решить ее Петя? 3) Как решил отец Пети на счетах «По-неученому»?

Рассмотрим их по порядку.

1). Семиклассник – репетитор готов был решать задачу «с иксом и игреком», будучи уверен, что задача «собственно говоря, алгебраическая» И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений. Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи нетрудно:

Х+У=138; 5Х+3У =540, где Х- число аршин синего, а У – черного сукна.

2). Однако, задача легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, вы начали бы с предложения, что все купленное сукно синее, - тогда за партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить

5*138 = 690; это на 690 – 540 = 150 рублей больше того, что было бы заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей; очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделишь 150 на 2. Получаем ответ – 75; вычтя, эти 75 аршин из общего числа 138 аршин узнаем, сколько было синего сукна; 138 – 75 = 63. так и должен был решить задачу Петя.

3). На очереди третий вопрос: как решил задачу Удодов – старший?

В рассказе говорится очень коротко: «Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было».

В чем, однако, состояло это «щелканье на счетах»? каков способ решения задачи с помощью счетов. Разгадка такова: злополучная задача на счетах тем же приемом, что и на бумаге, теми же арифметическими действиями. Но выполнение их упрощается, благодаря преимуществам, которые наши русские счеты представляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, «отставной губернский секретарь» Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, что репетитор-семиклассник добивался узнать, с иксом и игреком». Последним же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец. Прежде всего, ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. для этого он, по правилам действий на счетах, умножил начало 138 на 10 – т. е. просто перенес 138 одним рядом выше, а затем разделил это число пополам опять таки на счетах. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, т выходят из затруднения, «раздробляя» одну косточку этой проволоки на 10 нижних.

В нашем, например, случае делят 138 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка). На средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно 10-ю нижними и делят пополам, добавляя 5 сотен к косточкам нижней, на верхней проволоке раздробляю одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате, на верхней проволоке совсем не остается косточек: на средней 1+5=6 сотен, на нижней 4+5=9 десятков. Итого 690 единиц. Выполняется все это быстро, автоматически.

Далее, Удодову - старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах – всем известно. Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков и 5 единиц, т. е. 75. Все эти простые действия выполняются на счетах конечно гораздо скорее, чем тут описано.

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у нас под руками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу недостаточно ценимых вещей принадлежат и наши конторские счеты – русская народная счетная машинка, представляющая собой видоизменения «абака» или «счетной доски» наших отдаленных предков. Этот прибор так долго и с такой честью служил русскому народу, что заслуживает нашей благодарности и уважения. Чтобы хорошо усвоить употребление русских счетов, нужно повторять слова русского поэта – В. Маяковского:

На арену!

С купцами сражаться иди!

Надо счетами бить учиться.

Правда, нынешние счетные машины, калькуляторы и компьютеры, конечно, оставляют далеко позади русские счеты.

Подобие треугольника в произведении Ж. Верна

Математика есть и в произведении Ж. Верна «Таинственный остров» - применение теоремы о подобных треугольниках.

«С. Смит захватил с собою прямую ровную жердь длиной около 12 футов – длину он определил по собственному росту, который он знал совершенно точно. Герберту С. Смит поручил нести отвес – т. е. гибкую лиану, к концу которой был привешен обыкновенный камень. Остановившись в шагах двадцати от кромки моря и в шагах пятистах от гранитного кряжа, Сайрес воткнул жердь в песок и старательно выпрямил ее, добившись путем выверки отвесом, чтобы она стала перпендикулярно к плоскости горизонта. Сделав это, С. Смит отошел и лег на землю на таком расстоянии, чтобы в поле его зрения находился и верхний конец жерди, и гребень гранитной стены. Это место он отметила песке с колышем, повернувшись к Герберту, спросил: - Ты знаком с геометрией? – немножко, мистер Сайрес, - ответил Герберт, боясь попасть впросак.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Да, - ответил юноша, - у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

- Так вот, дитя мое, у меня тут 2 подобных треугольника, один поменьше, в нем двумя сторонами будут: жердь, воткнутая перпендикулярно в песок, и прямая, равная расстоянию о нижнего конца жерди до колышка, а гипотенузой – мой луч зрения; у второго треугольника сторонами явятся: отвесная линия гранитной стены, высоту которой нам нужно измерить, расстояние от колышка до подошвы стены, а в качестве гипотенузы – мой луч зрения, т. е. продолжение гипотенузы первого треугольника.

