Кривые второго прядка

Линия — один из основных геометрических образов. Термин «линия» происходит от латинского слова linum (линум), означающего буквально «лён», «льняная нить»; «линия», «черта».

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности). Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

В школьном курсе математики больше внимания уделяется линиям первого порядка (т. е. прямым), чем линиям второго порядка. На уроках математики рассматриваются основные свойства функций: квадратичной, степенной, графиками которых являются парабола и гипербола. При изучении соответствующих тем рассматриваются свойства функций и как ведет себя график функции и не выделяются свойства кривых: асимптоты, фокусы и фокальные расстояния, директрисы. На уроках геометрии изучается окружность, её уравнение.

В своей работе я рассматривала свойства кривых второго порядка, которые не изучаются в школьном курсе алгебры, рассмотрела эллипс – кривую второго порядка, которая не изучается на уроках алгебры и геометрии, рассмотрела некоторые кривые третьего порядка- в этом и состоит актуальность работы.

Цели работы состоит в изучении свойств кривых второго порядка, способы их построения с помощью специализированных приложений, подбор упражнений по кривым второго порядка – что позволит составить методическое пособие для элективного курса по математике.

Данные цели достигались через решение следующих задач :

1. изучение литературы по данной теме;

2. рассмотрение свойств кривых второго порядка;

3. способы построения кривых второго порядка в различных приложениях;

4. исследование кривых по графика;

5. подбор упражнений для элективного курса.

При написании работы использовалась следующая литература: Л. С. Атанасян «Геометрия», А. В. Акопян, А. А. Заславский «Геометрические свойства кривых второго порядка», Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике» откуда взяты основные свойства кривых второго порядка, Толковый математический словарь. Основные термины, математическая энциклопедия - основные понятия, их определение, А. А. Гусак «Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справочное пособие к решению задач», В. П. Минорский «Сборник задач по высшей математике» - использовались для подбора упражнений.

Кривые второго порядка.

Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второго порядка: Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Еy+F=0. Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

1. при А = С, данное уравнение задает окружность;

2. при А*С>0 – эллипс;

3. при А*С<0 – гиперболу;

4. при А*С = 0 – параболу.

К кривым второго порядка относят эллипс, окружность, параболу, гиперболу.

Определить вид кривой второго порядка, заданного уравнением 4х2+5у2+20х-30у+10=0.

1. Определим тип кривой второго порядка: АС (А =4; С =5); А*С = 20>0, следовательно уравнение будет задавать эллипс.

2. Выделим полный квадрат в уравнении по переменной х и у: (4х2+20х+25)+(5у2-30у) – 25 + 10 = 0,

4(х2+5х + ) + 5(у2 – 6у + 9) -25 – 45 + 10=0,

4(х + )2 + 5(у - 3)2 = 60.

3. Разделим обе части уравнения на 60, т. е. приведем уравнение к каноническому виду:.

4. получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке О() и полуосями а = и b =

Вторая классификация кривых второго порядка:

Если левая часть уравнения Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Еy+F=0 разлагается на 2 множителя первой степени, то кривая является объединением 2-х прямых. В этом случае она называется выраженной, например, х2 + у2 = 0 – содержит ровно одну действительную точку. В курсе аналитической геометрии показано, что для любой невыраженной кривой существует система координат, в которой её уравнение имеет более простой вид. Покажем это. Совершим поворот осей координат на угол , тогда х и у заменятся на хсоs - уsin и хsin - усоs. Подбирая значения можно добиться того, что коэффициент при х*у станет равным 0. Затем перенесем начало координат в точку (х0; у0) и заменим х на х + х0, а у на у + у0 и тогда подбирая (х0; у0) можно добиться того, что уравнение будет иметь один из следующих видов.

1. , аb>0 – эллипс с центром в начале координат, фокусами в точках () и дольшой и малой полуосями а и b. Если а = b, то получаем окружность.

2. , а >0, b>0 – гипербола, пересекающая свою действительную ось в 2-х точках, расстояние между которыми 2а. а – действительная полуось, b – мнимая полуось. - асимптоты, а точки () – фокусы. При а = b – гипербола является равносторонней.

