Логические задачи на уроках математики

Тесты и задачи, которые будут предложены ниже, относятся, в основном, к дополнительному материалу на уроках математики или для выполнения этих заданий дома для учащихся 3-5 классов. Безусловно, взрослые могут помогать детям при решении заданий. Есть задания повышенной сложности, а есть и простые. Память, внимание, интеллектуальные операции совершенствуются только в процессе тренировок. И если решать подобные задания часто, то с каждым разом все большее количество детей будет успешно справляться с подобными заданиями.

1) Перед Вами четыре салфетки, сделанные из листа бумаги.

Только одну из них вырезал Костя, сложив вчетверо листочек бумаги и сделав на нем надрезы (см. рисунок справа).

Какая салфетка у него получилась? a) ; b ) ; c ) ; d );

(Правильный ответ с)

2) Марина и Наталия едут вместе в поезде из Санкт-Петербурга в Москву. Во время их беседы выяснилось, что обе они совершали этот рейс несколько раз раньше и всегда поездом.

Одна из них живет в Санкт-Петербурге, а другая - в Москве.

У Марины было уже 95 рейсов между этими двумя городами, включая этот рейс, а у Наталии - только 86.

Кто живет в Москве? a) Марина; b) Наталия; c) Невозможно определить.

(Правильный ответ b)

Решение

Обе девочки путешествовали между городами только поездом, поэтому, по числу совершенных каждой девочкой рейсов можно точно определить, едет ли она домой или из дома.

Свой первый рейс и все последующие "нечетные рейсы" каждая девочка совершает из дома, а второй и все последующие "четные" рейсы она едет домой.

Нам надо узнать, кто живет в Москве. Так как поезд едет в Москву, надо найти девочку, которая возвращается к себе домой.

Такой будет девочка, совершающая "четный" рейс. Это - девочка Наталия,она совершает 86 рейс.

1) Пять кругов имеют одинаковый радиус (см. картинку).

Четыре из них касаются пятой окружности, а их центры являются вершинами квадрата.

Отношение закрашенной площади кругов к незакрашенной площади кругов равно: a ) 1 : 3; b ) 2 : 5; c ) 5 : 4; d ) 1 : 4; e ) 2 : 3;

(Правильный ответ е)

Решение

Представим себе, что сначала все круги были белые. Было 5 белых кругов.

В каждом из 4 белых кругов закрасили сектор, площадь которого равна 1/4 части от площади круга (угол сектора прямой, т. к. он принадлежит и квадрату тоже).

Следовательно, закрасили общую площадь, равную 1 белому кругу.

Потом закрасили центральный круг. Теперь стало закрашенных кругов 1+1 = 2, а белых кругов осталось 5 - 2 = 3. Отношение между их площадями 2 : 3.

2) Елена, Инна и Ольга, три внучки, участвовали в соревновании по поеданию кексов.

Их бабушка сделала три заявления перед началом соревнований : а) Елена будет второй.

б) Инна не будет победительницей.

в) Ольга не будет второй.

Три внучки заняли первое, второе и третье места в этом соревновании.

Но только одно предсказание бабушки оказалось верным.

Кто занял первое место ? a ) Елена; b ) Инна; c ) Ольга; d ) Нельзя определить;

(Правильный ответ а)

Решение

Пусть первое утверждение бабушки : "Елена будет второй" - истинное.

Но тогда и третье утверждение бабушки - "Ольга не будет второй" - тоже истинное, а по условию задачи истинное утверждение - только одно.

Предположим, что истинным является третье предположение бабушки : "Ольга не будет второй".

Тогда остальные два высказывания бабушки: "Елена будет второй" и "Инна не будет победительницей" - должны быть по требованию задачи -ложными. То есть истина в том, что:

* Елена не вторая

* Инна - победительница.

Однако, второе место в этом случае осталось никем не занято и следовательно наше предположение - неправильное.

Рассмотрим последний случай: истинное второе высказывание бабушки : "Инна не будет победительницей".

Два других высказывания: "Елена будет второй" и "Ольга не будет второй" в этом случае должны быть ложными.

То есть истина в том, что Елена не будет второй, а Ольга - будет второй.

При этом рисуется такая картина:

* На втором месте - Ольга;

* Из оставшихся первого и третьего места - Инна займет третье;

* Елена будет первой.

Эта картина непротиворечивая и отвечает условию задачи.

3) Самый Сильный Человек города N должен был поднять штангу.

Организаторы состязания попросили зрителей высказать их предположения.

Четыре человека назвали следующие числа : 196 кг, 163 кг, 178 кг, и 185 кг.

Один предсказатель ошибся на 1 кг, другой - на 6 кг, еще один на 16 кг и еще один - на 17 кг.

На сколько кг ошибся человек, предсказавший вес 163 кг ? a) на 1 кг; b) на 6 кг; c) на 16 кг; d) на 17 кг;

(Правильный ответ с)

Решение

Сначала найдем истинный вес штанги.

Максимальная разница в ответах предсказателей составляет 196 - 163 = 33 кг и она равна сумме двух погрешностей: 16 + 17.

