Функции в жизни человека

Начиная с VI класса, в центре внимания школьной математики находятся понятия функции, её графики, производной и интеграла. Учащиеся узнают о существовании и свойствах показательной и тригонометрических функций, о производной и интеграле. В своем проекте мне хотелось бы подробнее рассмотреть историю возникновения понятия функция. Познакомиться с развитием математической мысли в этом направлении, узнать, кто стоял у истоков возникновения понятий, связанных с функцией. Кроме этого, я считаю, что в преддверии экзамена по математике следует обратить особое внимание на сложные функции и их графики, которые служат основой многих задач ЕГЭ. Некоторые задачи части С решаются функционально графическим способом, очень часто при решении сложных заданий необходимо использовать свойства разного рода функций, определить область значений или область определения функции.

Как возникло и развивалось понятие функции

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере. С развитием скотоводства и ремесла увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец. Такие расчёты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций: y=1/x , y=x² , y=x³ , y=x²+x³.

Пользуясь различными таблицами, они могли вычислять и длину гипотенузы по длинам катетов, т. е находить значения функции z=.

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Вавилоне. Появились профессиональные учёные, которые изучали саму математическую науку. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсы и др. линиях.

Вопросами практической математики в Греции больше занимались астрономы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которых определяли положение звёзд на небосводе. Астрономам приходилось решать сферические треугольники. Это послужило началом сферической тригонометрии. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимости между длиной хорды и величиной стягиваемой ею дуги. По сути дела, это уже были таблицы функции y= sinx (длина хорды, стягивающей дугу 2x, равна 2R sinx). Живший в XI веке хорезмиец аль - Бируни разработал точный способ интерполяции, основанный на замене данной функции квадратичной. Этот способ «применим ко всем таблицам».

Графическое изображение зависимостей

Французский учёный Николай Оресм стал изображать интенсивности длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края». Современный читатель сразу узнает в ней график соответствующей функциональной зависимости. Оресм изучал даже «плоскостные» и «телесные» качества, т. е функции, зависящие от двух или трёх переменных. Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (т. е с постоянной интенсивностью), равномерно- неравномерные (для которых V изменения интенсивности постоянна) и неравномерно- неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства графиков таких качеств.

Рождение термина

В конце XVII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики стали применять термин «функция». Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию». Понятие функции ещё не было освобождено от геометрической формы. Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Фурье, Жан Батист

(1768-1830)

Выдающийся французский математик. Сделал ряд ярких открытий в математическом анализе и математической физике. Дал чёткое определение понятию функции, доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний, ввел обозначение определенного интеграла. С его именем связано много математических понятий, которые не изучаются в средней школе. «Фурье интеграл» абсолютно интегрируемой функции широко используется при решении различных задач математической физики и в функциональном анализе, «Фурье метод» - метод решения различных задач, использующий разложение функций в ряды и интегралы Фурье.

Джон Непер, барон Мерчинский

Изобретатель логарифмов был удивительным человеком. Джон Непер родился в 1550г. Сам Джон Непер, и большинство его родичей проявляли редкостное для тех времен миролюбие и дипломатические способности. В 13лет он поступил в один из университетов Шотландии, но, проучившись там 2-3 года, отправился завершать образование в материковую Европу, где обучался языкам, теологии и математике. Около 1570г. он вернулся в Шотландию и больше её не покидал, где занимал различные выборные должности, но большую часть времени проводил в занятиях науками.

В истории науки Непер остался благодаря своим достижениям в математике, в которой его, прежде всего, интересовали способы упрощения вычислений. Кроме логарифмов, он придумал особые счетные палочки, на которые были нанесены специальным образом расположенные части таблицы умножения, что позволяло очень быстро перемножить многозначные числа. А ещё он придумал счетную доску, вычисления на которой называл” арифметикой мест”: вычисления на ней выполнялись в двоичной системе счисления практически по тем же правилам, что и в современных компьютерах!

Логарифмом числа х называют показатель степени у, в которую надо возвести некоторое фиксированное число а, чтобы получить исходное число х: ау=х. Записывают: у=logax.

Из свойств степеней с одинаковыми основаниями следует, что если ау1= х1 и ау2= х2, то ау1+у2= х1х2. Последнее равенство означает, что у1+у2= logax1x2, или logax1+logax2= logax1x2.

