Геометрические задачи с практическим содержанием

Очень часто возникает спор о том, нужны ли задачи с занимательным условием, задачи оперирующие с конкретными, взятыми из жизни, примерами? Здесь не может быть двух мнений: такие задачи нужны.

При изучении геометрического материла из-за насыщенности урока теоретическим материалом, уделяется очень малое внимание самостоятельной и практической работе учащихся, что становиться причиной слабого созерцания геометрического объекта. При этом у учащихся слабо развивается представление о натуральных величинах единиц площади, таких, как квадратный метр, ар, гектар и т. д. Опыт показывает, что при решении задач на вычисление периметра и площади прямоугольника, квадрата учащиеся допускают характерные ошибки. Например, вместо P вычисляют S, или наоборот. Площадь часто выражают в линейных метрах, а периметр - в квадратных метрах. Для устранения подобных пробелов нужно эффективно приводить примеры из жизни и практики.

Так же у учеников часто возникает путаница между объёмными геометрическими фигурами. Они должны четко знать, что всякий куб есть прямоугольный параллелепипед, но не всякий параллелепипед является кубом. Чтобы таких ошибок меньше допускалось учениками, следует широко использовать технические средства, модели, конкретные примеры прямоугольного параллелепипеда.

Зачем же еще нужны практические задачи? Задачи, построенные на живом материале, вызывают у учащихся интерес. «Было бы хорошо по возможности, - отмечает академик С. Л. Соболов, - раскрывать математические правила и законы на специально подобранных задачах из жизни». Специальная тематика практических задач позволяет показать учащимся важность геометрических знаний в повседневной жизни и быту, что способствует повышению интереса к геометрии. «Иллюстрированные примеры следует выбирать такими, - замечает Б. В. Гнеденко, - чтобы они пробуждали у учащихся дух познания, сохранились в памяти на долгие годы и возбуждали стремление сделать полезное для общества».

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

Геометрия возникла очень давно. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» – земля, «метрео» – мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами.

Наши первоначальные представления о числах и геометрических формах относятся к эпохе древнего каменного века – палеолита. Уже тогда люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства в форме ромбов, треугольников, сегментов. В эпоху позднего неолита люди научились плавить медь и бронзу, изготовлять орудия производства и оружие. Это повлекло оживление торговли на уровне обмена. В этот момент входят в употребление числа, возникает необходимость измерения длины и емкости тел. Единицы измерения в те времена были грубы и исходили из размеров человеческого тела. При возведении построек стали вырабатываться правила построений по прямым линиям и под прямым углом. Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли «натягивателями веревки». Слово «линия» происходит от латинского слова linum – лен, льняная нить, что говорит о связи между ткацким ремеслом и зарождением геометрии.

Человек неолита обладает острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, обработка металлов вырабатывали геометрические представления. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию, подобие фигур.

В религии каменного века, пронизанной таинством и магией, существовали магические числа (3; 4; 7) и магические фигуры (пятиконечная звезда, свастика). Это говорит о культово-обрядовых и эстетических корнях математической и геометрической науки.

Жителями стран Древнего Мира широко использовались знания по геометрии. Об этом свидетельствуют папирусы, найденные в тайниках этих стран. Судя по сохранившимся задачам, математикам Вавилона было уже известно свойство средней линии трапеции. В книгах древнеиндийской геометрии встречаются описания вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон» или «Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата». Китайским ученым было известно правило для определении площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на 4, возьми три раза».

В древние времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта (это очень важно, так как освещённость в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они следующим образом. Для того чтобы найти направление на север-юг, втыкали вертикально палку и следили за её тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда её конец указывал точное направление на север. В строительстве очень важно знать площадь участка, отведённого на застройку. Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон (рис. 1). Брали длинную верёвку, делили её на 12 равных частей узелками или какими-то другими метками, а концы верёвки связывали. На направлении север-юг они устанавливали два кола на расстоянии четырёх частей, отмеченных на верёвке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную верёвку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья – пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого могла быть принята за эталон, если ремесленники пользовались верёвкой всегда одной и той же строго определённой длины. При этом одна сторона, имеющая три части, указывала направление восток-запад. Теперь этот треугольник называется «египетский» в честь страны, в которой был «открыт».

Вряд ли египетские строители осознавали, что их метод нуждается в каком-либо обосновании. Но мы теперь знаем, что он основан на доказанной гораздо позже теореме, служащей обратной к теореме Пифагора. А эта теорема «открыта» Пифагором через много веков после того, как ею научился пользоваться обыкновенный древнеегипетский мастеровой.

