Игры с числами и цифрами

Однажды во 2-ом классе на уроке математики нам продиктовали ряд цифр: 1, 2, 3, 4 и предложили составить из него все возможные суммы. У меня получились такие примеры:1+234=2354+123=127214+3=217

2+134=136432+1=43321+34=55

3+124=127321+4=32514+23=37и т. д.

От нечего делать я придумал себе игру: начал искать суммы цифр всех полученных ответов. Во всех случаях результат был один и тот же: получалось число 10.

Например, 2+3+5=10,4+3+3=10,3+7=10,5+5=10и т. д.

Дальше мне пришло в голову найти сумму исходных цифр (продиктованных учителем): 1+2+3+4=10.

Я заинтересовался этой закономерностью и стал ее проверять на больших числах.

Так у меня появилась цель исследования: Экспериментально доказать постоянство конечной суммы цифр ответов для всех возможных сумм, составленных из цифр, составляющих запись больших чисел, включая нули и повторяющиеся цифры.

Задачи исследования:

Исследовать суммы цифр, составляющих запись больших чисел.

Объяснить причину постоянства конечной суммы цифр ответов для всевозможных сумм, составленных из цифр, составляющих запись больших чисел.

Найти практическое применение моим расчетам.

Тема актуальна, так как предлагает посмотреть на математику по-новому: это не только примеры и задачи, но и интересные игры и фокусы.

2. 1. Исследование сумм цифр, составляющих запись четырехзначных и пятизначных чисел.

Я проверил замеченную мной закономерность на четырехзначных и пятизначных числах. Приведу примеры работы с двумя такими числами: 52963 и 12345.

• Число 52963

Сумма цифр, его составляющих равна: 5 + 2 + 9 + 6 + 3 + = 25, а 2 + 5 = 7.

Я начал составлять все возможные суммы цифр, составляющих число 52963 и сразу находить суммы цифр полученных ответов:

52 + 96 + 3 = 1511 + 5 + 1 = 7

369 + 52 = 4214 + 2 + 1 + = 7и т. д.

• Число 12345

Сумма цифр, его составляющих равна: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, а 1 + 5 = 6

Я начал составлять все возможные суммы цифр, составляющих число 12345 и сразу находить суммы цифр полученных ответов:

123 + 45 = 1681 + 6 + 8 = 151 + 5 = 6

1352 + 4 = 13561 + 3 + 5 + 6 = 151 + 5 = 6и т. д.

Я доказал, что замеченная мною закономерность «срабатывает» для четырехзначных и пятизначных чисел. (На самом деле я сделал намного больше вычислений, подтверждающих мой вывод, а в работе привел только некоторые из них. )

2. 2. Исследование сумм цифр, составляющих шестизначные числа.

Затем я проверил замеченную мной закономерность на 10 шестизначных числах.

Приведу результаты работы с двумя такими числами: 548769 и 269751.

• Число 548769

Как всегда, сначала я нашел сумму цифр, составляющих это число.

5 + 4 + 8 + 7 + 6 + 9 = 393 + 9 = 121 + 2 = 3.

Затем я опять начал составлять возможные суммы: 54 + 87 + 69 = 210, а 2 + 1 = 3

769 + 485 = 1254, а 1 + 2 + 5 + 4 = 12, а 1 + 2 = 3

Я составлял все возможные суммы из цифр, составляющих число 548769. Окончательная сумма цифр всех полученных ответов всегда равнялась 3.

• Число 269751

Сумма цифр, составляющих данное число: 2 + 6 + 9 + 7 + 5 + 1 = 30, 3 + 0 = 3

Некоторые из сумм цифр, составляющих это число и суммы цифр ответов:

961 + 257 = 12181 + 2 + 1 + 8 = 121 + 2 = 3

157 + 269 = 4264 + 2 + 6 = 121 + 2 = 3и т. д.

Вывод: я доказал, что замеченная мною закономерность «срабатывает» для четырехзначных, пятизначных и шестизначных чисел.

2. 3. Исследование сумм цифр, составляющих запись семизначных чисел.

Я проверил замеченную мной закономерность на 10 семизначных числах. Приведу результаты работы с двумя такими числами: 1234567 и 9786543.