3. у2 = 2рх, р>0 - парабола, ось её совпадает с осью абсцисс, фокус в точке (), уравнение директрисы х = -.

Кривая - мнимый эллипс и не содержит ни одной действительной точки.

Эллипс.

Эллипс является одним из примеров кривых второго порядка, который не изучается в школьном курсе математики.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F1 (фокусов) есть постоянная величина 2а, большая F1F.

F1F = 2c – фокусное расстояние.

Простейшее уравнение эллипса , эллипс заданный данным уравнением, симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Пусть а> b, тогда фокусы F и F1 находятся на оси ох на расстоянии с от центра. Координаты фокусов: F1(-с;0) и F(с;0). Расстояние между фокусами: F1F = 2с

Отношение <1 называется эксцентриситетом эллипса, где с – фокальное расстояние, а а – большая полуось.

Эксцентриситет равен нулю тогда и только тогда, когда с = 0, т. е когда эллипс является окружностью.

Расстояние от точки М(х;у) эллипса до его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами r = a - x, r1= a +x.

Если а< b, то фокусы находятся на оси оу, , r = b.

Если а=b, то эллипс является окружностью.

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от неё на расстоянии d =. уравнения директрис х = или х =.

Кривая называется мнимым эллипсом и не содержит ни одной действительной точки.

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

1. Уравнение эллипса содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х;у) принадлежит эллипсу. то ему принадлежат тоски (х; -у), (-х; у), (-х; -у). отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки (0;0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Предположим, что у = 0, находим две точки А1(а; 0) и А2(-а; 0), в которых ось Ох пересекает эллипс. Если х=0, то находим две точки пересечения эллипса с осью Оу: В1(0;b) и В2 (0; -b). Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса.

3. Из уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства и или -аха и -bxb. Следовательно все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми х =, у =.

4. В уравнении сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться.

Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Она состоит из 2 дуг, которые сколь угодно близко приближаются к двум прямым, называемым асимптотами гиперболы. Гипербола с перпендикулярными асимптотами называется равносторонней.

Расстояние между фокусами – фокальное расстояние, равно оно 2с.

Точка М – точка гиперболы, отрезки F1М и F2М называются фокальными радиусами точки М.

Пусть М(x;y) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы МF1 – MF2 = 2a или МF1 – MF2 = 2a, т. е. Возведя его в квадрат и выполнив преобразования, получим каноническое уравнение гиперболы , где b2 = с2 – а2.

Исследование формы гиперболы по его уравнению.

Уравнение содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы. Ось симметрии, проходящая через фокусы (ось Ох) – называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная ей ось, проходящая через центр (ось Оу) – вторая или мнимая ось симметрии. Мнимая ось симметрии не пересекает гиперболу.

1. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Пусть у = 0 в уравнении , находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: А1(а;0) и А2 (-а;0) – вершины гиперболы. Пусть х = 0 в уравнении , получаем у2 = -b2, чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.  

Отрезок А1А2 = 2а - действительная ось гиперболы, а отрезки ОА1=ОА2 =а – действительные полуоси гиперболы. Отрезок В1В2 = 2b – мнимая ось, а число b – мнимая полуось.

3. Из уравнения следует, что уменьшаемое  не меньше единицы, т. е. что или xa. Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения гиперболы видно, что когда x возрастает, то и y возрастает. Это следует из того, что разность  сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола - это кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей.

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К. Покажем, что гипербола  имеет две асимптоты: у = и у =

   Так как эти прямые и гипербола симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой у =   точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка М(х; у) на гиперболе у = , и найдем длину отрезка MN = y1 – y2, между ординатами прямой и ветви гиперболы:

MN = = === =.

 По мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель — есть постоянная величина. Следовательно, длина отрезка MN стремится к нулю, т. е. точка М неограниченно приближается к асимптоте.

Итак, прямые у =    являются асимптотами гиперболы.

Если полуоси гиперболы равны (а = b), то гипербола называется равносторонней. Её уравнение следующее: х2 – у2 = а2. Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения y = x и y= -x и являются биссектрисами координатных углов.

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид у =. В школьном курсе рассматривается равносторонняя гипербола.

