Математика в архитектурной деятельности

Понятие «архитектура» имеет несколько смыслов. Начнём же с самого основного. АРХИТЕКТУРА (лат. architectura, от греч. architecton – строитель), искусство проектировать и строить здания и другие сооружения, также их комплексы, создающие материально организованную среду, необходимую для их жизни и деятельности, в соответствии с назначением, современно-техническими возможностями и эстетическими воззрениями общества. Также архитектура является видом искусства, который входит в сферу духовной культуры, эстетически формирует окружение человека, выражает общественные идеи в художественных образах.

Ещё с древнейших времён архитектура являлась сферой человеческой деятельности, которая зарождалась вместе с человечеством, сопровождала его в историческом развитии, в которой также отражалось мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. В ней сосредотачиваются особенности культуры представителей различных национальностей. В архитектуре взаимосвязаны функциональные, технические начала, такие как – ПРОЧНОСТЬ, УДОБСТВО, КРАСОТА. Прочность обеспечивается опытом, облеченным в математическую "форму": удобство определяется габаритами, установленными динамикой деятельности человека и также выражается языком математики. Художественность конструктивной и функциональной деятельности обусловлена стремлением созидающей воли к совершенству.

Выразительными средствами архитектуры являются - композиция, архитектоника, т. е. художественное выражение закономерностей строения, соотношения нагрузки и опоры, присущих конструктивной системе сооружения, масштаб, пропорция, ритм, пластика объёмов, фактура и цвет материалов и многое другое. Поэтому современный архитектор должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным. Ведь как сказал Шеллинг «Архитектура – это застывшая музыка в пространстве». Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, а также владеть методами математического моделирования и оптимизации.

Ещё больше связана с математикой профессия архитектурного организатора пространства населённых пунктов, создателя городов и посёлков, регулятора систем расселения – градостроителя. Прежде всего, она связана с поиском оптимальных планировочных решений, наилучших вариантов размещения объектов на заданной территории, где оптимальные решения должны обеспечивать выполнение основных функций города. Для этого функциональные основные зоны города должны гармонично быть связаны между собой. И в этих задачах невозможно обойтись без математики. Теперь дадим определение особой области архитектуры – градостроительству. Это теория и практика планировки и застройки городов, определяемое социальным строем, уровнем развития производительных сил, науки и культуры, природными условиями и национальными особенностями страны, которая охватывает сложный комплекс проблем. Упорядочению планировки и застройки городов служат регулярная планировка (прямоугольная, радиально-кольцевая, веерная и т. д. ), в чём и не обойтись без геометрии, геометрических форм. Основными задачами современного градостроительства являются создание городов и посёлков монотонности типовой застройки, сохранение и научно обоснованная реконструкция старых городских центров.

И всё же знание одной математики для архитектора недостаточно. Ведь архитектурный проект имеет ценность, только если он осуществим на практике. Поэтому специалист, занимающийся проектированием различных сооружений, должен уметь хотя бы приблизительно оценивать устойчивость и прочность своей задумки. А для этого необходимо знать законы теоретической и строительной механики, также владеть методами расчёта конструкций. Архитектору нужно помнить, что оптимальное с конструктивной точки зрения решение, является оптимальным и сточки зрения эстетической. Также и подлинно эстетичное решение, является и высокотехнологичным.

Мы познакомились с такими определениями, как архитектура, градостроительство и надлежащими от них профессиями. И уже с первых представлений ясно, что математика играет в них далеко не последнюю роль, а точнее главную. Математика существует самостоятельно как бы внё собственно научного исследования, а равно и художественного творчества. Она является неизменным, обязательным "орудием" или даже своего рода "методом", вооружающим исследователя, ученого или художника, придавая "форму" и конкретность нашим знаниям. Что касается же моего мнения, по данной теме, то она мне очень близка и интересна. Я вижу математику вокруг себя, её значение и применение в архитектуре, и тесную взаимосвязь с ней. Я считаю, что это достойный выбор для исследовательской работы в области математики. Также эта тема полностью отражает мою будущую профессию, к которой я уже стремлюсь, закладывая более углублённые знания написанием именно этой работы.

Прочность, удобство, красота.

Как уже было сказано выше, в архитектуре взаимосвязаны функциональные, технические начала, такие как – ПРОЧНОСТЬ, УДОБСТВО, КРАСОТА. И в первую очередь начнём с рассмотрения вопроса: « Как математика помогает добиться прочности сооружений ». Вообще прочность с точки зрения теории – это способность материала сопротивляться разрушению, а также необратимому изменению формы (пластичной деформации) при действии внешних нагрузок.