• Число 1234567

Как всегда, сначала я нашел сумму цифр, составляющих это число.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 282 + 8 = 101 + 0 = 1

Затем я опять начал составлять возможные суммы:

76 + 54 + 32 + 1 = 1631 + 6 + 3 = 101 + 0 = 1

345712 + 6 = 3457183 + 4 + 5 + 7 + 1 + 8 = 282 + 8 = 101 + 0 = 1

• Число 9876543

Сумма цифр, составляющих это число: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 424 + 2 =6

Приведу некоторые из сумм, составленных из цифр этого числа и суммы цифр ответов:

9876 + 543 = 104191 + 0 + 4 + 1 + 9 = 151 + 5 = 6

9753 + 468 = 102211 + 0 + 2 + 2 + 1 = 6

Вывод: теперь я доказал, что замеченная мною закономерность «срабатывает» для четырехзначных, пятизначных, шестизначных и семизначных чисел.

2. 4. Исследование сумм цифр, составляющих запись восьмизначных и девятизначных чисел.

Я проверил замеченную мной закономерность на 10 восьмизначных числах и 10 девятизначных числах.

Приведу результаты работы с двумя такими числами: 12345678 и 978265143.

• Число 12345678

Сумма цифр числа: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 363 + 6 = 9

Некоторые из сумм, составленных из цифр этого числа и суммы цифр ответов:

1245 + 6378 = 76237 + 6 + 2 + 3 = 181 + 8 = 9

37 + 82 + 46 + 15 = 1801 + 8 + 0 = 9

• Число 978265143

Сумма цифр числа: 9 + 7 + 8 + 2 + 6 + 5 + 1 + 4 + 3 = 454 + 5 = 9

Некоторые из возможных сумм, составленных из цифр этого числа и суммы цифр ответов:

9782 + 65143 = 749257 + 4 + 9 + 2 + 5 = 272 + 7 = 9

341 + 562 + 879 = 17821 + 7 + 8 + 2 = 181 + 8 = 9

Вывод: замеченная мною закономерность «срабатывает» для четырехзначных, пятизначных, шестизначных, семизначных, восьмизначных и девятизначных чисел.

2. 5. Исследование сумм цифр чисел, в записи которых есть цифра 0 и повторяющиеся цифры.

Я проверил, сработает ли открытая мною закономерность для чисел, в запись которых входят цифры 0 и повторяющиеся цифры. Свое предположение я проверил на 10 таких числах. Приведу только 2 числа.

• Число 79805014

Сумма цифр числа: 7 + 9 + 8 + 0 + 5 + 0 + 1 + 4 = 343 + 4 = 7

Некоторые из сумм, составленных из цифр этого числа и суммы цифр ответов:

79 + 80 + 50 + 14 = 2232 + 2 + 3 = 7

7854 + 1009 = 88638 + 8 + 6 + 3 = 252 + 5 = 7

• Число 79797979

Сумма цифр числа: 7 + 9 + 7 + 9 + 7 + 9 + 7 + 9 = 646 + 4 = 101 + 0 = 1

Некоторые из сумм, составленных из цифр этого числа и суммы цифр ответов:

9797 + 7979 = 177761 + 7 + 7 + 7 + 6 = 282 + 8 = 101 + 0 = 1

97 + 79 + 97 + 79 = 3523 + 5 + 2 = 101 + 0 = 1

7977 + 7999 = 159761 + 5 + 9 + 7 + 6 = 282 + 8 = 101 + 0 = 1

Из проведенного мной исследования я могу сделать такой вывод:

Замеченная мною закономерность распространяется на любые числа.

2. 6. Практическое применение открытой мной закономерности

Мне стало интересно, а как использовать мое открытие на практике.

а)Еще работая над темой исследования, я понял, что знание открытой мной закономерности очень полезно на уроках математики. Теперь любой пример на сложение я проверяю не вычитанием, а при помощи «своего» закона.

Например,5896 + 4561 = 10457

5 + 8 + 9 + 6 = 282 + 8 = 101 + 0 = 1

4 + 5 + 6 + 1 = 161 + 6 = 7

1 + 0 + 4 + 5 + 7 = 171 + 7 = 8

Проверка:1 + 7 = 88 = 8

Пример решен верно.

А вот другой пример: 368 + 405 = 783

7 + 8 + 3 = 181 + 18 = 9

3 + 6 + 8 = 171 + 7 = 84 + 0 + 5 = 9

Проверка:8 + 9 = 171 + 7 = 88 = 9

Пример решен не верно. Нужно искать ошибку в вычислениях.

