Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

Начиная с конца 50-х годов, на вступительных экзаменах по математике в Московский государственный университет появились задачи нового класса, называемые задачами с параметрами. К ним относятся задачи на решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих параметры.

За несколько лет популярность этих задач возросла, и они вошли в практику вступительных экзаменов большинства вузов Советского Союза, а с 2000 года задачи с параметрами стали неотъемлемой частью ЕГЭ по математике.

Не только сложность и оригинальность задач с параметрами как учебных привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Очень важно и то, что в таких задачах в полной мере реализуется принцип научности образования, т. к. методы решения задач с параметрами находят широкое применение в современной математике, как в теоретических ее разделах, так и в математическом моделировании.

Мы рассмотрим в работе один из наиболее общих методов решения задач такого типа – коотдинатно-параметрический, и решим с его помощью несколько задач ЕГЭ и равных им по сложности и рассмотрим несколько исследовательских задач с параметрами, относящихся к таким современным разделам математики как теория катастроф и нелинейная динамика.

Рассматриваемые задачи достаточно просты, не требуют для своего решения сложных топологических методов и их можно рассматривать как обобщение конкурсных задач с параметрами.

Решение таких задач на экзаменах можно считать первой ступенью к решению исследовательских научных проблем в математике и математическом моделировании.

Общие сведения о задачах с параметрами

Задачи с параметрами появляются в математике всякий раз, когда мы имеем дело с буквенными обозначениями чисел. Термин «параметр» от греческого слова отмеривающий. Так называют величины, значения которых служат для различения между собой элементов некоторого множества, класса или семейства. Например, каждое значение k определяет конкретное уравнение вида kx – 1 = 0, т. е. k – это параметр, различающий линейные уравнения указанного вида. Аналогично каждая пара значений величин p и q задает конкретное квадратное неравенство x2 + px +q ≤ 0. Наконец, каждая тройка значений величин a, b, r таких, что r > 0, задает вполне определенную функцию y = b +. Таким образом, p и q – параметры, различающие квадратные неравенства рассматриваемого вида, а a, b и r параметры, различающие функции данного вида.

Приведенные примеры показывают, в частности, что понятие параметра возникает уже тогда, когда мы начинаем оперировать с буквами как с числами. Математическая роль и сущность этого понятия раскрывается в задачах с параметрами, выделяющихся тем, что параметры в них легко распознаются или явно указаны и играют центральную роль в решении. Например, рассмотренная выше задача решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, действительно является задачей с параметрами, поскольку мы должны найти значения x в зависимости коэффициентов-параметров a, b, с и указать, когда эти значения существуют.

Уравнение с неизвестной или переменной x и параметром a – это равенство вида f (x, a) = g (x, a) (1), где f (x, a), g (x, a) – выражения, в запись которых вместе с числами и знаками операций входят буквы a и x. Корнем, или решением, уравнения (1) при данном значении a0 параметра a называется действительное число x0 такое, что f (x0, a0) = g (x0, a0) – верное числовое равенство. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1) называется совокупность тех и только тех значений неизвестной и параметра, при которых левая f (x, a) и правая g (x, a) части уравнения имеют смысл, т. е. могут быть вычислены.

С уравнением (1) можно связать две взаимно обратные задачи, которые мы назовем прямой и обратной.

Прямая задача: для каждого значения параметра a найти все корни уравнения (1) или, кратко решить уравнение (1).

Пример1:Решить уравнение x4 - 2x2 (a + 2) – 8x +a2 – 4 =0.

Решение:

Можно заметить, что рассматриваемое уравнение является квадратным относительно параметра. Поэтому возникает идея решить уравнение как квадратное, выражая параметр через неизвестную: перепишем уравнение в виде a2 – 2ax2 + (x4 – 4 (x + 1)2) = 0, откуда a1, 2 = x2 ± 2(x + 1). Таким образом, нам осталось решить два несложных квадратных уравнения с параметром: x2 + 2x + 2 – a = 0, x2 – 2x – (2 + a) = 0.

Обратная задача: найти все значения параметра a, при которых корни уравнения удовлетворяют данным условиям. Обратная задача обладает качественной новизной, не имея аналогов в области обычных уравнений. К тому же конкретные постановки обратной задачи отличаются большим разнообразием и зависят, в частности, от вида условий, налагаемых на корни.

