Математическое моделирование и его практическое применение

Почему наш мир прекрасен? Потому что формы и цвета живой природы во многом следуют общим закономерностям гармонии, выявляющимся путем строгого математического анализа. При изучении природы мы находим в ней все больше эстетических признаков, которые выявляются, как правило, не сразу, но после детального математического анализа.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

При использовании законов геометрии природы в новой ситуации, для изучения курсов предметов, связанных с геометрическими построениями, мы заново переосмысливаем изученные геометрические законы, развиваем геометрическую интуицию.

В процессе выполнения творческих заданий различного содержания, мы познакомились с возможными сферами применения геометрических знаний (художниками, архитекторами, дизайнерами и т. д. ).

Графические средства отображения информации используются во всех сферах жизни общества. Они имеют законченный образ, характеризуются символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обуславливают их расширенное использование. В недалеком будущем более половины представляемой информации будет иметь графическую форму предъявления. Развитие теоретических основ начертательной геометрии, инженерной графики и других смежных наук расширило способы получения графических изображений. Наряду с ручными способами формирования графических изображений, составления проектной документации все более широкое применение находят компьютерные способы. Использование новых информационных технологий обеспечивает создание, редактирование, хранение, тиражирование графических изображений с помощью различных программных средств.

I. Начальные сведения об алгебраических кривых

1. Астроида

Астроида (от греч. <<астрос>>-звезда) - это кривая, описываемая точкой подвижной окружности , которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Площадь, ограниченная астроидой, составляет [3]/8 площади неподвижного круга, а полная длина астроиды равна ушестеренному радиусу этого круга.

Уравнение астроиды в декартовых прямоугольных координатах:

x [2 / 3] + y [2 / 3] = R[2 / 3].

Построение графика астроиды выполнили в <<Живой геометрии>> следующим образом:

:: Построили график функции при у > 0 (радиус R = 5);

:: Построили график функции.

2. Кардиоида

Кардиоида (от греч. <<кардио>>-сердце и eidos-вид)- плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, которая извне касается неподвижной окружности того же радиуса и катится по ней без скольжения. Кривая получила своё название из-за сходства с сердцем.

Построение графиков кардиоид также выполнили в <<Живой геометрии>>.

3. Нефроида

Нефроида (от греч. hephros-почка, eidos-вид) - кривая которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности. Впервые свойства нефроиды изучил в 17 веке саксонский дворянин Э. В. Чирнгауз. Нефроида состоит из двух кардиоид.

4. Улитка Паскаля.

Улитка Паскаля - плоская алгебраическая кривая. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её. Уравнение в полярных координатах. При l = 2a получается кардиоида.

II. Применение математического моделирования.

1. История создания нитяной графики

Нитяная графика (или изонить) - это графическое изображение, особым способом выполненное нитками на картоне или другом твердом основании. Нитяную графику также иногда называют изографика или вышивка по картону.

Термин <<ниточный дизайн>> (нитяная графика или изонить) используется в России, в англоязычных странах используется словосочетание <> - вышивка на бумаге, в немецкоязычных странах - термин <>.

Нитяная графика, как вид декоративно-прикладного искусства, впервые появилась в Англии в XVII веке. Английские ткачи придумали особый способ переплетения ниток. Они забивали в дощечки гвозди и в определенной последовательности натягивали на них нити. В результате получались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилища. (Возникла версия, что эти работы были своего рода эскизами для узоров на ткани). Современные расходные материалы позволяют получать очень эффектные изделия.

Наряду с оригинальной техникой исполнения нитяной графики, существует другое направление ниточного дизайна - вышивка на картоне (изонить) теми же приемами (прием заполнения угла и окружности).

Интерес к нитяной графике то появлялся, то исчезал. Один из пиков популярности был в конце ХIХ века. Издавались книги по рукоделию, в которых описывался необычный способ вышивки на бумаге, простой и легкий, доступный детям. В работе использовались перфорированные карты (готовые шаблоны) и прием заполнения угла, стежки <<крест>>, <<стебельчатый>> (для вышивания кривых). Используя минимум средств, любой человек (а главное дети) смог бы изготовить причудливые сувениры к праздникам.

Сейчас этим искусством занимаются во многих странах мира .

В нашей стране информации по изонити имеется в небольшом количестве, в основном ознакомительного характера: отдельные публикации в журналах <<Школа и производство>>, В 1995 году вышла книга минского профессора Г. А. Браницкого <<Картины из цветных ниток и гвоздей>> и книга Нагибиной М. И. <<Чудеса из ткани своими руками>> с небольшой главой об изонити.

Проанализировав доступную информацию, удалось узнать, что по этому виду рукоделия издаётся множество книг в виде пошаговых инструкций и альбомов идей, в которых везде используется только репродуктивный метод работы.

Достоинство изонити в том, что выполняется она быстро и придумать можно много интересных узоров. Этот вид творчества развивает воображение, глазомер, мелкую моторику пальцев, художественные способности и эстетический вкус. В технике нитяной графики можно изготовить не только декоративное панно, но и поздравительные открытки, сувенирные обложки, закладки для книг.

А направлений у изонити (нитяной графики или ниточного дизайна) может быть несколько:

1) репродуктивный способ: работа по шаблону, пошаговая инструкция, раздача готовых схем и наборов вышивания

2) частично-поисковый (проектный): обучение расчету на картоне (т. е. создание собственных шедевров), поиск своих приемов и комбинаций, "игра" с фоном, нитками - с материалом исполнения

3) комбинированный - когда начинается всё с "азбуки", работаем с готовыми схемами, но изменяем вид материала (цвет) и доходим до "шедевра".

2. Основные приемы нитяной графики

Нитяная графика известна и под другими названиями: изонить (т. е. изображение нитью), графическая вышивка. Для освоения техники достаточно знать, как заполняются угол, окружность и дуга.

