Классификация квадратных уравнений

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Мною была выбрана тема «Решение квадратных уравнений», так как она актуальна в современном мире; это объясняется тем, что квадратные уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Историю решений, что каждый школьник должен знать, квадратных уравнений.

Квадратное уравнение - это фундамент, на котором построено огромное здание алгебры.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с квадратными уравнениями, решались ещё в Древнем Египте, Индии, Китае и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Необходимость решать уравнения второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Например, вавилоняне умели решать квадратные уравнения около 2000 лет до н. э. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Задачи на уравнения встречаются так же в Алгебраическом трактате арабского ученого аль-Хорезми, в нем так же даётся классификация квадратных уравнений.

3. Классификация квадратных уравнений.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида , где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а) Полные и неполные.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов:

1) , b=0, c=0

2) , b=0

3), c=0

Подчеркнем, что в этих уравнениях коэффициент a не равен нулю.

Способы решения неполных квадратных уравнений.

1)  если b = 0 и c = 0 , то уравнение принимает вид , значит , откуда x =0.  

2) если b = 0, то уравнение принимает вид , откуда x = , тогда ,.

3) если с = 0 , то уравнение принимает вид ,   вынесем x за скобки, получим ,  откуда-либо  x = 0, либо x =.

б) Приведенные и не приведенные.

Квадратные уравнения, в которых старший коэффициент равен 1, называются приведенными, в остальных случаях не приведенными.

Чтобы из не приведенного уравнения вида получить приведенное, необходимо разделить каждое слагаемое на первый коэффициент , получим приведенное квадратное уравнение

4. Формулы для решения квадратных уравнений.

Формуле решения квадратного уравнения мы обязаны греческому математику Герону (I или II век нашего летоисчисления).

Герон вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения :

Если умножить числитель и знаменатель на 2, то в итоге получатся всем нам известные формулы:

, где дискриминант.

Если D > 0, то имеются два различных корня, которые можно вычислить по следующим формулам

Если D = 0, то имеется единственный корень.

Если D < 0, то корней нет.

5. О формуле квадратных уравнений по теореме Виета.

На развитие алгебры в Европе повлияло учение восточных математиков. Вывод формул приведенного квадратного уравнения есть у Франсуа Виета.

Жил математик один.

Мог бы вельможей он стать.

Но он науку любил,

Что математикой звать.

Как уравненья решать,

Дискриминант не считать.

Можно, подумав чуть-чуть,

Корни его угадать.

Множество разных задач,

Уравнения мог он решать

Теорему он нам подарил

Теоремой Виета звать.

Теорема Виета.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член – буквой q:

Дискриминант этого уравнения D равен.

Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пусть квадратное уравнение имеет корни и.

Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Тогда по теореме Виета ,.

6. Решение уравнений.

1) Решение неполных квадратных уравнений.

а) Решить уравнение: 2х² – 7х = 0; х(2х – 7) = 0 х = 0 или 2х – 7=0, х = 0 или х = 3,5;

Ответ: х1 = 0, х2 = 3,5.

б) Решить уравнение: х² – 16 = 0; х² = 16.

Ответ: х1 = 4, х2 = – 4.

в) Решить уравнение: 5х² = 0; х² = 0; х = 0.

Ответ: х = 0.

2) Решение квадратных уравнений по формулам.

а) Решить уравнение: 7х² – 25х + 23 = 0.

а = 7, b = – 25, c = 23,

D = b² – 4ас=(– 25)² – 4·7·23 = 625 – 644= –19,

D < 0 => корней нет.

Ответ: корней нет.

б) Решить уравнение: 4х² – 20х + 25 = 0.

а = 4, b = – 20, c = 25,

D = b² – 4ас = (– 20)²– 4 ·4·25 = 400 – 400 = 0,

D=0 => один корень, он находится по формуле x =.

х = = 2,5.

Ответ: х = 2,5.

в) Решить уравнение: 3х² + 8х – 11 = 0.

а = 3, b = 8, c = – 11,

D = b² – 4ac = 8² – 4·3·(– 11) = 64 + 132 = 196.

D>0 => два корня,

Ответ: ,.

3) Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

а) Решить уравнение: х² + 5х + 6 = 0.

х1 + х2 = – 5, х1 ·х2 = 6.

х1 = – 2, х2 = – 3.

Ответ: х1 = – 2, х2 = – 3.

б) Решить уравнение: 2х² + 4х – 6 = 0.

х1 + х2 = – 2, х1 · х2= – 3.

х1 = 1, х2 = – 3.

Ответ: х1 = 1, х2 = – 3.

7. Итог.

Делая этот доклад, я открыла для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях. Например, я узнала о том, что ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это квадратные уравнения. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках без применения решения квадратных уравнений. Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.

В дальнейшем мне хотелось бы научиться решать квадратные уравнения более различными способами (графически, с помощью выделения квадрата двучлена) и использовать их при решении систем уравнений, при решении задач и различных приложениях в других областях.