Прослеживая зарождение и становление геометрии, легко усмотреть поразительную близость математических сведений у различных народов, практически не общавшихся. Это сходство (как по форме, так и по содержанию) говорит об общности практических задач, породивших эти математические знания. Так на протяжении тысячелетий опытом и разумом многочисленных безвестных тружеников мыслителей закладывался фундамент математической науки.

Но все же имена некоторых мыслителей того времени известны и нам. Например, это Фалес, Платон, Пифагор, Евклид, Архимед, Аристотель, Евдокс, Архит, Гиппократ, и др. Они искали ответы на свои вопросы, высказывали гипотезы, доказывали теоремы, опираясь на практику. И это лишь часть того, что смогли внести они в развитие геометрии и математики в целом.

Уже в наше время задачи по геометрии по-прежнему находят широкое применение в строительстве, искусстве и архитектуре, а также во многих других отраслях промышленности. Теперь ученые, используя накопившиеся материалы в области геометрии, совершенствуют их, ищут что-то новое, создают свои гипотезы. А без практики не может существовать и теория.

ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ

Задача № 1 по теме «Признаки равенства треугольников». 7 класс

Эта задача известна как задача Фалеса, ученого древней Греции, жившего в VI веке до нашей эры.

Определить расстояние от берега до корабля на море.

Решение:

Для определения расстояния от точки А на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строился ∆ АВС с доступной точкой С на берегу , после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону точки С и строился ∆ СDE, такой, что CD = AC, (ACB = (DCE

( CDE = (CAB. Тогда ∆ СDE = ∆ САВ (по стороне и прилежащим к ней углам), значит AB=DE.

Задача 2 по теме «Площади фигур». 8 класс

Самым древним в истории развития геометрии является способ решения задач через нахождение площади фигур.

Найдите площадь этой фигуры.

Решение:

Из 4 отрезанных треугольников можно сложить квадрат со стороной l. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = ab. Поэтому искомая площадь S = ab – l2. Этой формулой и пользуются на практике при определении запаса пиломатериалов.

Задача № 3 по теме «Прямоугольный треугольник». 8 класс

Как найти высоту дерева, имея прямоугольный треугольник с углом 30°?

Решение:

Устанавливаем прямоугольный ∆ А1В1С1 ((С1 = 90°, (А1 = 30°) так, чтобы гипотенуза А1В1 занимала вертикальное положение, продолжение катета С1А1 прошло через вершину дерева А, а продолжение катета С1В1 – через основание дерева В . Измеряем h – высоту точки С1 над землей. АВ = 4h, так как АВ = 2 С1В (из ∆ АС1В по свойству катета против угла 30°), а С1В = 2h (из ∆ С1МВ по свойству катета против угла 30°). Этот способ пригоден в том случае, когда предмет АВ имеет сравнительно небольшую высоту (менее 8 метров).

Задача № 4 по теме «Подобие треугольников». 8 класс

Тень, отбрасываемая телеграфным столбом на поверхность земли, равна 9 метров, в то время как вертикальный шест высотой 2 метра отбрасывает тень в 2,4 метра.

Найдите высоту столба.

Решение:

Пусть АВ – высота столба, КD –вертикальный шест .

∆ ВСА ≈ ∆ КСD ((ВАC = (КDC = 90°, (С – общий), следовательно, , то есть откуда АВ= 2,5 метра.

Ответ: высота столба 2,5 м.

Задача № 5 по теме «Неравенство треугольника». 7 класс

Деревни А и В находятся на одинаковом расстоянии от города М. На прямой, проходящей через М и В, расположены ещё две деревни С и D, как это изображено на . К какой из первых двух деревень А и В ближе расположена: а) деревня С; б) деревня D?

Решение: а) Соединив А с точками М и С , видим, что МА + АС > МС, но МА = МВ, следовательно АС > ВС. Поэтому, деревня С расположена ближе к В, чем к А.

в) Соединив А с точкой D, видим, что DМ + МА > DА, но МА = МВ, следовательно, DB > DA. Поэтому, деревня D расположена ближе к А, чем к В.

Задача № 6 по теме «Площадь круга и длина окружности». 9 класс

Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см. , а глубину 380 м. , надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25 X 12 X 6,5 см.