Прочность сооружений связана с безопасностью людей, которые ими пользуются, также она связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, чтобы они были крепкими и простояли как можно дольше. Прочность сооружений зависит от материала, из которого оно построено.

В России, богатой лесами, практически все здания первоначально строились из дерева. Вспомним древнерусское деревянное зодчество. Явным примером этого вида архитектуры является комплекс деревянных сооружений Кижского погоста (18-19в. Кижи, остров на Онежском озере. Республика Карелия)

Кижский погост – старинное русское Преображенская церковь в Кижах поселение на одном из островов Верхний ярус куполов. 1714г.

Онежского озера.

Теперь проследим зодчество на примере нашего города, г. Нижнеудинска. И хотя с развитием строительства все постройки строят не из дерева, т. к. есть более прочные и надёжные материалы, всё же некоторые из них еще сохранились.

Когда-то это был магазин купца Бурдусаева, а в советское время в этом здании располагался ЧОН. Само же сооружение было возведено в конце XIX века и относится к классицизму архитектурных форм, который проявляется во внешнем убранстве фасадов, наличников. Основано на принципе симметрии и соразмерности пропорций, как и Дом городского главы, построенного в середине XIX века.

Люди для строительства своих жилищ использовали, тот материал, который был доступен, но это не значило, что он был наиболее прочным. Например, строя мост, нужно помнить, что самое главное, чтобы он был прочным. Ведь от того каким будет сооружение, зависит безопасность людей. С развитием промышленного производства у людей появились возможности создавать самим новые строительные материалы, которые были похожи на камень, но превосходили его характеристику, что и обеспечивало прочность сооружений. К таким материалам относятся кирпич, металл (железо) и железобетон ( Это сочетание бетона и стальной арматуры, монолитно соединённых и совместно работающих в конструкции. Бетон придаёт жёсткость конструкции и защищает арматуры от коррозии. Как самостоятельный металл появился во II половине 19 вв. )

От чего же ещё зависит прочность сооружений? От конструкции, которая используется как основа при его проектировании и строительстве. Если связывать прочность с материалами, из которых они созданы, с особенностями конструктивных решений, то выявляется, что прочность сооружений зависит ещё и от той геометрической формы, которая является базовой. Мы говорим сейчас о том, что архитектурное сооружение можно представить, как помещённое в определённое геометрическое тело, причём, как можно ближе к его границам. Т. е. другими словами, любое сооружение можно образно вписать в какое либо тело (геометрическое, конечно), которое может рассматриваться, как модель этой архитектурной формы. Самыми прочными сооружениями с давних времён считаются Египетские пирамиды. Они имеют форму четырёхугольных пирамид (иногда ступенчатую или башнеобразную), в основании которых четырёхугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счёт большой площади основания.

Комплекс пирамиды Хеопса,

27 в. до н. э. , Эль-Гиза

На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. Она состоит из двух вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда, на которые сверху ставится ещё один прямоугольный параллелепипед. Первым таким сооружением был – Дольмен, это мегалитическое сооружение в виде большого каменного ящика, накрытого плоского плитой.

3 тыс. до н. э. Корсика, Франция Кромлех. Стоунхендж. Великобритания

Также до нас дошло ещё одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию – Кромлех. Это тоже мегалитическое сооружение, но уже эпохи неолита и бронзового века, в виде круговой ограды из огромных камней, предназначенное для жертвоприношений и ритуальных тождеств. Большинство современных жилых домов имеют в своей основе стоечно-балочную конструкцию, что говорит о наибольшей распространённости этой системы в строительстве и в наши дни.

Далее последовала арочно-сводчатая конструкция. Так как камень плохо работает на изгиб, что как раз лежало в основе предшествующей системе, но так как он хорошо работает на сжатие, то это стало приводить к использованию в архитектуре арок и сводов. С появлением арочно-сводчатой конструкции в использование кроме прямых линий и плоскостей вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально применяли только полуциркульные арки или полусферические купола. Примером такого купола стал Пантеон – храм всех богов.

Несмотря на то, что мы можем просмотреть лишь интерьер храма, без внешнего вида, мы все равно можем судить о его форме. Внутренность Пантеона представляет, круглое помещение в 43,5м. ширины и такой же высоты, покрытое полукруглым куполом, с проделанным в середине циркульным отверстием в 8,5м. в диаметре. В стенах устроены 8 ниш, в которых помещались статуи божеств; колонны. Над архитравом (балка, лежащая на капителях колонн) идёт представляющая собой продолжение цилиндра аттика. Для поддержания купола нужны были очень толстые стены, их толщина равнялась 7 метрам.

Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла возводить гигантские сооружения из камня, чем и занимались древнеримские архитекторы. Главным примером является знаменитый Колизей.