Пример2:

Относительно одного и того же уравнения (a2 + a – 2)x = 4 можно поставить следующие обратные задачи: найти все значения параметра a, при которых указанное уравнение

← Не имеет корней.

← Равносильно уравнению (a + 2)x = 1.

← Имеет корни, лежащие на отрезке [0; 2].

Для любой задачи с параметром можно найти ее обычного, непараметрического предшественника. И наоборот, из любой задачи с числовыми данными и одной переменной легко получаются весьма разнообразные задачи с параметрами. Для этого проще всего одно или несколько числовых данных «заменить» буквой, т. е. , по существу, сделать еще одной переменной, или, как принято говорить, параметром.

Самый распространенный пример этой связи дают квадратные уравнения. Рассмотрим простейшую иллюстрацию последовательного усиления параметрической составляющей.

Пример3: а) Решить уравнение x2 – 6x + 8 = 0.

Решение:

По теореме Виета x = 2, x = 4.

б) Для всех значений параметра с решить уравнение x2 – 6x + с = 0.

Решение:

Т. к. D = 36 - 4c или = 9 – с, то при c > 9 дискриминант отрицателен и уравнение не имеет корней.

Если с = 9, то уравнение примет вид x2 – 6x + 9 = 0, (x – 3)2 = 0, x = 3.

Если c < 9, D > 0 и уравнение имеет два корня: 3 – и 3 +.

в) Найти все значения параметра с, при которых один из корней уравнения x2 – 6x + с = 0 равен 4.

Решение:

Из «б» следует, что с < 9. Т. к. 3 – < 3 < 4, то 3 + = 4, 9 – с = 1, с = 8.

г) Найти все значения параметра с, при которых корни уравнения x2 – 6x + с = 0 лежат по разные стороны от 4.

Решение:

Если подходить к решению этой задачи формально, то следует решить систему из трех неравенств

Однако ничего этого не нужно, если вспомнить, что график функции y = x2 – 6x + с – это парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс как раз в корнях уравнения x2 – 6x + с = 0 (рис. 1). Значит, корни имеются и лежат по разные стороны от 4 в том и только в том случае, если при x = 4 соответствующая точка параболы лежит ниже оси абсцисс, т. е. если y (4) < 0, 42 – 64 + с <0, с < 8.

Ответ: с (-∞; 8).

2. Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами

В МГУ был разработан координатно-параметрический метод (КП-метод) в сочетании с концепцией равносильности математических высказываний, реализованной в виде логической схемы замены иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств на равносильные им рациональные и алгебраические.

Такая замена на равносильные уравнения и неравенства особенно целесообразна в задачах с параметрами, т. к. в них трудно делать проверку на ОДЗ.

Метод решения задач с параметрами использующий КП-плоскось (плоскость с осями параметр – переменная), называется КП-методом.

КП-метод основан на определении множества всех точек КП-плоскости, значения координат x и параметра а, каждой (х, а) из которых удовлетворяет условию задачи.

По определенному множеству можно каждому допустимому значению параметра а = const сопоставить значение координат х таких точек этого множества, дающих искомое решение задачи и наоборот – каждому допустимому значению х подобрать соответствующее значение параметра а.

Для людей, у которых лучше развито левое полушарие мозга, координатно-параметрический метод более прост в понимании и применении, чем другие методы.

Для объяснения принципа решения параметрических задач данным способом, рассмотрим его на примере задач ЕГЭ, решаемых этим способом.

Задача 1(2004 г. )

Найти все значения а, при которых каждое решение неравенства (2. 1) удовлетворяет неравенству (2. 2).

Решение. Т. к. значение выражения всегда больше или равно нуля, то для того чтобы выполнялось неравенство (2. 2) нужно, чтобы было меньше или равно нуля. Тогда неравенство (2. 2) можно представить как систему неравенств:

A неравенство (2. 1) примет вид.

Построим графики соответствующих (2. 1) и (2. 2) функций в системе координат xOa (рис. 2. 1), и рассмотрим решения неравенств. Решением системы (2. 2) находится ниже прямых a = - 2x и x = 3. Решение уравнения (2. 1) – область внутри параболы a = - x2. Если объединить решения (2. 1) и (2. 2), то получим, что и.

Ответ: и.

Задача 2 (2004 г. )

Найти все значения параметра а, при которых множество решений неравенства

(2. 3) содержит число 6, а также два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Решение.