Следовательно, истинный вес штанги находится между этими двумя крайними показаниями и отстоит от одного из них на 16 кг, а от другого - на 17 кг, т. е. равен 180 кг или 179 кг.

Вариант 180 кг противоречит условию - в этом случае одна из ошибок была бы равна 2 кг. Следовательно, вес штанги - 179 кг, а тот, кто назвал вес 163 кг ошибся на 16 кг.

4) Вопрос 1: Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Ответ: Нет, ведь через 72 часа будет снова полночь.

Вопрос 2: На столе лежат линейка, карандаш, циркуль и резинка. На листе бумаги нужно начертить окружность. С чего начать

Ответ: Надо достать лист бумаги.

Вопрос 3: В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет один человек, на втором - два, и так от этажа к этажу количество жильцов удваивается. Какую кнопку в лифте этого дома нажимают чаще других?

Ответ: Независимо от количества жильцов на каждом этаже, - кнопку <<1>>.

Вопрос 4: Как далеко в лес может забежать заяц?

Ответ: До середины. Дальше он уже выбегает из леса.

Вопрос 5: В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек?

Ответ: Трое (дед, отец, сын).

5) <<Дележ верблюдов>> Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старшему отец завещал половину стада, среднему - треть, а младшему - девятую часть. Братья долго безуспешно пытались поделить наследство. Выходило, что старшему брату достается 8 верблюдов и еще примерно треть верблюда, среднему - 5 верблюдов и еще треть, младшему - один верблюд и, опять-таки, треть. Естественно, разрезать верблюдов никому не хотелось, и братья попросили помощи у мудреца, проезжавшего мимо них на верблюде. Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев. От нового стада из 18-ти верблюдов Мудрец отделил половину - 9 верблюдов - для старшего брата, затем треть - 6 верблюдов - для среднего и, наконец, девятую часть - двух верблюдов - для младшего. После такой дележки мудрец сел на своего верблюда и продолжил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил больше верблюдов, чем полагалось. Что же произошло?

Ответ: Все дело в том, что наследники с самого начала не заметили: завещанные им доли в сумме составляют не 100% наследства (как это бывает обычно), а всего 17/18 от общего количества. Так что даже если бы они решились, во имя буквального исполнения воли завещателя, резать верблюдов на части, то и тогда у них осталась бы лишней 1/18 доля наследства, т. е. 17/18 верблюда.

6) <<Скидка на сапоги>> Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар - продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой - без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12 с половиной талеров.

Когда мальчик пришел домой и рассказал все отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле - каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера. Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашел инвалидов и отдал им оставшиеся деньги - каждому по одному талеру.

Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал все отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в темный чулан.

Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: 12,5−1=11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 11,5+11,5=23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23+3=26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Ответ: инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода - тогда остался бы <<чистый>> доход, т. е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

7) <<Крестьянин и черт>> Идет крестьянин и плачет: <<Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот и в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает, что на всякие свои деньги они еще деньги получают! Право, хоть бы кто помочь мне захотел>>.

Только успел это сказать, глядь, а перед ним черт стоит.

- Что ж, - говорит, - если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?

- Вижу! - говорит крестьянин, а сам заробел.

- Ну, так стоит тебе только перейти через мост - у тебя будет вдвое больше денег, чем есть. Перейдешь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до этого перехода.

- Ой ли? - говорит крестьянин.

- Верное слово! - уверяет черт. - Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.

- Ну, что же, это не беда! - говорит крестьянин. - Раз деньги все будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!

Прошел он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки черту и перешел через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим. Отсчитал он 24 копейки, отдал черту и перешел через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровно 24 копейки - те самые, которые по уговору он должен был отдать черту. Отдал он их и остался без копейки. Сколько же у крестьянина было денег вначале?

Ответ: 21 копейка.

8) <<Недоумение крестьянок>> Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока. У каждой в корзине было 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться да не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща. Они рассуждали так: <<Если я продаю пару яблок за копейку, а ты - три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!>>. Сказано - сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.

Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, т. е. на копейку больше, чем думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась лишняя копейка и кому из них следует ее получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?

И в самом деле, как это вышло?

Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие торговки, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку. У них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была выручить 15 копеек, а вторая - 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаешь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.

Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые пять штук, и вдруг. оказалось, что они выручили всего 24 копейки! Не хватило целой копейки. Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придется этой копейкой поплатиться?

Ответ: В обоих случаях крестьянки продавали яблоки не по старым ценам, а по новым, рассчитанным неверно. Вы можете вместе с учениками рассчитать, по каким именно ценам нужно было продавать, чтобы получилась ожидаемая выручка. Заодно на примере этих задачек можно продемонстрировать, что способов решения обычно несколько.

Как бы то ни было, задачи есть задачи, и их нужно решать. Но детям, как правило, куда больше нравятся слова <<игра>> и <<фокус>>. Что ж, предложите своим ученикам сыграть с вами в математические игры-фокусы.