- Понял, мистер Сайрес! Я все понял! – воскликнул Герберт. Расстояние от подошвы пропорционально рассеянию от колышка до подошвы стены, высота жерди пропорциональна высоте стены.

- Правильно, Герберт, - подтвердил инженер. – И когда мы измерим оба расстояния от колышка, т, зная высоту жерди, мы быстро решим пропорционально и т. о. узнаем высоту стены, что избавит на от труда измерять ее непосредственно. Основания обоих треугольников были измерены при помощи той же самой жерди, высота которой над поверхностью песка равнялась 10 футам; оказалось, что расстояние между колышком и жердью – 15 футов, а расстояние между колышком и подошвой стены – 500 футов. Закончив измерения, С. Смит и юноша возвратились в трущобы. Там инженер взял плоский камень, принесенный из прежних экспедиций, нечто вроде шиферного сланца, на котором легко было нацарапать цифры остроконечной ракушкой. И на этой аспидной доске С. Смит составил следующую пропорцию:

15/500=10/x

500*10=5000

5000/15=333,3

Следовательно, высота гранитной стены равнялась 333 футам (английский фут равен 30 сантиметрам). Как видим, что и Ж. Верн знал хорошо математику. В истории мировой литературы Верн первый классик научно-фантастического романа, блестящий пропагандист науки и ее грядущих завоеваний. Наука в его романе неотделима от действия. Фантастика произведений Ж. Верна основана на научном правдоподобии и нередко на научном предвидении. На вопрос о том, что побудило его писать научные романы, он отвечал: «Меня всегда интересовали науки и я старался распространять современные научные знания».

Математическая логика «Алисы»

Рассказывают, что королева Англии Виктория, заинтересовалась сказками «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» детского писателя Л. Кэрролла и затребовала все его сочинения. Каково же было ее удивление, когда ей принесли серьезные руководства по математической логике, автором которых был Оксфордский профессор математики Л. Доджсон, он же английский писатель. Л. Керролл.

Керролл своей удивительной фантазией неправдоподобной силой воображения обязан не только себе. Эта фантазия, свобода мысли, били наверно развиты в нем еще благодаря профессии – труду математика. Его можно считать одним из основателей высшего раздела математики – математики логики. И вполне понятно, что как раз основателю науки и требуется, возможно большая свобода суждений: ведь перед ним стоит почти неразрешимая задача – придумать новую науку. Это так же трудно, как придумать новую шутку. И то и другое, легко, кажется, почти без труда, давалось Керроллу.

Его литературный дар вырос из сравнительно незначительной задачи – развлечь чем-нибудь трех сестер, девочке по фамилии Лидделл, которых он катал на лодке по узкой речке Айсиз. Его математические труды впрямую связаны с теми шутливыми задачами и парадоксами, которые он придумал для них. Взрослые, особенно, те, которые всегда ничего не понимают, считали мистера Доджсона скучным человеком, сухим математиком, и, увы, даже студенты не особенно любили его лекции. Математические труды Доджсона в настоящее время получают все большее признание, даже в его сказках открывают глубокий математический подтекст.

Рассмотрим отрывок из сказки «Алиса, в стране чудес»:

«В нескольких шагах от нее на веерке дерева сидел Чеширкий Кот. Кот тоже заметил Алису и только улыбнулся. «На вид злой», - подумала Алиса. И правда, вид у кота был добродушный; на только уж очень длинные когти и зубов полон рот – все это внушало почтение.