Проведем равносильные преобразования неравенства (2. 3):

Домножим выражение в первой скобке на :

Но если

Но в (0;5) ни один отрезок длиной 6 не входит. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны входить в интервал (5;а) (рис. 2. 2), т. е. при.

Ответ: при условие выполняется.

3. Теория катастроф

Одно из важных направлений современной математики – теорию катастроф и особенностей – можно рассматривать как обобщение конкурсных школьных задач с параметрами.

Первые сведения о теории катастроф появились в западной печати около 1970 года. В журналах сообщалось о перевороте в науке. Утверждалось, что новая наука – теория катастроф – для человечества важнее чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Появилось сотни научных и около научных публикаций, в которых теория катастроф применяется к самым разнообразным объектам.

В начале семидесятых годов теория катастроф быстро сделалась модной, широко рекламируемой теорией. Математические статьи основоположника теории Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии.

Теория катастроф – одна из современных наук в «нелинейной науке». Плюсы теории катастроф: упрочение единства современной математики и других наук, в частности физики. Минусы теории катастроф: приложения этой науки рассматривались без обоснования, что вызвало протест многих математиков.

Математическая теория катастроф подводит эффективную базу под описание качественных изменений в различных нелинейных моделях.

В теории катастроф для весьма широкого класса динамических систем приводится геометрическая классификация типов скачков – элементарных катастроф (катастрофа – резкое, скачкообразное изменение состояния системы при малом изменении ее параметров). Математическое описание катастроф дается теориями особенностей и бифуркаций.

Теория особенностей – это грандиозное обобщение исследования функций на максимум и минимум. В этой теории функции заменены отображениями, т. е. наборами нескольких функций нескольких переменных.

Слово «бифуркация» - означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

3. 1 Машина катастроф

Машина катастроф – это механическая система, обладающая потенциальной энергией. Рассмотрим теорию машины катастроф на примере «качалки» (рис. 2).

«Качалка» Постона представляет собой два соединенных параболических сегмента из фольги, к которым изнутри прикреплен магнит. При некотором положении магнита «качалка» устойчива. Магнит можно рассматривать как центр масс этой машины катастроф. Согласно условию равновесия, устойчиво то положение тела, при котором потенциальная энергия центра масс минимальна.

Рассмотрим рис. 3:

С (a; b) – центр масс «качалки»

L – касательная к «качалке» в точке М0 (t; t2) (линия поверхности, по которой катится «качалка»)

N – нормаль в точке М0 (t; t2)

Качалка находится в состоянии равновесия, когда Ер минимальна. Ер = mgh, где h – расстояние от центра масс до касательной L, h = d.

Уравнение L задается как уравнение прямой, проходящей через точку М0 (t; t2) в заданном направлении.

y = kx + b y – y0 = k(x – x0) (1) k = 2x0 = 2t

L: y – t2 = 2t(x – t) (1);

Найдем расстояние от точки C(a; b) до касательной L: d (С(a; b); L) = h. В уравнении (1) произведем замену {x = a, y = b} и подставим в формулу для нахождения расстояния от точки до прямой: d =.

Ер = mgh = mgd.

Ер′(t) = 0 – минимум Ер.

Ер′(t) = , b + t2 – 2at ≡ f(t) и ≡ g(t).

Тогда Ер′(t) = = ;

После некоторых преобразований получаем уравнение касательной L:

2t3 – (1 – 2b)t – a = 0.

Уравнение нормали также задается как уравнение прямой проходящей через данную точку М0 (t; t2) в заданном направлении, т. е. y – y0 = k(x – x0).

Подставим в уравнение (1) прямой L k = 2x0 = 2t

L: y – t2 = 2t(x – t) y – t2 = 2tx – 2t2

-2tx + y + t2 = 0.

Тогда N = {-2t; 1} - нормальный вектор прямой L.

N0 – орт вектора N.

N0 = = -t = k – коэффициент нормали.

Теперь подставим найденное значение коэффициента нормали в уравнение (1): y – t2 = (-t) (x – t).

Домножим каждый элемент левой части уравнения на 2t, получим:

= (-t) (x – t) = 0 = 0 (t ≠ 0) 2t3 – 2ty – x + t = 0 2t3 + t(1 – 2t) – x = 0;

Заменим {x = a, y = b}: 2t3 + t(1 – 2b) – a= 0 C(a; b) лежит на нормали, на нормали достигается минимум Ер.