б)Это очень интересная игра. Я так увлекся замеченной мною закономерностью, что стал проверять ее на десятках номеров трамвайных билетов, номерах телефонов из справочника, номерах денег и т. д. (Что бы я ни делал, закономерность оставалась в силе. ) Теперь мне всегда есть чем заняться в поездках, очередях и просто если скучно.

в)Каждый покупатель при помощи открытой мной закономерности может быстро узнать, не обсчитали ли его. Для этого надо только, чтоб на всех ценниках штучного товара рядом с его ценой указывали сумму цифр его цены г) Я проверил закономерность на примерах из тетрадей моих одноклассников. Этот эксперимент тоже доказал правомерность моего открытия. Кроме того, я предложил учителю свой упрошенный способ проверки примеров на сложение.

Чтобы проверить, правильно ли решен пример, теперь достаточно найти сумму всех цифр слагаемых и сумму цифр найденного ответа. Если обе эти суммы равны, то пример решен правильно (приложениеII)

Кроме того, из статьи Тебляшкина я узнал, как быстро можно проверить примеры на деление любого числа на 9 (с остатком и без) .

Мне удалось обобщить весь наработанный мной материал и разработать методические рекомендации по быстрой проверке навыков ребят в делении с остатком и сложении столбиком. Эти рекомендации апробированы на моих одноклассниках. д)Основываясь на открытой мной закономерности, я придумал свой математический фокус. Приведу простейший его пример.

Перед вами ряд цифр: 1234.

Составьте из него любое двухзначное число.

Составьте теперь другое двухзначное число из оставшихся цифр. Сложите оба задуманных вами числа.

Сложите между собой все цифры полученного вами ответа. Если у вас вышло двузначное число, найдите сумму его цифр еще раз.

У вас получилось число 1? е)Я очень хочу понять, как можно использовать открытую мной закономерность в математике и что эта закономерность нам дает. Я обращался за помощью к знакомому студенту факультета прикладной математики одного госуниверситета. Знакомый ответил, что я пока ничего в его объяснении не пойму, т. к. знаний одной только арифметики для этого не достаточно. Он только сказал мне, что число, которое я каждый раз нахожу, называется инвариантом. Из «Иллюстрированного энциклопедического словаря я узнал: «Инвариант – это величина, не изменяющаяся при тех или иных преобразованиях» .

Кроме того, я отправил тезисы этой работы в журнал «Наука и жизнь». Они полностью были напечатаны в журнале «Наука и жизнь» № 3 за 2006 год. Я попросил объяснить мне суть замеченной мной закономерности.

Я получил интересные ответы. Так, математик из Великобритании И. Тебляшкии со страниц журнала «Наука и жизнь». № 6, ответил мне, что в основе открытой мной закономерности лежат основные свойства нумерологического числа. Я не очень понял его объяснение, но из «Справочника по элементарной математике» узнал о системах нумерации у разных народов, а из «Энциклопедии для девочек» узнал, что нумерологические числа применяются при составлении гороскопов.

Григорий Горденко, студент техникума космического приборостроения, в журнале «Наука и жизнь» № 9 пояснил мне, что замеченное мной свойство чисел можно применять в программировании.

III. Заключение

Что еще мне хочется сделать в своей работе? а)Я мечтаю создать программу, чтобы проверить это мое исследование при помощи компьютера. Я хочу, чтобы компьютер сам перебирал все возможные варианты сумм и вычислял их.

б)Я узнал, что игры и фокусы, подобные тем, что придумал я, придумывали еще математики Древней Греции десятки веков назад. Я хочу изучить математические игры древних греков.

Задачи, которые я поставил вначале своего исследования, я решил. Мне пришлось исследовать различные суммы цифр, находить суммы цифр полученных ответов. Тезисы моего исследования были напечатаны в журнале «Наука и жизнь» и вызвали интерес у других читателей, в том числе и у ученых-математиков. К сожалению, моих знаний пока не достаточно, чтобы понять объяснения, данные мне со страниц журнала учеными. Кроме того, как я ни старался, мне не удалось вывести формулу «моей» закономерности. Ведь я отлично понимаю, что доказывать что-либо экспериментально Мне кажется, здесь есть над чем поразмыслить и поэкспериментировать любителям математики.

Я понял главное: устный счет – очень полезный навык. Несмотря на то, что у нас давно наступила эпоха калькуляторов, устный счет не перестает преподносить нам новые сюрпризы. И одно из доказательств тому – это мое исследование.

Из своего исследования я делаю такой вывод:

Математику нужно знать и любить, тогда в математике можно увидеть много необычного, увлекательного.