9) <<Сумма цифр задуманного числа>> Предложите своим ученикам каждому задумать какое-нибудь трехзначное число, запись которого не содержит одинаковых цифр. Пусть затем, беря цифры задуманного числа по две, каждый составит всевозможные двузначные числа (таких чисел будет 6) и вычислит сумму всех этих чисел. Спросите у любого ученика, какая сумма получилась. Разделите ее на 22, и вы найдете сумму цифр задуманного учеником числа.

Пусть, например, ученик задумал число 145. Сумма всех двузначных чисел для этого числа будет равна 14+15+45+41+51+54 = 220. Если вы разделите эту сумму на 22, то действительно получите 10 - сумму цифр задуманного числа.

После игры предложите ученикам объяснить способ <<отгадывания>>. Можно задать им это на дом. А когда они узнают, в чем тут дело, смогут играть так со своими друзьями.

10) <<Семь карточек>> Приготовьте семь карточек. На первой из них напишите все числа, начиная от 1 до 100, через одно число, т. е. 1, 3, 5, 7, 9,. , 99.

На второй карточке напишите числа: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19,. , 98, 99.

На третьей: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28,. , 92, 93, 94, 95.

На четвертой: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27,. , 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95.

На пятой сначала напишите 16 последовательных натуральных чисел, начиная с 16. Следующие 16 последовательных чисел, начиная с 32, не записывайте. Затем запишите снова 16 чисел, начиная с 48, и т. д.

На шестой сначала запишите 32 последовательных натуральных числа, начиная с 32, следующие 32 числа не записывайте и наконец припишите следующие числа с 96 до 100.

На последующей карточке запишите все натуральные числа, начиная с 64 до 100.

Давайте ученикам по очереди приготовленные таким образом карточки. Пусть ученик задумает какое-либо число от 1 до 100 и выберет карточки, на которых это число записано. Только взглянув на эти карточки, вы можете угадать задуманное число. Для этого нужно найти сумму первых чисел, записанных на выбранных карточках. (Числа на карточках можно располагать в произвольном порядке, только нужно запомнить, какие места занимают первые числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64).

Вы можете также предложить ученикам самим сыграть в игры, разбившись на пары.

11) <<До ста>> Играют двое. Первый участник игры называет произвольное целое число, не превышающее десяти, т. е. от 1 до 10. Второй игрок прибавляет к названному числу свое целое число, тоже не превышающее десяти, и сообщает ему сумму. К этой сумме первый прибавляет какое-либо целое число, опять-таки не превышающее десяти, и сообщает новую сумму. К новой сумме второй прибавляет число и т. д. - до тех пор, пока окончательной суммой не окажется 100. Выигрывает тот, кто первым назовет 100.

12) <<Четное число спичек>> Из 27 спичек, лежащих на столе, двое играющих поочередно отнимают не менее одной и не более четырех спичек. Выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек. (Вы можете использовать вместо спичек счетные палочки или любые другие предметы).

После увеселительных мероприятий можно предложить ученикам и олимпиадные занимательные задачки. Например, устройте конкурс, разбив класс на команды. Каждый игрок команды, решившей максимальное число задачек за урок, получает отличную оценку! Конечно, уровень сложности будет зависеть от класса, но мы приведем несколько примеров для разных возрастов.

13) <<Мальчики и девочки>> Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: <<Это число 9>>. Роман: <<Это простое число>>.

Катя: <<Это четное число>>. А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если из девочек одна ошиблась, вторая - нет, и из мальчиков тоже ошибся только один.

Ответ: 2

Объяснение: предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15, и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи. Значит, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четное (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.

14) <<Два пастуха>> Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: <<Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!>>. А Петр ему отвечает: <<Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!>>. Сколько же было у каждого овец?

Ответ: 5 и 7.

15) <<Сколько карточек?>> На первый взгляд на рисунке 5 разных карточек, а на самом деле это не так. Сколько разных карточек на рисунке?

Ответ: 2.

Из первой карточки получается карточка № 2 (поворотом на 180 градусов). А вот оставшиеся 3 карточки (3, 4, 5) - одинаковы: четвертая карточка получается из третьей, поворотом влево на 90 градусов, а пятая - из третьей, поворотом вправо на 90 градусов.

16) <<Гулливер и лилипуты>> Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все вещи ровно в 12 раз меньше, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный коробок Гулливера?

Ответ: 1728.

В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 лилипутских коробков в ширину, 12 - в длину и 12 - в высоту. Всего 12x12x12=1728 коробков.

17) <<Отсчитанные конверты>> Один киоскёр получил для продажи несколько пачек конвертов, по 100 конвертов в каждой. 10 конвертов он отсчитывает за 10 секунд. За сколько секунд он может отсчитать 60 конвертов? А 90?

Ответ: 40 и 10.

Киоскёр сообразил, что, имея пачку в 100 конвертов, можно не отсчитывать 60 конвертов, а отсчитать только 40, - тогда в пачке останется 60 конвертов. То же и с 90 конвертами: достаточно убрать 10 конвертов из пачки.

Надеюсь, задачи вам понравились и вы с удовольствием будете их решать как на уроках математики, так и дома в свободное время.