- Чещеирский Мурлыка - заговорила Алиса несмело – она не знала, понравится ли ему такое обращение. Кот в ответ улыбнулся еще шире. «Значит не сердится» - подумала Алиса и продолжала:

- Скажите, пожалуйста, куда мне отсюда идти?

- Это во многом зависит от того, куда ты хочешь прийти, - ответил Кот.

- Да мне почти все равно, начала Алиса

- Тогда все равно куда идти, - сказал Кот.

- Лишь бы попасть куда-нибудь, - пояснила Алиса.

- Не беспокойся, куда-нибудь ты обязательно попадешь, - сказал Кот, - конечно, если не остановишься на пол пути».

Что же хотел поведать Л. Керролл этим отрывком? Словом Чеширского Кота он хотел сказать, что надо знать цель своей работы и чего ты хочешь. А если не знаешь, то не все ли равно, что будешь делать.

Задача Л. Н. Толстого

Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой проявлял особый интерес к математике и ее преподаванию, много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой Яснополянской школе, написал оригинальную «Арифметику». Своим гостям Толстой любил составлять интересные задачи нередко предлагал задачи, среди которых находится следующая:

«Косцы должны скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосил его к вечеру до конца; вторя же половина косила малый луг, на котором к вечеру остался еще участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение.

1. В этом случае, кроме главного неизвестного числа косцов, которое мы обозначали через Х, удобно ввести еще и вспомогательное, именно размер участка, скашиваемого одним косцом в 1 день, обозначим его через У, хотя задача не требует его определения, оно облегчит нам нахождение главного неизвестного.

Выразим через х и площадь большего луга. Луг этот косили полдня х косцов, они косили

Вторую половину дня его косила только половина артели, т. е. х/2 косцов, они скосили х/2*1/2=ху/4

Так же к вечеру скошен был весь луг, то площадь его равна ху/2+ху/4=3ху/4

Выразим теперь через х и площадь меньшего луга. Его полдня косили х/2 косцов и скосил площадь х/2*1/2*у=ху/4. Прибавим недокошенный участок как раз равный у (площадь, скашиваемой одним косцом в 1 рабочий день), и получим площадь меньшего луга: ху/4+у=ху+4у/4

Остается перевести на языке алгебры фразу: «первый луг вдвое больше второго», - и уравнении составлено: 3ху/4 / ху+4у/4=2; 3ху/ху+4у=2

Сократим дробь в левой части на у; вспомогательное неизвестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид: 3х/х+4=2; или 3=-х=2х=8; х=8

В артели было 8 косцов.

По словам известного физика А. В. Цингера главный эффект этой задачи в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».

2. Рассмотрим арифметическое решение:

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что полдня пол-артели скашивает луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в ½-1/3=1/4. Если один косец в день скашивает луга, а скошено было 6/6+2/6=8/6, то косцов было 8. Л. Н. Толстой всю жизнь любил фокусные, не слишком хитрые задачи.

Физик Цинге знал Толстого с детства. Вспоминая о Толстом, он пишет: «Когда об этой задаче пришлось беседовать с Толстым – уже стариком, его особенно восхваляли за то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом».

Могущество числа

О могуществе числа говорят математики. Древнегреческий математик Пифагор пишет, что «Не только в жизни богов и демонов раскрывается могущество числа». Приведем слова первого армянского математика – Анании Шираца из Ширака (VII век) о числе: «И сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, вей мудростью матерью его, почитая».

В развитии любого раздела математики самым важным является создание новых методов. Применение уже существующих методов является гораздо более легкой работой.