3. 2 Поверхность катастроф и ее исследование

Рассмотрим уравнение U(t) = 2t3 + t(1 – 2b) – a= 0 как уравнение поверхности катастроф. В трехмерном пространстве с координатами (t; a; b) (рис. 4). Если ось t направлена вертикально, то t = t0 – горизонтальная плоскость, пересекающая плоскость катастроф по прямой t – t0 = 2 + t0(1 – 2b) – a = 0. Это нормаль к параболе b = a2 , лежащей в плоскости t = t0; нормаль берется в точке t = t0, a = t0,. Геометрически это означает, что поверхность катастроф получается из нормалей к параболе b = a2 в плоскости а, b, если нормаль взятую в точке (t0, t02), сдвинуть по вертикали на высоту t0. Будучи «развернуты» в t-направлении, нормали образуют поверхность (рис. 5).

Вертикальная плоскость b = b0 пересекает поверхность по кубической кривой 2t3 + t(1 – 2b0) – a = 0. Эта кривая является сечением поверхности катастроф плоскостью b = b0. Если рассмотреть a как функцию от t, то эта функция имеет максимум и минимум при b0 >. Таким образом, поверхность катастроф имеет «складку».

t1 = – точка максимума, t2 = - – точка минимума.

При данных a и b вертикаль, проходящая через точку (0, a, b), пересекает поверхность в точках (t, a, b), являющихся решениями уравнения U(t) = 0. Число решений зависит от (a, b) и равно 1, 2 или 3. Эти значения t отвечают критическим точкам потенциальной энергии Ер (t) и, значит, возможным положениям устойчивого равновесия «качалки».

Рассмотрим рисунок 6. Поверхность катастроф делит (t, a, b)-пространство на две области; в той, что расположена в основном «выше» поверхности U(t) > 0, в другой U(t) < 0. Минимумы функции Ер достигаются при тех значениях t, при которых функция U(t) меняет знак с минуса на плюс. Поэтому, когда уравнение U(t) = 0 имеет одно решение, это минимум; когда решений три, среднее из них – максимум, а остальные два – минимумы; когда решений два, то в одной из точек решений вертикальная прямая касается поверхности катастроф (поверхность имеет вертикальную касательную плоскость), причем это решение не является ни максимумом, ни минимумом (U(t), а, следовательно, и Ер′(t) не меняют знака), а второе решение представляет собой минимум. Внутренняя часть складки дает только максимумы.

Найдем множество B в (a, b)-плоскости, состоящее из точек, где имеется два решения, т. е. уравнение U(t) = 0 имеет кратный корень. Условие, что t – кратный корень, состоит в том, что U(t) = U′(t) = 0, т. е.

2t3 + t (1 – 2b) + a = 0* и 6t2 + (1 – 2b) = 0**, и исключение t дает

27a2 = 2 (2b – 1)3.

Заметим, что значения a = 0, b = играют особую роль: они дают трехкратный корень; действительно, в этом случае U(t) = t3 и 0 – корень кратности 3. Кривая B , заданная уравнением 27a2 = 2 (2b – 1)3 – это полукубическая парабола в (a, b)-плоскости, т. е. в пространстве управления (рис. 7).

Множество B, которое называется бифуркационным множеством (бифуркационное множество – граница, разделяющая области пространства управляющих параметров с качественно различным поведением изучаемой системы) функции Ер или дискриминантным множеством функции U, отделяет точки (a, b), дающие одно решение уравнения U(t) = 0, от точек, дающих три решения. Глядя на поверхность катастроф сверху (рис. 5, 6), мы «увидим» на этой поверхности кривую, похожую на B; это «видимый контур», вдоль которого «перегибается» поверхность.

Можно посмотреть на это и по-другому. Уравнение (*) представляет собой уравнение нормали к параболе b = a2 в точке (t, t2); когда t меняется, а a и b остаются фиксированными, мы получаем семейство всех нормалей к параболе. Исключение t из уравнений (*) и (**) равносильно отысканию огибающей этого семейства линий. , т. е. кривой, касающейся каждой линии этого семейства. Огибающая нормалей к кривой называется эволютой этой кривой, так что множество B есть эволюта параболы b = a2.