Римский Колизей. Вид сверху. Колизей. Фасад.

Сооружён в 75-80 н. э.

Колизей (от лат. colosseus – громадный), амфитеатр Флавиев в Риме, предназначенный для гладиаторских боёв и других зрелищ, вмещал около 50 тыс. зрителей. Сооружён из туфа конструкции галерей укреплены бетоном и кирпичом. На величественном фасаде три яруса арок, что ещё раз подтверждает использование геометрических форм – арок.

Всем была хороша арочно-сводчатая конструкция, но она имела один недостаток – слишком большая сила действовала в основании арок. Для поддержания такой конструкции требовалась большая толщина стен ( как например в Пантеоне), а это в свою очередь требовало большого расхода материалов, что очень было затратно.

Следующей системой в архитектурных конструкциях стала каркасная, которая используется в современной архитектуре. В основу легла арочно-сводчатая конструкция. Полуциркульные арки меняются на стрельчатые, которые, если смотреть с точки зрения геометрии, являются более сложными. Стрельчатая арка не полукруглая, а более вытянутая, с заострённым концом. Такая конструкция стала возможной благодаря использованию арочных контрфорсов, ещё одному изобретению средневековых архитекторов. Теперь разберемся что это такое? Арочный контрфорс – это контрфорс в форме полуарки. Теперь дадим определение самого контрфорса. Это устой, поперечная стенка или вертикальный выступ, укрепляющий основную несущую конструкцию (главным образом наружную стену).

Нагрузка на контрфорс передавалась с помощью арочных конструкций – аркбутанов. Это наружная каменная полуарка, передающая распор свода главного нефа готического храма опорным столбам, расположенным за пределами общего объёма здания, что мы и видим на схеме.

Выполняя, роль своего рода постоянных внешних лесов, контрфорсы принимали на себя вес кровли, что позволило архитекторам уменьшить толщину стен и увеличить высоту арок и размер окон. Каркасная конструкция сегодня используется в качестве основной, при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона.

Прочность архитектурных сооружений – важнейшее их качество, но нельзя забывать и о, удобстве этих сооружений, которое всегда должно присутствовать. Обратимся к жилым зданиям. Ведь именно квартира, дом должны быть, прежде всего, удобными, т. к. именно в них мы проводим большую часть своей жизни. Как всем известно, архитектор делает архитектурные чертежи зданий, квартир, сооружений, чтобы всё рассчитать и потом по ним строить. Вспомним архитектурные чертежи недавнего прошлого (XVI-XVII веков), которые делались вне правил начертательной геометрии, архитектор решал стоящие перед ним задачи, совмещая планы с фасадами. Теперь же современный нам архитектор, проектируя, чертит строго в ортогональных проекциях. На этих чертежах решаются задачи соразмерности и пропорциональности. На их основе осуществляется строительство. Перспективный вид и даже модель здания не могут заменить такой чертёж.

Теперь же поговорим о планировки жилых зданий, которая является их характеристикой. Рассмотрим это условие на примере той квартиры, где я живу. А для этого нам понадобится чертёж, который я вам предоставлю.

Итак, на примере этого плана, мы видим, что планировка этой квартиры достаточно правильная. Представим, что мы являемся гостями. Как бы, заходя, мы наблюдаем холодное помещение, которое называется верандой, где летом замечательно можно отдохнуть и даже переночевать, дыша свежим прохладным воздухом летней ночи, а зимой она играет роль переходного помещения. Ведь каждый строитель знает, что нельзя оставлять резкую грань между высоко разными температурами. Т. к. с одной стороны образно говоря, на перегородку (дверь) давит зимний мороз, а за ней идёт преобладание плюсовой средне-комнатной температуры, из-за чего в следствии будет намерзать входная дверь, от которой по полу будет нести холодом, доставляя неудобство жильцам этой квартиры. Поэтому архитектор, проектируя должен учесть о постройке как раз того самого перехода. Но вернёмся к нашему примеру. Далее, проходя, мы видим отдельное пространство, выделённое для прихожей, а за ней вглубь идёт ванная комната. Затем располагается коридор, который играет немало важную функциональную роль. Он является тем пространством, объединяющим все входы и выходы комнат в квартире, т. е. ни одно помещение не наблюдается у нас проходным, что очень удобно в проживании.

В общем виде, мы видим, что квартира имеет 4 комнаты, каждая из которых имеет свой правильный размер и местонахождение. Ведь понятно, что спальня и детская должны быть меньше по размеру и дальше по расположению, чем кухня, т. е. обеденная и чем зал. Так оно у нас и есть.