Эксцентриситетом гиперболы называется число (отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы). Так как с>а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы:> 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Из формулы b2 = c2 – a2, следует , т. е. Чем больше эксцентриситет, тем больше гипербола «вытянута» вдоль своей мнимой оси.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен. (т. к. b = a, то 2 = 2).

Фокальные радиусы r1 =  и  r2 = для точек правой ветви гиперболы имеют вид r1= x + a и r2= x - a, а для левой -r1= -(x + a) и r2= -(x – a).

Прямые х =   называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы >1, то. Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Ох. На рисунке она изображена пунктиром.

  Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Директрисы гиперболы – это прямые, перпендикулярные к действительной оси и расположенные на расстоянии d = от центра гиперболы.

Парабола

В школьном курсе математики изучается квадратичная функция и её график, вводится понятие параболы, вершины параболы и рассматриваются её свойства ( промежутки возрастания и убывания, симметричность, наименьшее и наибольшее значение функции)

В работе мною рассмотрено каноническое уравнение параболы, основные свойства параболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через р (р>0). Для вывода уравнения параболы выберем прямоугольную систему координат, так чтобы ось Ох проходила через фокус перпендикулярно директрисе, а начало координат точку О расположим между фокусом и директрисой. Тогда F будет иметь координаты (), а уравнение директрисы х = -. Пусть точка М(х;у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Отрезок FМ = r называется фокальным радиусом точки М. Проведем отрезок МN перпендикулярно директрисе. По определению параболы МF = МN.

МF = , МN=, т. к. N(-;у)

Следовательно, =. Возведем в квадрат обе части уравнения, получим: х2- рх ++ у2 = х2 + рх+, т. е. у2 = 2рх – уравнение параболы.

Исследование параболы по её уравнению.

Так как р>0, то из уравнения параболы следует, что х0. следовательно парабола располагается справа от оси Оу.

Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то и точка М1(х; -у) так же принадлежит параболе. Прямая ОF (ось Ох) является осью симметрии параболы. Ось симметрии параболы – это прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе.

Оси выбранной системы координат имеют только одно общую точку с параболой – её вершину. При х = 0 имеем у = 0. следовательно, парабола проходит через начало координат. Точка О (0;0) – вершина параболы.

Докажем, что любая прямая l, проходящая через точку О, пересекает параболу в двух точках. Пусть прямая l имеет уравнение у= kx. Подставим значение у в уравнение параболы. (kx)2 =2рх. При k 0 прямая l имеет две общие точки с параболой: О(0;0) и М(), т. к. k2x2 - 2рх = 0 или (k2x - 2р )х = 0, следовательно х = 0 и х =.

При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает.

Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы. Их рисунки изображены ниже.

у2 = —2рх х2 = 2ру х2 = -2ру

Парабола не имеет асимптот.

Окружность

Понятие окружности рассматривается в школьном курсе геометрии. Окружность – простейшая кривая второго порядка. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М = R. Пусть М0 (х0;у0) и М(х;у) – произвольная точка окружности. Из определения окружности М0М = R. Получаем уравнение , т. е. R2 = (х – х0)2 + (у – у0)2.

Данному уравнению удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) данной окружности и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на окружности.

Если х0 = 0 и у0 = 0, то получим уравнение окружности с центром в начале координат х2 + у2 = R2

Кривые третьего порядка.

Отличительная особенность этих более сложных кривых линий состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Кривые линии третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии (кривые третьего порядка).

К линиям третьего порядка относят: Декартов лист, локон Аньези, кубическая парабола, полукубическая парабола, строфоида, циссоида Диоклеса.

В работе рассмотрены кубическая парабола и Декартов лист.

Кубическую параболу изучают в школьном курсе математики (у = х3). Куби́ческая фу́нкция в математике— это числовая функция вида f(x) = ax3 + bx2 + cx +d, xR и а0. Другими словами кубическая функция — это многочлен третьей степени.

Аналитические свойства.

Производная кубической функции f(x) = ax3 + bx2 + cx + d имеет вид f'(x) = 3ax2 + 2bx + c. В случае, когда дискриминант D = b2 − 4ac квадратного уравнения f1 (x) = 0 больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции f. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной f'' определяет точку перегиба x = − b / 3a.