3. 3 Координатно-параметрический метод решения задачи

Найти все значения параметров (a, b) уравнения U(t) = 2t3 + t(1 – 2b) – a= 0 такие, при которых функция U(t) меняет знак. Функция U(t) непрерывна как функция параметров. Решив данное уравнение, мы найдем бифуркационное множество B, на котором находятся (a, b), которым соответствует по две точки на поверхности катастроф. Возможность отслеживать смену знака обусловлена непрерывностью функции. В области расположенной выше лежат (a, b), которым соответствует по 1 точке на поверхности катастроф (U(t)>0), ниже бифуркационного множества – три точки (U(t)<0). Таким образом, был использован принцип решения задач координатно-параметрическим путем, т. е. были найдены области, в которых функция U(t) меняет свой характер.

4. Уравнение x3 + px + q = 0

Рассмотрим уравнение x3 + px + q = 0. Оно задает на (p, q)-плоскости некоторое семейство прямых. Огибающая этого семейства прямых изображена на рисунке 8. Для кубического уравнения огибающая получается не гладкой кривой, а кривой с острием, или «клювом».

Пусть заданы значения p и q. Как указать, сколько решений имеет уравнение x3 + px + q = 0? Нужно провести через точку (p, q) касательные к огибающей; их число равно числу корней, а номера этих прямых равны корням. Следовательно, рисунок 8 – это машина для решения кубического уравнения.

Рисунок 9 показывает, как зависит число решений от положения точки (p, q). Видно, что в любом случае хотя бы одна касательная к огибающей найдется, поэтому кубическое уравнение имеет хотя бы один корень.

Окончательный итог исследования представлен на рисунке 10. На этом можно было бы поставить точку в исследовании кубического уравнения, если бы не одно обстоятельство: мы так и не знаем, каким уравнением задается кривая на рисунках 8-10.

Решения этого уравнения схожи с решениями уравнения, описывающего поверхность катастроф «качалки» Постана.

4. 1 Отступление о кратных корнях

Кривая, изображенная на рисунках 8-10, состоит из таких точек (p, q), что уравнение x3 + px + q = 0 имеет кратный корень. При каких же p и q это происходит?

Если число t – корень многочлена f(x), то f(x) делится на x-t. Если число t – кратный корень, то f(x) делится на (x-t)2. Например, 1 – кратный корень многочлена x3-3x+2=(x-1)2(x+2).

Запишем равенство f(x)=(x-t)2g(x) и вычислим производную:

Если в это равенство подставить x=t, то правая часть обратится в нуль. Значит,. Следовательно, число t является кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда t является общим корнем этого многочлена и его производной.

Применим признак кратного корня к многочлену x3 + px + q = 0. если число t – кратный корень, то t3 + pt + q =0 и 3t2 + p = 0. Выражая p из второго, а q – из первого уравнения, мы получим , (t – любое число). Эти уравнения задают огибающую на рисунках 8-10 параметрически: при изменении t от до точка (-3t2, 2t3) пробегает всю кривую с «клювом». Можно задать кривую одним уравнением. Для этого необходимо избавиться от t (возводя первое уравнение в куб, а второе в квадрат):

Это уравнение тоже задает нашу кривую с «клювом». Из уравнения видно, что q пропорционально p3/2. поэтому кривая называется полукубической параболой (если q~p3, то парабола кубическая; в нашем уравнении показатель степени в два раза меньше, поэтому парабола полукубическая).

Выражение называется дискриминантом кубического уравнения. От знака дискриминанта и зависит число корней уравнения.

5. Имитационная модель эксплуатируемой популяции с параметром

Задача о вырубке леса интересна с практической стороны. Главная проблема: необходимость производить вырубку так, чтобы популяция не вымерла.

То есть когда необходимо производить вырубку леса, чтобы в системе не происходило резких качественных изменений, т. е. катастрофических скачков, приводящих к гибели популяции?

Рассмотрим дискретную модель популяции вида

,(5. 1) где - разностное уравнение в котором - численность популяции на начало этого промежутка. Считаем, что , а сама функция (5. 2), где параметры и задают масштаб и характер поведения численности популяции соответственно. Например, это может быть численность деревьев хвойных или лиственных пород в заданном ареале.

Модель исследуется с целью выяснения оптимального способа эксплуатации этой популяции, т. е. определения объемов вырубки, которая не привела бы к вырождению популяции.