Теперь поговорим об освещённости. В каждой комнате у нас располагается по одному окну, но достаточно широкому и высокому, что делает помещения светлыми и видимо свободными. Но нельзя ещё забывать архитектору при расположении комнат, что у квартиры есть теневая и солнечная сторона, что тоже немало важно. Ведь летом в жаркий и знойный денёк нам хочется отдохнуть, перевести дух в прохладе, а кок это возможно, если ваш зал, спальня, а то и все комнаты находятся на солнечной стороне. Или же наоборот, когда долгожданные весенние лучи приятно тепло пригревают и нам хочется просто ощутить дома их на себе, но это является невозможным, т. к. ваше жилище находится полностью на теневой стороне.

Также удобство наших квартир характеризуется звукоизоляцией. Хорошая или плохая звукоизоляция зависит от толщины стен и от материала, из которого сделаны эти стены. На примере нашего плана можно сказать, что тут соблюдена средняя звукоизоляция, т. к. толщина стен не превышает среднего, которые сложены из кирпича, а значит не слишком обеспечивающие снижение уровня шума с улицы и со стороны соседей. Толщина стен важна не только для звукоизоляции, она ещё обеспечивает тепловой режим помещений, а это очень важно. Ведь стены защищают людей от неблагоприятного воздействия окружающей среды. Поэтому архитектору в построении чертежа нужно учитывать все, чтобы человеку ничто не доставляло неудобство в планировке его квартиры.

Теперь поговорим о том, как же математика может помочь в планировании помещений. Во-первых, при составлении плана чаще всего решается геометрическая задача о разбиении многоугольника на части. Во-вторых, архитектор обязательно пользуется понятием масштаб, т. к. все размеры реальных помещений он уменьшает в какое-либо одинаковое количество раз. Он изображает план с точки зрения геометрии, представляя его в виде той фигуры, которую можно было бы увидеть, смотря на неё сверху. Далее математика помогает архитектору сделать соответствующие расчёты по известным ему специальным формулам, чтобы решить какой толщины должны быть стены и сколько слоёв звукоизолирующего материала необходимо проложить, чтобы обеспечит жильцам комфортные условия жизни.

Мы уже рассмотрели два критерия архитектурных сооружений, такие как прочность и удобство, перейдём же к третьему, к красоте. Сооружения могут быть прочными и удобными, но если они не привлекают взгляд, то они уже воспринимаются, как обычные строения, но не как памятник архитектуры. Опять же, какое-либо сооружение может стать не прочным и следовательно совсем неудобным и бесполезным, но если оно красиво и вызывает чувство восторга, то при этом его архитектурная ценность не исчезнет. Снова приведём пример на Преображенском соборе на острове Кижи. Ведь он был построен, как уже говорилось, полностью из дерева и со временем стал разрушаться, из-за чего его перестали использовать по назначению, но однако же он не перестал быть шедевром искусства. И так произошло со многими сооружениями древнерусского зодчества. Также можно привести ещё один явный пример – «падающая» башня в Пизе.

«Падающая башня». Колокольня (кампанила) Пизанского собора. Высота сооружения 55м. Начала строиться в 1179 году рядом с собором. Башня стала отклоняться ото вертикали уже в процессе постройки. В конце 1990-х гг. реставрационные работы, с помощью которых башня стала «скользить» в обратном направлении.

Зададимся вопросом: «А что же архитектуру делает красивой, из-за чего она становится ценной?» Существуют конкретные математические модели, соотношения и свойства, разнообразные геометрические формы, пропорции и законы симметрии (о которых подробно говорить мы будем позже), которые в определённой мере задают внутреннюю красоту архитектурной формы.

Человечество с самых ранних этапов своего существования пыталось постичь законы гармонии, а значит достичь красоты. Красота включает в себя единство двух противоположных начал: порядка и беспорядка. Математика выявляет объективные закономерности установления этого как раз порядка, соединения отдельных частей в единое целое. Математика предлагает архитектору, как бы общие правила, основы организации частей в целое, которые помогают расположить эти части в пространстве, установить соотношение между размерами частей, выделить определённое место опять же в пространстве, где будет располагаться сооружение, описать его определённой математической формой, которая позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию.

В обще же человек различает все окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван её красотой. Форма, в основе построения которой лежат сочетания симметрии и золотого сечения, способствуют наилучшему восприятию и проявлению ощущения красоты и гармонии. Гармонические особенности произведения нельзя рассматривать в отрыве от идеи произведения, однако они коренятся в какой-то мере и в физиологических особенностях человеческого восприятия. Математическая характеристика физиологического механизма (органов чувств) является подосновой гармонизации формы в архитектуре.

