Культура  ->  Изобразительные искусства  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Линейная функция

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y- зависимой переменной. Значение y, соответствующее данному значению x, называется значением функции. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает функции (при x, принадлежащих ее области определения) образуют область значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Определение: линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Из курса геометрии нам известно, что через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Например, построить график функции y=-0,5x-2

y -2 -3

Рассмотрим взаимное расположение графиков линейных функций.

Пусть даны две линейные функции y=k1x+b1 и y=k2x+b2. Их графиками являются прямые. Прямые пересекаются, если k1≠ k2. Если k1= k2, то прямые параллельны. Последний случай можно разбить на два: k1= k2 и b1=b2, то прямые совпадают; если k1= k2 и b1≠b2 , то прямые параллельны и не совпадают.

Частные случаи линейной функции:

А) Если b=0, то линейная функция принимает вид y=kx.

Определение: прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать функцией вида y=kx, где x- независимая переменная, k≠0.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Если k›0, то прямая располагается в I и III координатных четвертях, если k‹0, то прямая расположена во II и IV четвертях.

В частности, если k=1, т. е. y=x, прямая является биссектрисой I и III четверти; если k=-1, т. е. y=-x, прямая является биссектрисой II и IV четверти.

Число k называется условным коэффициентом прямой.

Б) Если k=0, то линейная функция принимает вид y=b. Графиком функции является прямая, параллельная оси ОХ и отстоящая от нее на расстояние b.

В) Уравнение x=a выражает прямую, параллельную оси OY, т. к. это равенство имеет место при любом значении y.

Г) Уравнение y=0 выражает ось OX, т. к. оно удовлетворяется для любой точки оси OX. Уравнение x=0 выражает ось OY.

Выполним следующие задания:

Задание 1: по графику линейной функции восстановим формулу этой линейной функции.

Формула этой линейной функции y=kx+b. Определим значение b. Это отрезок, отсекаемый данной прямой на оси OY, следовательно, b=-1. Формула принимает вид y=kx-1. Далее подставим под формулу координаты точки A(1;0) или любой другой точки, принадлежащей этому графику.

0=k∙1-1 k=1.

Следовательно, линейная функция, график которой изображен на рисунке, задается формулой y=x-1.

Задание 2. Построить график функции y=‌‌x.

По определению модуля =

Следовательно, при x*0 графиком данной функции является биссектриса I координатной четверти, а при x*0- биссектриса II координатной четверти.

Задание 3.

Построить график функции y=-x.

График тот же, что и для функции y=x, т. к. =.

Задание 4.

Построить график функции y=-x.

Здесь y≤0, значит, график расположен только в нижней полуплоскости. График симметричен графику функции y=x относительно оси абсцисс.

Задание 5.

Область определения функции: х0.

Поэтому на рисунке нулевая точка выделена кружком.

При х > 0 график представляет собой полупрямую, уравнение которой y=, или y=-1.

При х < 0 график представляет собой полупрямую, уравнение которой y==1.

Таковы же графики функций: y=; y=.

Задание 6.

Область определения функции: х 0, так как-число неотрицательное.

График симметричен относительно оси ОХ, так как =.

При y 0 имеем полупрямую y=x; при y 0 – полупрямую, ей симметричную относительно оси ОХ.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)