В последние годы во многих аналогичных задачах было показано, что жесткие модели оптимизации могут привести к полному уничтожению эксплуатируемых популяций. С одним из примеров такого уничтожения рыбных популяций мы познакомились в статье академика В. И. Арнольда, опубликованной в журнале «Квант» [1].

Из работ по нелинейной динамике [2] известно, что решения уравнения (5. 1) могут обладать сложной структурой: здесь имеются точки равновесия, циклы различной длины, режимы детерминированного «хаоса». Они повторяют свойства логической модели, заданной уравнением

,(5. 3) т. к. является моделью второго порядка, для которой в точке локального экстремума вторая производная отрицательна и она является единственной точкой максимума.

Возникает вопрос: уменьшает ли эксплуатация популяции разнообразие динамических режимов, существовавшее в неэксплуатируемой популяции? А может быть, не изменяет или даже увеличивает это разнообразие?

Рассмотрим две модели эксплуатации популяции.

Модель 1 – вырубка до размножения:

Модель 2 – вырубка после размножения:

Здесь – доля отбираемой биомассы (или численности), Т – фиксировано.

Очевидно, что обе эти модели заменой переменных сводятся к виду

,(5. 4)

, t = 1,. , T – 2,(5. 5)

. (5. 6)

Для модели 1 – , ; для модели 2 – ,. Функции. Относительно и будем предполагать, что:

1. , где a > 0 и, в частности, может быть ;

2. существует единственная точка x*, такая что x* и строго возрастает при x (0; x*), строго убывает при x (x*; a). x* есть точка максимума функции.

Большинство известных популяционных моделей при естественных ограничениях невырожденности популяций удовлетворяют этим условиям.

Индукцией вниз по t доказывается, что оптимальное решение в задаче (5. 4) – (5. 6) вычисляется по формулам , , t=1,. ,Т-2.

Применительно к моделям 1, 2 эти формулы означают, что лес не вырубается до тех пор, пока не будет достигнута точка x* максимального прироста численности. В этом случае в качестве урожая отбирается весь излишек численности сверх x*. Это означает, что численность популяции с момента начала вырубки становится стабильной (равной f(x*) для модели 1 и x* для модели 2), а в урожай вырубается. Количество вырубленного леса также становится стационарным. Этот результат аналогичен теореме о максимальном сборе урожая для непрерывных моделей.

Примеры расчетов динамики численности эксплуатируемой и неэксплуатируемой популяций для модели , в которой , а параметр меняется. Тип эксплуатации задается моделью 1. Кривая 1 на рис. 11 отражает динамику численности неэксплуатируемой популяции. В некоторый момент времени численность популяции достигнет максимума и пойдет на спад, и со временем исчезнет вообще. Кривые 2, 3 - динамику эксплуатируемой популяции, для моделей 1 и 2 соответственно. Из рисунка видно, что сбор урожая стабилизирует популяцию, не давая ей достигнуть максимума, но и не давая ей погибнуть. Кривая 4 – величина собираемого урожая (одинаковая для обеих моделей).

Таким образом, оптимальная эксплуатация стабилизирует динамику популяции, не позволяет перейти на сложные режимы, например, на детерминированный хаос. Процесс оптимальной вырубки стабилизирует ее численность и сам становится стационарным.

Программа на языке Паскаль находит при численности популяции на конец первого года при значение численности популяции при .

Последующие годовые приросты численности в неэксплуатируемой популяции в дальнейшем уменьшаются. В итоге происходит вырождение популяции в согласии с аналитической моделью (5. 2). Тогда как из кривых 2 и 3 соответствующих моделям сбора урожая 1 и 2 следует, что происходит стабилизация численности популяции, соответствующая оптимальному значению численности урожая N=4. 8152186980*103 .

При этом максимальное значение приращения популяции, равное max=4. 8152186980*103 достигается за 98 лет. Такая популяция является максимально продуктивно и одновременно с этим не исчезнет.

Заключение

Приведя решение конкурсных задач с параметрами – одних из самых сложных в ЕГЭ – и нескольких исследовательских задач с параметрами по существу общими методами стало ясно, что уже в школе можно более детально познакомиться с современными проблемами математики и математических моделей, которые можно применять в разных науках, например, в физике и биологии.

Приятно осознавать, что уже в школе можно реально представить чем можно заниматься ученому-исследователю, владеющему математикой и математическим моделированием.