К числу в своих произведениях обращались поэты всех времен. В греческой мифологии изобретение числа приписывалось титану Прометею, похитившему у богов для людей огонь и одарившего их многими другими знаниями и умениями. В трагедии «Прикованный Прометей» древнегреческого поэта Эсхила Прометей говорит:

«Послушай, что смертным сделал я

Число им изобрел

И буквы научил соединять»

Мы все знаем задачу Архимеда об изобретателе игры в шахматы, который согласился на скромное вознаграждение –именно, чтобы ему на первую клетку шахматной доски положили одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре зерна и так далее, удваивая число зерен каждый раз. Оказывается, для выполнения этого условия потребовали бы обильный урожай поля, превосходящего величиною всю сушу земного шара в 28 раз.

В знаменитой «Божественной комедии» Данте (1265-1321 г. ) читаем об этой задаче:

«Заискрилась всех тех кругов краса,

И был пожар в тех искрах необъятный,

Число же искр обильней в сотни раз,

Чем клеток счет двойной в доске шахматной».

«Счет двойной означает нарастание чисел при помощи удвоения предыдущего.

Русский математик Л. Магницкий, написавший первый учебник по математике «Арифметика» в своей книге снабдил решение этой задачи предупреждением:

Хотей туне притяжати,

От кого что принимати,

Да зрит кто себе опасно

Говоря о больших числах, Магницкий заявляет:

Число есть бесконечно,

Умом нам не дотечно,

И никто не знает конца

- бездельно

Множайших чисел искати

И больше сей писати

Превосходной таблицы.

И еще кому треба

Счислят, что внутрь неба,

Довлеет числа сего

К вещам всем мира всего.

Последние строки напоминают о задаче Архимеда.

Современный поэт В. Брюсов посвящает одно из своих стихотворений чилу, назвав их «Царственными»:

Мечтатели, сивиллы и пророки,

Дорогами, запретными для мысли,

Проникли – вне сознания – далеко,

Туда, где светят царственные числа.

Вам покланяюсь, вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли

К раздумьям с вершины вдохновенья!

Удивительно тонкий поэтический взгляд на число находим в строчках известной поэмы «Скифы» А. Блока:

Мы любим все – и жар холодных чисел,

И дар божественных видений,

Нам внятно все – и острый галльский смысл,

И сумрачный германский гений

О простых числах имеется ряд теорем, поражающих своею видимой простатой и трудностью доказательства. В 1937 году крупнейший математик И. М. Виноградов доказал, что всякое достаточно большое нечетное число есть сумма трех нечетных простых чисел. Интерес этого вопроса заключается в том, что математиками созданы новые научные методы, которые, конечно, найдут применение при решении и других вопросов. В связи с этим поучительно привести слова академика А. Н. Крылова: « Митрофанушка в комедии «Недоросль» говорил, что дверь, прилаженная к своему месту, есть имя прилагательное, а дверь, лежащая в чулане и не пристроенная к месту, есть имя существительное. Но рано или поздно всякая правильная математическая идея находила применение в том или ином деле».

Задачею письменной нумерации является изображение всех чисел при помощи возможно меньшего числа знаков (цифр). Разные народы, кА мы знаем, решали эту задачу различно.

Современная форма цифр установилась в середине XV столетия. Существует много теорий для объяснения нынешней формы цифр. Некоторые теоремы связывали форму цифр с числом палочек, точек, углов в цифре, но все эти теории не имеют научного значения. В связи с этим вопросом мы сможем упомянуть имя великого нашего поэта «Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры АД (1), АВДС (2), АВЕСД (3), АВД + АЕ (4)

Догадка А, С, Пушкина представляет теорию, изображенную в виде:

Эта теория долгое время не знала применения, оставаясь «существительным» в смысле Митрофанушки. Используя эту теорию, мы сейчас заполняем индекс на конвертах, когда отправляем письма.

Талант и гений поэтов и писателей, описанных в этой главе – многогранен. Склонность их к математике до сих пор по прошествии стольких лет восхищает нас. И права Софья Ковалевская говоря о том, что «поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других».

Математика неисчерпаема и многогранна, одного покоряет ее логическая стройность, другого – абстрактный метод, третий ценит в ней величайшую полезность. Единство особенности математики – это так же ее особенность, которая составляет ее красоту.