Это и есть основное свойство логарифмов, которое позволяет заменять умножение заданных чисел сложением их логарифмов.

Неперовы логарифмы сразу же получили всеобщее признание. Очень скоро были предложены различные усовершенствования построенных им таблиц, появились таблицы логарифмов с другими основаниями. Наибольшей популярностью пользовались логарифмы по основанию 10 (десятичные логарифмы), изобретённые Генри Бригсом.

Задача Дидоны.

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.

Будем считать, что берег моря, был прямолинейным, а участок земли имел форму прямоугольника. Тогда надо найти прямоугольник наибольшей S, ограничен с одной стороны морем, а с трёх других сторон ремнем заданной длины L. D C

Выберем в качестве аргумента х длину отрезка ВС. Тогда длина отрезка АВ равна L-2х, и потому S =х (L-2х). Эта функция определена на отрезке [0;L/2] и на его концах обращается в нуль, а внутри его положительна. Значит, искомое оптимальное значение х лежит где-то внутри этой области.

Производная функции у=х(L-2х) равна L-4х и обращается в нуль лишь при х=L/4. Значит, сторона ВС должна иметь длину L/4, а сторона АВ - длину L/2, т. е. прямоугольник является половиной квадрата, примыкающей длинной стороной к морю. Если снять условие, что граница участка должна иметь форму прямоугольника, то можно огородить большой участок земли. Для этого он должен иметь форму полукруга.

Графики элементарных функций

1. Постоянная функция у=b, где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b). у=2

2. Линейная функция у=kx+b. Графиком является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен к.

у=-0. 5х-3

3. Обратная пропорциональность у=. График обратной пропорциональной зависимости называется гиперболой.

4. Квадратная функция у=ax2+ bx+c, а не равно 0. Графиком квадратичной функции является парабола.

у=х2+2х-3

5. Степенная функция у=хn, n не принадлежит N. Если n- четное, то график напоминает параболу, если n- нечетное, то график напоминает кубическую параболу.

у=х5 у=х4

6. График функции у= Dy=[0;+∞) у=

7. у=х. График является объединениям двух лучей с общим началом в точке (0;0), являющихся биссектрисами (для х≥0) и (для х<0) координатных углов.

Использование функционального метода для решения задач

Функциональный метод решения задач является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении задач.

Во-первых, конечно, кусочная непрерывность и монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций, во-вторых, свойства чётности и нечётности, периодичность функции, в-третьих, свойства ограниченности области определения или области значения функции. В случае неявного задания функции используются свойства симметрии графика относительно осей координат или начала координат и т. д. Наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов. Рассмотрим одно из заданий ЕГЭ по математике:

1. При каких значениях а все три корня уравнения х3- ах+2а+32=0 действительные?

Решение: Выразим а через х: а=х3+32/х-2 , где х ≠2.

а'(х)=2(х-4)(х2+х+4)/(х-2)2

Функция а(х) убывает на каждом из промежутков (-бесконечности;2)и(2;4], а возрастает на [4;+бесконечности), причём х=4- точка минимума, а(4)=48.

Те значения а, для которых соответствующие горизонтальные прямые пересекают построенный график в трёх точках, и будет искомыми. Из соображений наглядности очевидно, а>48.

Ответ: а>48

Решение примеров из экзаменационных работ

Пример 1:

Найти наибольшее значение функции у=3. 5

Решение:

Рассмотрим функцию у=sin(x+t). Данная функция имеет область значений E(f)=[-1;1].

Преобразуем слагаемые в правой части уравнения, используя формулу двойного аргумента : 4cos2x=4(cos2x-sin2x),

4(cos2x-sin2x)+6sin2x+5=4(1-sin2x)-4sin2x+6sin2x+5=4-4sin2x-4sin2x+6sin2x+5=9-2sin2x.

Таким образом нужно рассматривать функцию y=3. 5.

Используя свойства функции у=sinx и свойства неравенства получаем следующее:

-1≤sinx≤1

0≤sin2x≤1

-2≤-2sin2x≤0

7≤9-2sin2x≤3

3. 5· ≤3. 5 · ≤3,5·≈10. 5

Ответ: наибольшее значение 10

Пример 2:

Найти корни уравнения

Решение:

Оговорим О. Д. З. функции.