Решение:

Длина окружности, диаметр которой меньше диаметра колодца на удвоенную ширину кирпича, равна πd ≈ 351 см . Длину окружности делим на длину кирпича, получаем 351 : 25 ≈ 14 кирпичей уложено в один ряд. Таких рядов будет 380 : 6,5 ≈ 59. Следовательно, потребуется кирпича 14 ∙ 59 = 826 штук.

Ответ: 826 кирпичей.

Задача 7:

Поверхность пруда имеет форму квадрата.

В вершинах квадрата на берегу пруда растут четыре дуба. Хотят вдвое увеличить площадь повер- хности пруда, но так, чтобы новый пруд со- хранил форму квадрата и чтобы все четыре дуба остались целы (то есть были на берегу).

Как это сделать?

Решение:

Построим точки О1, О2, О3, О4, симметричные точке О относительно прямых ВС, АD, CD, и АВ соответственно. Докажем, что Sо1о2о3о4=2SАВСD Пусть ВС = х. Тогда площадь пруда равна х2.

Площадь нового пруда Sо1о2о3о4 = О1О2 ∙ О3О4 = 2 х2.

Задача № 8 по теме «Теоремы синусов и косинусов».

С наблюдательного пункта А замечают под углом 63°30( самолет В, пролетающий над башней D, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт А с верхушкой башни D, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45(. На какой высоте находился самолет?

Решение:

Высота полета самолета ВС = ВD + DС

∆ ABC – прямоугольный, т. к. СВ – высота.

(DAB =(САВ – (САD = 63°30( – 20°45( = 42°45(, (СВА=90° – 63°30( = 26°30(.

∆ DАС – прямоугольный. АD =

Из ∆ DAB по теореме синусов

ВС = ВD + DС = 342,2 + 79,5 = 421,7

Ответ: 421,7 м – высота полета самолета.

Задача № 9 по теме «Теоремы синусов и косинусов».

Вершина горы В (рис. 10) из точки А видна под углом ( = 38°42(а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом ( = 42°.

Найти высоту горы.

Решение:

( – внешний угол ∆ BDC. ( = ( + (, ( = (DBА, ( = ( – ( = 42° – 38°42( = 3°18(

Из ∆ BDC по теореме синусов

∆ BDC – прямоугольный, т. к. ВС - высота горы.

CB = BD*sin( =

Ответ: высота горы 1452,5 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для изучения вопроса о том, какое значение геометрия имеет в жизни, был проведен опрос учителей и учащихся. Учащиеся 8-9 классов отвечали на вопросы анкеты.

1. Приходилось ли вам применять знания по геометрии в жизни?

А) да – 63 %

Б) нет – 37 %

2. Какие задачи вам больше понравилось решать?

А) обычные из учебника – 35 %

Б) с практическим содержанием – 40 %

В) и те, и другие – 25 %

3. После решения практических задач

А) легче стало решать обычные задачи – 50 %

Б) повысился интерес к геометрии – 30 %

В) ничего не изменилось – 20 %

4. Хотели бы вы, чтобы на уроках геометрии использовались практические задачи?

А) да – 37 %

Б) нет – 5 %

В) все равно – 58 %

5. Где и как в дальнейшей жизни вам может пригодиться геометрия?

Знания по геометрии нужны при строительстве зданий и дорог, ремонте квартиры, в астрономии, в технике, в военном деле, на огороде, при работе по следующим профессиям: продавец, врач, инженер, плотник, швея, газосварщик, столяр.

На вопрос: «Где в жизни Вам пригодились знания по геометрии, полученные в школе?», учителя дали следующие ответы: в домашних делах, при строительстве дома и бани, при планировании земельного участка, при ремонте и дизайне квартиры, в швейном деле, а главное – геометрия развивает логическое мышление.

Выбирая задачи для своей работы, я обнаружила, что их достаточно много по теме «Теоремы синусов и косинусов», которую мы изучаем на уроке в данный момент.

Учитель математики Светлана Геннадьевна предложила мне провести урок по решению задач с практическим содержанием. Мы выбрали 4 интересных задачи (№ 8 и 9 представлены в работе) и предложили решить их учащимся на уроке. Весь класс был разбит на группы, каждая из которых решала свою задачу. Основные затруднения возникла в построении чертежа, т. е. в переносе действительной ситуации на обычный язык геометрии. Когда чертеж был выполнен, то решение задачи не вызвало затруднений. Проанализировав урок вместе с учителем, мы сделали вывод о том, что нужно больше уделять внимания на практическую сторону геометрии, особенно при выполнении чертежей, т. к. каждому из нас в дальнейшей жизни придется решать свои различные, в том числе и геометрические задачи.