Кроме того, кубическая парабола:

• центрально-симметрична, относительно точки перегиба,

• всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,

• не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.

Некоторые свойства:

1. Если х = 0, то у = 0, т. е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т. е. кубическая парабола лежит в первой и третьей координатном четвертях.

3. Множеством значений функции y=x3 является вся числовая прямая.

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т. е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция y=x3 - нечетная).

5. Функция y=x3 возрастающая в области определения.

Декартов лист.

Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид х3 + у3 - 3аху = 0. Коэффициент 3a выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что ОА = , а диагональю такого квадрата будет AE=3a. Параметрическое уравнение х = ; у =. А уравнение Декартова листа в полярной системе координат: р =

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у = х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем Заху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке А ()

(Действительно 2х3 = 3ах2 , 2х = 3а, х= аналогично для у)

Найтем асимптоту у =kx + b. Заменяя в уравнении кривой у на kx + b, приравняем к нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями при х: х3+( kx + b)3-3ах(kx + b)=0, х3 + k3x3 + 3k2x2b +3kxb2 + b3 - 3akx2 -3abx =0, х3 + k3x3 = х3(1+k3), 3k2x2b - 3akx2 = х2(3k2b - 3ak). Получим 1+k3 = 0 и 3k2b - 3ak = 0, откуда k = -1 и b = -а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту у = - х - а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Декарт исследовал впервые это уравнение в 1638 году, однако, построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения.

Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных углах, в виде четырёх лепестков цветка.

В то время эта кривая называлась цветком жасмина.

В современном виде, кривую - Декартов лист, впервые представил Гюйгенс в 1692 году.

Практическая часть.

В работе я рассматривала специальные приложения для построения графиков функций: Еxcel, Advanced Grapher, Graphsight, Flatgraph, Master Function, Graphics и сравнила, где проще строить графики всех функций, рассмотрела как изменяются графики функций в зависимости от изменения параметра, входящего в функцию.

Еxcel достаточно сложное построение, т. к. необходимо вводить значение переменных х и у, затем подбирать вид графика, чтобы было наглядно. Это достаточно трудоемкая работа.

На рисунках показано, как ведет себя парабола при изменении параметра р.

Advanced Grapher в данном приложении были построены все кривые, которые упомянуты в работе. Для построения эллипса использовалось параметрическое уравнение: х = acos(t), y=bsin(t). Если изменять параметр при координате х, то эллипс растягивается вдоль оси абсцисс. При изменении параметра при координате у, то эллипс растягивается вдоль оси ординат.

Графики парабол построены в двух вариантах: у2 = —2рх, х2 = 2ру.

Приведены графика парабол при различных значениях р.

Кубическая парабола: тоже достаточна проста при построении в данном приложении, рассмотрены различные виды кубических парабол, в зависимости от параметра р. Если р имеет положительное значение, то параболы располагаются в I и III четвертях. При отрицательном значении р, парабола лежит во II и IV четвертях.

Окружность в данной программе построена с помощью уравнения в полярных координатах R(a) = 5 (задан радиус окружности) и с помощью параметрических уравнений х = acos(t), y=asin(t).

Декартов лист: график задан с помощью параметрических уравнений, построена асимптота декартового листа.

Graphsight

Параболы: окружность: задана в полярной системе координат.

Эллипс: уравнение задано параметрически.

Гипербола. Графики построены при различных значениях переменной р. (2, 1 , -2)

Flatgraph

Парабола: вид параболы у = р*х^2, зависит от значения р. Чем больше положительное значение р, тем парабола уже. Если р <0, то парабола располагается ниже оси Ох.

Можно построить график квадратичной функции. Например, у = x2 -4x+2

Гипербола расположение графика зависит от р. Если р>0, то график расположен в 1 и III четвертях, при р<0 график лежит во II и IV четвертях.

Эллипс задается параметрическим способом: х=a*cos(t) и y = b*sin(t). На первом рисунке значения а и b фиксированные. Можно задать уравнения в общем виде, изменяя параметры, можно проследить, как изменяется эллипс. Пример, на втором рисунке.