Также в основе нашего восприятия лежит принцип геометрического подобия. Этот же самый принцип позволяет нам использовать природные формы, их комбинации в архитектурных сооружениях, внося в них природную красоту. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Итак, в архитектуре существуют три основных критерия, которые нужно обязательно учитывать и к которым нужно стремиться, это ПРОЧНОСТЬ, УДОБСТВО, КРАСОТА. И добиваться структурного, функционального и видимого совершенства нам помогает именно математика, её закономерности, пропорции, принципы. Даже если подойти с самой простейшей стороны к архитектурным сооружениям, не углубляясь в подробное исследование значения математики в архитектуре, то мы видим, что она везде присутствуют. Её геометрические формы, фигуры лежат в основе любого здания, этого просто не избежать. Даже чтобы узнать ширину или высоту, длину или объём какого-либо предмета, мы наблюдаем чистейшую основу математику, ведь все размеры, это те же самые числа, которые непосредственно относятся к первоначальным ступням математики и так можно продолжать бесконечно

Геометрические формы в различных архитектурных стилях.

Начнём с понятия что вообще такое архитектурный стиль. Это общность образной системы, средств художественной выразительности, творческих приёмов, обусловленная единством идейно-художественного содержания. Как и другой вид искусства, архитектура подвержена влиянию моды. Стиль того или иного сооружения определяет замыслом либо технологиями, характерными для данной эпохи или культуры. Можно говорить о стиле целых эпох или крупных художественных направлений, которые в течении развития истории сменялись один на другой, каждый раз добавляя что-то новое, либо же кардинально меняя художественное направление. Давайте же проследим какие стили существовали в различные эпохи и как они менялись.

• Зодчество.

Первым направлением в архитектуре было безусловно, зодчество. Как уже говорилось ранее, все постройки тогда создавались только из дерева, но из-за непрочности этого материала пришлось перейти на более крепкие и более долговечные.

• Классическая греческая архитектура (около 600-300 до н. э. )

В Древней Греции архитектурное решение общественных сооружений было подчинено одной цели – достижению идеальной красоты. Около 600 до н. э. люди начали возводить здания из камня. К 490 до н. э. стали строить из мрамора.

Расцвет архитектуры этой эпохи отмечен такими шедеврами, как Парфенон. Храм сооружен из пентелийского белого мрамора, со временем приобретшего теплый желтоватый цвет. Мраморные блоки укладывались насухо и соединялись металлическими вкладышами. Даже кровля покрывалась мраморными пятисантиметровыми плитами - "черепицей". Храм относится к числу широко распространенных периптериальных античных храмов,

Афинский акрополь, Парфенон,

Греция, 447-432 до н. э.

отличие его заключается в пропорциональном гармоническом строе. Своеобразие архитектурной формы Парфенона заключается в наличии курватуры, которая служит оптическим коррективам, обеспечивающим правильное видение архитектурной формы. Стилобат храма не строго горизонтален, а слегка выпуклый, колонны разного диаметра и пр. Храм по идее прямолинеен, на само же деле в его контурах нет почти ни одной строгой линии. Процесс проектирования, очевидно, заключается в гармонически рассчитанной форме, которая вслед за тем корректировалась по законам курватуры, или восприятия.

• Древнеримская архитектура (около 200 до н. э. – 400 н. э. )

Римские архитекторы заимствовали многие элементы и приёмы у других народов: своды у персов, арки у этрусков, множество архитектурных украшений у греков. Они создавали ряд новых типов архитектурных сооружений – амфитеатры, базилики акведуки; изобрели бетон. Первым отдельно стоящим амфитеатром был Колизей, 70-72 н. э. На примере него можно говорить о применение геометрических форм этого стиля. В основе лежит арочно-сводчатая конструкция, применяются в особенности арки. Также если смотреть чертёж Колизея сверху, то можно увидеть, что его основание построено в форме круга, что ещё раз подтверждает использование в любых архитектурных сооружениях геометрических форм, как сложных, так и простых. Для общественных собраний строились вместительные сооружения с плоской крышей – базилики. Акведуки снабжали города водой, которая текла по желобам, поднятым над землёй арочными перекрытиями.

• Романская архитектура (1000-1100)

Этот стиль хронологически следует за византийским (450-600). Для него характерно использование классических элементов, в частности круглых арочных сводов, в зданиях с толстыми стенами. Массивные тяжеловесные стены и колонны служили опорой для кровли, которая первоначально покоилась на цилиндрических, а позднее – на крестовых сводах. Пример, Сан-Витале, Равенна, Италия.