Прием 1. Заполнение угла.

На изнанке картона начертим угол, разделим каждую сторону на равное количество частей. Проколем точки булавкой или тонким шилом, вдеваем нить в иглу и заполним по схеме.

Прием 2. Заполнение окружности.

Начертим циркулем окружность. Поделим ее на 12 равных частей и заполним по схеме.

Прием 3. Заполнение дуги.

Начертим дугу, разделим ее на равные части и сделаем проколы в точках деления. Вдеваем нитку в иглу и заполним по схеме

III. Исследовательская работа.

Построения в программе <<Живая геометрия>>.

Задача 1. Деление отрезка на n равных частей.

Решение 1. Деление на 2, 4, 8, 16 и т. д. частей выполняли в <<Живой геометрии>> путем построения середин отрезка.

Решение 2. Деление отрезка на произвольное количество частей мы выполнили также в <<Живой геометрии>> с применением теоремы Фалеса.

Задача 2. Деление окружности на 6, 12, 24 части.

Решение 1. Мы искали различные способы деления окружности на части. В программе <<Живая геометрия>> мы чертили окружность, в произвольном порядке расставляли точки, измеряли полученные углы, а затем <<ювелирно>> двигали точки по окружности до получения нужной величины. Это была монотонная и неинтересная работа. Погрешность первого деления на 12 частей составила + 0,15 см в длине хорд. Мы стали анализировать ситуацию и искать оптимальные способы решения поставленных задач. В итоге мы нашли несколько решений деления окружности на 6, 12, 24 частей.

Решение 2. На окружности отметили 6 точек, измерили все углы, выровняли точки так, чтобы каждый угол был равен 60 [о]. Затем с помощью программы провели биссектрисы каждого угла. Получилось деление на 12 частей. А для деления на 24 части провели еще раз биссектрисы полученных углов. Погрешность такого построения оказалась равной + 0,01 градуса.

Решение 3. С помощью программы построили 3 окружности одинакового радиуса (применение копирования), совместили их, как показано на рисунке. Отметили точки пересечения окружностей. Измерили получившиеся углы, они оказались равными по 60 [о]. Далее построили биссектрисы углов для деления на 12 и 24 части. Погрешность такого решения равна нулю.

Задача 3. Деление окружности на 9, 18, 36 частей.

Найдя оптимальный способ решения предыдущей задачи, мы аналогично стали искать способы деления окружности на 9, 18 и 36 частей. Деление на 18 и 36 частей можно выполнить только после построения 9 точек, применив построение биссектрис.

Решение. 360 [о] : 9 = 40 [о]. Мы на <<глаз>> разделили полуокружность на 4 дуги примерно по 40 [о] и дугу в 20 [о]. С помощью программы выполнили все необходимые измерения углов, двигая точки. Далее выделили построенные точки и с помощью команды <<Отразить>> отразили точки на 180 градусов относительно центра окружности на вторую полуокружность. Погрешность такого построения составила + 0,04 градуса..

Задача 4. Построение алгебраических кривых

Астроида

Решение 1. Астроида строится на координатной плоскости по следующему алгоритму:

:: Нужно соединить точки оси ординат с точками оси абсцисс так, чтобы в сумме цифры делений давали 10 (например:1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 и т. Д. ).

:: Соединяем точки в такой же последовательности в остальных четвертях координатной плоскости.

Решение 2. Начертили окружность, построили перпендикулярные диаметры, разделили каждый радиус на четное количество частей. Соединили точки отрезками по предыдущему алгоритму.

Решение 3. Освоив оптимальный прием деления окружности на 6 частей, мы выполнили построение 6-звездочной астроиды.

Решение 4. Построение 8-зведочной астроиды выполнили с построением биссектрис прямых углов .

Кардиоида

Решение. Для построения кардиоиды основанием будет являться окружность. Кардиоиду построили по следующему плану:

:: начертили окружность и поделили её на 36 частей (по 10 градусов);

:: пронумеровали внешние точки от 1 до 36 против часовой стрелки;

:: внутренние точки пронумеровали в соответствие со схемой 1;

:: соединили точки с одинаковыми внутренними и внешними номерами;

:: огибающей и будет кардиоида.

Схема 1 Схема 2

IV. Наше творчество.

Освоив основные приемы конструирования и моделирования в <<Живой геометрии>>, мы попробовали себя реализовать в роли дизайнеров и художников. Нами разработаны и воплощены в практику следующие работы:

1. <<Снеговик>>

2. <<Бумеранг>>

3. <<Полет лебедей>>

4. <<Корзина с цветами>>

Заключение, выводы

<<Мышление начинается с удивления>>, - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что <<чувство удивления - могучий источник желания знать: от удивления к знаниям - один шаг>>. А математика замечательный предмет для удивления.

Углубленно изучив доступный материал, мы познакомилась с новым методом конструирования кривых - математическим вышиванием, используя знакомые приемы построения геометрических фигур (построение угла, деление отрезка на равные части, соединение точек в определенной последовательности, деление окружности на равные части в программе <<Живая геометрия>>). Мы нашли удивительное сходство математического вышивания с давно известным видом декоративно-прикладного искусства - изонитью.

В Интернете, специальной литературе много фотографий с вышивкой изонитью, но к ним не прилагаются схемы. Мы пришли к выводу, что математическое вышивание - это творческий процесс. Зная основы математического моделирования, которые изложены в нашей работе, применяя творческое мышление, логику, терпение, можно изготавливать индивидуальные <<шедевры>> прикладного искусства.

Математическое вышивание заинтересовало не только нас, но и многих учеников школы (как девочек, так и мальчиков). Мы считаем, что современные информационные технологии позволят соединить воедино математику и искусство.