Построение Декартового листа возможно если уравнение задано параметрически. Например, х = , у =. Построим Декартов лист при а = 2. получает движущуюся точку, которая описывает лист.

Graphics: данная программа позволяет строить графики функций, которые в ней предусмотрены, вводя только значения коэффициентов, что ускоряет процесс построения (экономия времени).

Данная программа содержит теоретический материал по функциям, схему исследования функции, тест по теории, в разделе «дополнительно» содержатся основные формулы по алгебре, тригонометрии. Данная программа является своего рода электронным учебником. Однако в ней нельзя строить функции заданные параметрически.

Задачи на кривые второго порядка.

1. Построить окружности: а) х2 +у2-4х+6у-3=0; б) х2 +у2-8х=0; в) х2 +у2+4у=0.

2. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-1;3), В(0; 2), С (1; -1).

3. Даны точки А(-3; 0) и В(3; 6). Написать уравнение окружности диаметром, которой служит отрезок АВ.

4. Написать уравнение окружности проходящей через начало координат и через точки пересечения прямой х + у + а = 0 с окружностью х2 + у2 = а2.

5. Найти координаты центра и радиус окружности 3х2 + 3у2 - 4х + 9у + 4 = 0.

6. Построить эллипс х2 + 4у2 = 16. Найти его фокусы и эксцентриситет.

7. Найдите общие точки эллипса х2 + 4у2 = 4 и окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.

8. Абсциссы точек окружности х2 + у2 = 4 увеличены вдвое. Определить полученную кривую.

9. Построить гиперболу х2 – 4у2 = 16 и её асимптоты. Найти фокусы и эксцентриситет.

10. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что 1) расстояние между фокусами 2с = 10, а между вершинами 2а = 8; 2) вещественная полуось а = 2, а эксцентриситет =.

11. Построить гиперболу у2 = а2 + х2. Найти координаты её фокусов.

12. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из её вершин до фокусов равны 9 и 1.

13. Написать уравнение гиперболы асимптоты которой у = , а директрисы х =.

14. Найдите длины осей, координаты фокусов и эксцентриситеты гипербол, заданных уравнением 1) 144х2 – 25у2 = 3600; 2) 9у2 - 16х2= 144.

15. Построить параболы: у = (х -2)2 и у = х2 – 4х +5.

16. Построить параболы у = 4х-х2 и 2у = 3 + 2х –х2. найти их точки пересечения с осью Ох.

17. Написать уравнение параболы, зная, что парабола симметрична относительно оси Ох и проходит через точку М(-3; 6) и начало координат.

18. Найдите касательные к параболе х2 = 4у, проходящей через точку М (0; -1).

19. Установить вид кривой второго порядка, заданного уравнением х2 + 10х -2у +11 = 0.

20. Установить вид кривой второго порядка, заданного уравнением

4х2 – у2 + 8х -8у -12 = 0.

Заключение.

В работе рассмотрены линии второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола) и некоторые линии третьего порядка (кубическая парабола, Декартов лист). В работе изучены свойства данных кривых (которые не изучаются в школьном курсе математики), даны определения асимптот, директрис, эксцентриситета кривых, разобран алгоритм определения вида кривой, записанной уравнением в общем виде.

Рассмотрены приложения, в которых возможно построение данных линий: Еxcel, Advanced Grapher, Graphsight, Flatgraph, Master Function, Graphics. Самое трудоемкое построение кривых оказалось в программе Еxcel, т. к. необходимо построить таблицу значений, выбрать вид графика, что занимает достаточное количество времени.

Наиболее удобная программа для уроков математики Graphics, т. к. она позволяет только вводя коэффициенты строить кривые, однако в данном приложении невозможно построить более сложные функции (заданные параметрическим способом).

Приложения Advanced Grapher, Graphsight, Flatgraph позволяют строить не только обычные функции, но и функции заданные параметрически.

При построении кривых рассматривались их свойства в зависимости от значений коэффициентов, входящих в них.

В работе приведены задания на кривые второго порядка, которые могут быть использованы на элективных курсах по математике.

Таким образом, поставленные цели и задачи в процессе работы были достигнуты.