• Готика (1150-1500)

Третий по времени стиль в искусстве средневековья. Отличительная черта – стрельчатые арки, позволившие значительно увеличить высоту сводов и окон. Подобная конструкция нашла своё высшее воплощение в архитектуре капеллы Сен-Шапель, построенной Людовиком IX в Париже. Как правило чем выше и легче конструкция сводов и больше окна, тем позднее он был возведён. Готика распространилась по всей Европе и приобрела типичные узнаваемые черты. Замечательные образцы этого стиля можно видеть в Германии и Великобритании. Вот также несколько примеров этого направления. Смотря на данные иллюстрации можно найти множество геометрических фигур, которые составляют единое целое. Это прежде всего прямоугольники и многоугольники, основа всех сооружений, а если быть точными, то это параллелепипеды и кубы. Далее круги, арки различных видов, конусы и ещё множество фигур, но уже измененных, либо соединенных с другими фигурами.

Готический собор в Милане.

Строительство началось в 1386, а закончилось в 1856.

• Возрождение (1400-1600)

В эпоху Возрождения руины римских сооружений стали источником вдохновения для итальянских архитекторов, создавших художественный стиль, в значительной мере основанный на переосмыслении принципов античности. Снова в центре внимания оказались геометрические пропорции, обилие света и подлинно классически декор. Пример, Собор во Флоренции, Италия.

• Палладианство (1550-1750)

Андреа Палладио несколько упростил стиль Возрождения, сделав акцент на гармоничных пропорциях и симметрии и ограничив количество декоративных элементов. Он первым использовал колоннаду для оформления фасада. Эту особенность стиля больше всего копировали впоследствии. Опять же мы видим присутствие геометрических форм, таких как цилиндры, арки, параллелепипеды, просто прямоугольники, треугольники и т. д.

Вилла «Ротонда», Виченца, 1550-1551

• Барокко и рококо (1600-1760)

Итальянец Бернини создал пышный стиль барокко со сложным оформлением поверхностей и яркими настенными росписями. В XVIII в. Благодаря росту материального благосостояния архитектуры родился более легкомысленный стиль рококо. Причудливые линии и изысканные декоративные формы сочетались с интерьерами, пронизанными воздухом и светом. Пример, Колоннада площади Святого Петра, Рим.

• Неоклассицизм (1750-1850)

В пику излишествам и вычурности барокко некоторые европейские архитекторы, например Клод Леду, вновь обратились к античной архитектуре. Новое художественное течение стремилось воссоздать величие классики, используя простую геометрическую планировку и высокие колонны, а также элементы декора, скопированные с греческих и римских образцов. Пример, Колоннада Нэша в стиле неоклассицизма, Риджентс-парк, Лондон.

• Романтизм/историзм (1800-1900)

Интерес к искусству Египта и Азии, к средневековому готическому прошлому породил ряд направлений подражательной архитектуры. Одно из них называется «готическое возрождение», в нём сильны романтические и религиозные мотивы. Характерные особенности – стрельчатые арки, зубчатые стены, сложный декор. Пример, здание парламента (Лондон) в стиле «готического возрождения».

• Модерн (1890-1914)

Стиль модерн охватывает архитектуру, дизайн интерьера, декоративно-прикладное искусство. Его корни следует искать в возрождении интереса к текущим формам кельтского орнамента. Выдающимися образцами модерн стали павильоны станций парижского метрополитена.

Церковь Саграда фамилия Барселона, лепные детали выполнены из бетона.

• Ар деко (1918-1940)

Для архитектуры этого направления характерны упрощённые конструктивистские формы и повторяющиеся геометрические декоративные элементы. Это видно на примере Нью-Йоркского Рокфеллеровского центра.

• Интернациональный стиль, или функционализм (1920-1975)

Функционализм отвергал декоративность и все, кроме функционально необходимого. Сильно его влияние в архитектуре торговых и промышленных зданий. Ле Корбузье сформулировал свои принципы архитектуры: «свободная планировка» интерьера и «свободный фасад» ( расположение окон не зависит от конструкции зданий). Пример, дом Роби, Чикаго.

• Плюрализм (1975)

Смешание разнообразных стилей, часто объединённых общим термином «постмодернизм». Школа «хай-тэк» допускает использование старых стилей в новых сочетаниях. Школа «деконструкции» делает акцент на эффекте движения и дезориентации путём зонирования пространства или, наоборот, его расширения с помощью нетрадиционного подхода к таким основным элементам, как пол и стены.

Пирамида, Лувр, Париж.

Для современной пирамиды потребовались стальные распорки и более 900 кусков стекла. На этой иллюстрации, мы видим, что в основе сооружения лежит явная геометрическая фигура, такая как пирамида, но каждая сторона которой разделена на множество частей, представленных в виде ромбов.

Не в каждом стиле было описано присутствие геометрических фигур в сооружениях, но тем не менее на нескольких примерах становится совершенно ясно, что без них было бы невозможным что-либо построить. Мы знаем очень много плоских и пространственных фигур, которые иногда называют геометрическими телами. Ни один вообще вид искусств так тесно не связан с геометрией, как архитектура.