2cosx=0 cosx=0 x=Π/2 + Πn

1-cos2x=0 cos2x=1 x=Πn

Преобразуем числители дробей, используя основное тригонометрическое тождество и формулу двойного аргумента. Получим cos2x+sin2x+cos2x-sin2x=2cos 2x и sin2x=2sinxcosx

Получим следующее уравнение:

Зная, что 1–cos2x=2sin2x, выполняя равносильные преобразования решим данное уравнение:

Определим область определения данного выражения sinx≠0. Прировняем к 0 числитель дроби, найдем корни уравнения методом разложения на множители.

cosxsinx-cosx=0 cosx(sinx-1)=0 cosx=0 –корней нет, так эти корни не входят в область определения функции.

sinx=1 x=Π/2+2Πn – (nєZ)- корней нет, так как не входят в область определения функции.

Ответ: корней нет.

Пример 3:

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x4+4x3+5 на отрезке [-2;2]

Решение:

Найдём производную f'(x)=4x3+12x2

Определим стационарные точки, решим уравнение f '(x)=0:

4x3+12x2=0

4x2(x+3)=0 x=0; x=-3 –не входит в данный отрезок.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке: f(0)=5; f(-2)=-11; f(2)=53

Ответ: наименьшее значение -11

Пример 4:

Исследуйте степенную функцию на монотонность у= x12

Решение:

Найдём производную: y'=(x12)'=12x11

D (y)=(-∞;+∞)

12x4=0; x4=0; x=0

Решим методом интервалов:

Функция убывает на (-∞;0], возрастает [0;+∞)

Пример 5:

Найдите наибольшее значение функции на промежутке [2;12].

Решение:

Знаменатель дроби возрастает на заданном промежутке, значит, дробь убывает. Следовательно, наибольшее значение-это значение дроби на левом конце промежутка, т. е унаиб=24/23 +24/22 =2

Ответ: наибольшее число 2

Пример 6:

Определите число решений системы уравнений у=х-8/5 у=х2-4х+1

Построим графики функций: у=х-8/5 y=x2 -4x+1 , т. (2;-3)-вершина параболы

Графики функций имеют одну точку пересечения, значит система имеет одно решение

Ответ: одно решение

Пример 7:

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х=а у=х4 -3х3 , а=2

Решение:

Найдем производную от функции у=х4 -3х3 у'=4х3 -9х2

Найдем значение производной и функции в точке х=2 у'(2)=4·8-9·4=32-36=-4 у(2)=16-3·8=16-24=-8 уравнение касательной к графику имеет вид: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Подставим: у=-4(х-2)-8=-4х+8-8=-4х

Ответ: у= – 4х

Пример 8:

Решите графически уравнение х1/2 =6-х

Решение:

Рассмотрим функции у=х1/2 , у=6-х

Построим графики функций:

Ответ:x=4

Пример 9:

Найти, при каких значениях а система уравнений не имеет ни одного решения.

2х+(9а2-2)у=6а-2 х+у=1

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки, выразим из 2 уравнения системы у.

2х+(9а2-2)·(1-х)=6а-2 у=1-х

Решим 1 уравнение системы.

Раскроем скобки:

2х-9а2х+2х+9а2-2=6а-2

4х-9а2х+9а2=6а х(4-9а2)=6а-9а2 х(4-9а2)=3а(2-3а)

Запишем систему, выразив х: х=3а(2-3а)/4-9а2 у=1-3а(2-3а)/4-9а2

Система уравнений не имеет решения, если 4-9а2=0, т. е а=, а=.

Подставим в систему уравнений а=, получим х+у=1 х+у=1, уравнения системы равносильны система имеет множество решений.

Подставим в систему уравнений а=.

х+у=-3 х+у=1, данная система решений не имеет.

Ответ : а=-2/3

С функциями в жизни мы встречаемся часто. Используем свойства многих из них в обычной жизни, не задумываясь об этом.

Например, при отведении земельных участков используется межживание: определение точных границ участка и его площади. Кроме этого, функции используются и при создании плана-чертежа этого участка.