Большой вклад внёс знаменитый архитектурный реформатор Ле Корбюзье. Он восторгался «Окружающий нас мир – это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия». Ле Корбюзье считал геометрию тем замечательным инструментом, который позволяет установить порядок в пространстве. Все архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определённые геометрические формы. Каждое единое целое состоит из отдельных частей, деталей, каждая из которых также строится на базе определённого геометрического тела. Очень часто для разнообразия и определённой красоты геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. В современной архитектуре, благодаря возможностям современных материалов, архитекторы используют причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности.

Математика, геометрия являются "оформлением" строительной деятельности, без которых она просто невозможна. Недаром геометрия оказалась впереди других наук и вооружила человека в его строительной, как, впрочем, и во всякой иной созидательной деятельности.

Евклид и его геометрия оказались без особых изменений на вооружении зодчих

Египта, Греции, Рима, Византии, Древней

Руси. И мы не побоимся высказать, казалось бы, парадоксальное суждение о том, что геометрия Евклида сохраняет свое значение и для современного строительства. Геометрия помогает не просто строить, она, выполняя технические функции, одновременно гармонизирует форму и, более того, служит одним из важных средств образной характеристики произведений архитектуры.

Симметрия.

Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются (остаются инвариантными) определенные признаки  при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, химическими, информационными и т. д.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого.  С теми или иными проявлениями симметрии мы встречаемся буквально на каждом шагу, взгляните на порхающую бабочку, загадочную снежинку, мозаику в храме, морскую звезду, кристалл граната – всё это примеры симметрии. В математике рассматриваются различные виды симметрии. Каждый из них имеет своё название.

Одним из важнейших видов симметрии является осевая симметрия, которую также называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии ( это прямая, которая делит фигуру или плоскость на две одинаковые части) или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Оси симметрии и плоскости симметрии может быть несколько. Бесконечное число плоскостей симметрии имеет шар, круговой цилиндр, круговой конус и т. д. Правильный восьмиугольник имеет 8 осей симметрии, как это показано на рисунке, а круг бесконечное множество осей симметрии.

Кроме осевой симметрии существует ещё центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол  вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Примерами центрально-симметричных фигур являются окружность, также эллипс и т. д.

В курсе геометрии рассматривается ещё один вид симметрии - переносная симметрия. И заключается он в том, что части целой формы, организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от неё на определённый интервал, который называется шагом симметрии, в определённом направлении. Примером этого вида симметрии является периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте, который образует узор, называемый бордюром. Каждая эпоха, каждый народ выработали свои формы, мотивы и расположение украшений на бордюрах. Также этот вид симметрии можно увидеть в орнаментах или решётках архитектурных произведений искусства.

Художественный эффект классических симметричных композиций возникает благодаря верно построенному модулю. Люди беспокойно реагируют на здания, которые кажутся им несбалансированными или с тяжёлым верхом. И не потому, что они могут на нас обрушиться, а потому, что мысленно люди как бы проецируют себя на здание, сопоставляют своё собственное тело с телом здания. Это так называемый бессознательный миметический инстинкт заставляет нас уподоблять самих себя кажущемуся весу, давлению, сопротивлению, представленному в формах, которые видим, т. е. , другими словами, возникает понятие «вживаемости» в строение здания.

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать асимметрию и диссимметрию. Асимметрия - это противоположность симметрии, ее  отсутствие, а диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, её расстройство, выраженное в наличии одних симметричных свойств и в отсутствии других. В современной архитектуре всё чаще используются приёмы как асимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства.

Принцип золотого сечения.

Из многих отношений, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одно, единственное и неповторимое, обладающее уникальными свойствами. Оно отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному – «золотой», «божественной». Древнейшие сведения о ней относятся ко времени расцвета античной культуры.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. АВ : ВС = АС : АВ). Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи.

Теперь для полной убедительности и понимания ценности и значения отношения золотого сечения, рассмотрим пропорциональность пирамид Хеопса и Хефрена, где наиболее явно используется этот принцип, т. е. принцип золотого сечения. Нет сомнений в том, что, предпринимая строительство таких гигантов, зодчие очень и очень внимательно рассчитывали все их размеры. Иначе невозможно мыслить организацию этого чрезвычайного по масштабам строительства. Точные соразмерности этих сооружений не вызывают ни малейших сомнений.

Пирамида Хеопса имеет стороны основания: 230,41, 230,51, 230,60 и 230,54м. Высота равна 146,70 м. Отношение наклонной образующей, или гипотенузы прямоугольного треугольника, образующего поперечный разрез пирамиды к малому катету, или половине стороны квадратного основания, равно отношению золотого сечения.

Пирамида Хефрена построена на основе отношений сторон священного египетского треугольника. Ее поперечный разрез определяется двумя треугольниками, сблокированными своими большими катетами. Проверим. Сторона основания равна 215,86м, высота равна 143,65м. Архитектурные формы пирамиды Хефрена как нельзя лучше свидетельствуют об использовании, зодчими Египта целочисленного треугольника 3, 4, 5.

Анализ пропорций пирамид не оставляет и тени сомнения в том, что зодчие древнего Египта превосходно знали и высоко ценили отношение золотого сечения.

B настоящее время в архитектуре, делаются попытки вое шире и шире использовать математические методы, но до сих пор оценка качества произведений искусства удобными для измерения количественными категориями, оказывается для современной науки непосильной. На помощь приходит не число, оформляющее процесс измерения, а соразмерность и пропорция. Число, отношение, пропорция — это математические понятия, носящие абстрактный характер, но зачем они нам, эти понятия, если бы за ними не было породившего их опыта многообразной жизни. Однако, как непосильно для арифметики сложение разных именованных чисел, так же невозможно сопоставление, соизмерение разнородных элементов, складывающихся в произведение искусства.

Заключение.

Математика для творческого труда архитектора издавна признается чем-то очень важным, необходимым и плодотворным. И все же архитектурная наука так до сих пор и не разработала должным образом этот, можно сказать, кардинальный вопрос теории. Речь идет не только о ремесленном или техническом вооружении зодчего, о реализации идеи в проекте и сооружении, но и о творческом процессе поиска, о "формах" самой идеи, о "формах" художественного мышления. Мы далеки еще от создания строгой теории гармонизации архитектурной формы. В настоящее время необходимо хотя бы накопить и привести в должный порядок уже имеющиеся у нас данные, полученные в результате анализа архитектурной формы памятников исторического прошлого. За длительный период человеческой цивилизации создано немало произведений исключительной красоты. Эти произведения могут явиться примером использования зодчим в своем творческом труде математических закономерностей. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, целочисленными расчетами и геометрией.

Большое значение геометрии как основополагающему средству восприятия и организации формы придавал выдающийся французский архитектор Шарль Ле Корбюзье. Он писал: "Нужно найти такое геометрическое описание конкретного произведения, которое имеет для него особое значение, которое внесет в него стройность и определенность". По его мнению, "геометрия есть средство, с помощью которого мы воспринимаем среду и выражаем себя". Ле Корбюзье был уверен, что "произведение искусства есть тоже математика, и ученый вполне может применить к произведению искусства ее беспощадные умозаключения и неумолимые формулы".

Несомненно, что математика, в своём развитии, оказала определённое влияние на архитектуру. Математика является языком, методом оформления анализа, обобщения и прогнозирования. Но не следует во всем полагаться только на математические выкладки, хотя все виды познания мы стремимся совершенствовать и подготовлять к математическим формам выражения, которые, в свою очередь, в порядке "обратной связи" диктуют определенный характер проводимых исследований. И все же каждый предмет имеет свои неподверженные математизации законы развития, осмыслять которые бывает необходимо вне точных измерений.

Не надо также забывать, что математика решает только поставленные задачи, а поставлены они должны быть корректно. Необходимо помнить и главный принцип математики: «Нельзя объять бесконечное (время, пространство, информацию и т. д. ), но можно досконально (на самом деле – с любой степенью точности) изучить строение материальных объектов и поведение процессов и явлений в малых областях». И архитекторы в своей профессиональной деятельности могут и должны использовать не только вычислительный аппарат математики, но и применять её методологию, её доказательную строгость, её логику и, конечно, её.

На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления. Фундамент этого сооружения образуют неопределяемые понятия, а «тектоника» определяется теми логическими связями, которые вводятся (постулируются) между этими понятиями. Все сказанное убеждает нас в том, что архитектура и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи. По сути, каждую из этих дисциплин можно рассматривать существенным и необходимым дополнением другой.

Итак, подведём итог. Мы пронаблюдали, как математика помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений, как значимо и ценно отношение золотого сечения, как немело важную роль играет в построении такие понятия как симметрия и асимметрия. Также было совершенно доказано, что геометрия является основой и «оформлением» строительной деятельности и т. д.

И в завершении нашей исследовательской работы можно смело выделить: «Интуиция, ассоциативное и образное мышление на своей начальной фазе обходится без математики, но оформление итогов творческого процесса без опоры на математику просто невозможно, по крайней мере, если речь идет о созидательной архитектурной деятельности».