Фракталы: наука и искусство XXI века

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников.

Но с помощью этого набора фигур трудно описать более сложные объекты природы (пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев и т. д. )

В данном реферате осуществлена попытка рассмотреть фракталы как новое открытие геометрии и предсказать перспективы их развития в современной науке. В работе рассмотрены свойства фракталов и их место в природе.

С общим замыслом работы связана структура разделов.

Основная часть состоит из четырех глав. В первой описано рождение и развитие фрактальной геометрии. Во второй главе показана связь фрактальных структур с природой, их место в ней. В третье1 главе представлены типы фракталов, изучено их построение. В последней, четвертой главе, описаны отрасли, в которых нашли применение фракталы.

При работе автор использовал ряд литературных источников:специальная литература по теории фракталов , познавательную литературу (Волошинов А. В. Математика и искусство – М. : Просвещение, 2000; Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы), различные научно-популярные, образовательные, специализированные журналы .

I. Рождение и развитие фрактальной геометрии

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли 70 - 80 гг. XX в. и прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. Основное их свойство - любая часть структуры подобна всему целому. Свойство самоподобности также отражает особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Следует упомянуть, что триумфальному шествию фракталов в науке предшествовал долгий и мучительный инкубационный период. Идея фрактала около 100 лет ожидала своего часа.

Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы, возможно, равная по силе революции интегрального и дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б. Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

Язык фрактальной геометрии природы оставался непонятным человечеству вплоть до нашего времени. До этого в течение двух с половиной тысячелетий естествоиспытатели говорили на языке геометрии Евклида. Идеально регулярные образы – прямая и плоскость, треугольник и пирамиды, окружность и сфера – составляли основу этого языка и всей научной картины мира. Однако, многие реальные природные явления настолько сложны, что для их описания не подходят обычные дифференцируемые функции, с которыми имеет дело классический математический анализ.

Новая фигура – фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны и т. д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность структуры.

Еще в 1980 г. контуры ныне всемирно известного множества Мандельброта – важнейшей фрактальной структуры – едва издавались, но уже в 1984 г. предстали перед ошеломленной публикой на выставке «Границы хаоса» во всем своем многоцветном великолепии. В 1986 г. (В России в 1993) вышла на английском языке книга Х. О. Пайтгена и П. Рихтера «Красота фракталов». Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из ярких примет прошедшего XX века.

II. Фрактальные структуры в природе

Удивительным свойством фракталов является их широчайшее распространение в природе (очертания береговых линий, извилины рек, поверхности горных хребтов и т. д. ). Одни фракталы постоянно изменяются, другие сохраняют свою структуру неизменной.

Широчайшая распространенность фрактальных структур в природе объясняется их разномасштабностью и самоподобием: любые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон построения. Форма фрактальной структуры, независимо от ее размера, видится одной и той же. Это называется иерархическим принципом организации фракталов.

Иерархический принцип организации фракталов - это закон сохранения формы в малом и большом, или геометрическое подобие. Является основным принципом роста всего живого. Простейшим и наиболее распространенным примером самоподобного роста в природе является принцип дихотомии (т. е. деления пополам).

Пропорциональный рост живой формы, начинающийся в одной точке пространства и распространяющийся по всем его направлениям, описывается векторным уравнением r = r (M, N). Которое при различных соотношениях между вектором экспансии M и вектором внешних сил N дает огромное многообразие форм живой природы: яйца, яблока, черепа и т. д.

В неживой природе также все то же самоподобие разномасштабных структур приводит к неисчерпаемому многообразию форм. Таким образом, принцип пропорции – симметрии подобия, или, как его часто называют, динамической симметрии, – лежит в основе организации природных фрактальных структур и обеспечивает их повсеместное распространение.

III. Типы и построение фракталов

1. Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двумерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т. д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят – аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двумерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Перемена алгоритма выбора цвета, создает сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры .

2. Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

С помощью компьютерной программы можно построить объекты живой природы , например, ветку дерева . Процесс построения этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Здесь приводится лишь несколько шагов конструирования ветки: а) б) в)

3. Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двумерном случае их получают с помощью некоторой ломаной; в трехмерном – с помощью поверхности, называемыми генераторами. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную–генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

С целью лучшего понимания этого описания рассмотрим процесс построения простейших геометрических фракталов.

1). Звезда Коха

Рассмотрим, подсчитаем длину и площадь фрактального острова, открытого в 1904 г. немецким математиком Хельгой фон Кохом.

На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник (звезда Давида) . Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, и их середины заменяются на правильные треугольники . Стоит заметить, что количество звеньев этой ломаной на каждом шаге соответствует членам геометрической прогрессии: 40; 41; 42; 43; ; 4n.

Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники , все более приближающиеся к предельному положению – звезде Кох.

Отметим, что кривая, ограничивающая звезду Кох непрерывна, но не дифференцируема ни в одной точке. Найдем ее длину. Предположим, что сторона исходного равностороннего треугольника равна единице и, следовательно, его периметр равен трем. На следующем шаге число сторон увеличивается в четыре раза и длина каждой из них в три раза меньше исходной. Поэтому периметр правильного звездчатого шестиугольника будет равен 3(4/3) = 4. Аналогично, на каждом следующем шаге периметр многоугольника увеличивается в 4/3 раза, становясь все больше и больше. Из этого следует, что кривая Кох, к которой приближаются многоугольники, будет иметь бесконечную длину.

    Вычислим площадь звезды Кох. Пусть площадь исходного равностороннего треугольника равна 1. На первом шаге мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Кох представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5.

    Еще один вариант звезды Кох можно построить из квадратов, последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов.

    На первом шаге стороны квадрата разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному . Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты .

    Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники , все более приближающиеся к искомой фигуре.

2). Фрактал Вацлава Серпинского («Ковер Серпинского»)

    Рассмотрим еще один пример самоподобной фигуры, придуманный польским математиком В. Серпинским (1882-1969).

    Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой . Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру . То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского.

    Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

    Вычислим площадь ковра Серпинского, считая исходный квадрат единичным. Для этого достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице, т. е. площадь ковра Серпинского равна нулю.

    Возьмем теперь квадрат, площади равной двум, и вырежем из него квадрат с тем же центром площади 1/2. Оставшуюся часть представим в виде восьми прямоугольников и в каждом из них вырежем квадрат с тем же центром площади 1/32. Таким образом, суммарная площадь маленьких квадратов будет равна 1/4. Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру, которую также называют ковром Серпинского.

    Также как и раньше в этом ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Однако, в отличие от обычного ковра Серпинского, его площадь будет отлична от нуля. Действительно, площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальным членом 1/2 и знаменателем 1/2, т. е. равна 1. Поэтому площадь оставшейся части будет равна единице.

Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского .

3). Фрактальная кривая Д. Пеано

    Интересный пример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен Д. Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для ее построения разобьем данный квадрат на четыре равные квадрата и соединим их центры тремя отрезками, как показано на рисунке 20. Уберем внутренние стороны квадратов и из четырех их копий составим фигуру, изображенную на рисунке

    Отметим, что кривая Пеано непрерывна. Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата, т. е. будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Конечно, она будет иметь бесконечную длину.

4). “Кривая дракона” Э. Хейуэея

Интересным примером самоподобной кривой является “кривая дракона”, придуманная Э. Хейуэем. Для ее построения возьмем отрезок . Повернем его на 90 вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим угол из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем угол на 90 вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной .

    Повторяя описанную процедуру и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона .

IV. Применение фракталов

Главное применение фракталов – современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы, посредством перемены параметров в том или ином уравнении.

Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов.

Можно сказать, что ученые нашли простой способ представления сложных неевклидовых объектов, образы которых напоминают природные формы.

Для понимания эстетической сути фракталов, необходимо поэкспериментировать с этими геометрическими объектами.

L-система – это грамматика некоторого, достаточно простого языка, которая описывает инициатор и преобразование, выполняемое над ним, при помощи средств, аналогичных средствам языка Лого (аксиоматическое описание простейших геометрических фигур и допустимых преобразований на плоскости и в пространстве).

В 1967 г. группой ученых во главе с профессором С. Пейпертом была создана первая версия языка программирования Лого, который также называют образовательной средой. Лого изначально был разработан для обучения основам программирования и математики. Одной из его отличительных черт явилось наличие кибернетического существа – черепахи, которая является исполнителем команд и служит объектом обучения. Кроме того, в этом языке существует возможность пополнения словаря своими новыми командами и функциями.

Обучая черепаху, ученики знакомятся с «геометрией черепахи», которая не похожа ни на евклидову, ни на декартову. Но похожа на привычную геометрию, так как черепаха умеет двигаться так же, как и человек (имеет положение в пространстве и направление движения). Поэтому, обучая кибернетическое существо, ученики неформально знакомятся с понятием изоморфизм. Например, чтобы научить черепаху рисовать круг, ученик должен понять, как он сам ходит по кругу.

Кроме того, в геометрию черепахи заложены такие важные математические понятия, как интегрирование и дифференциальное уравнение. Рисование окружности показывает, как можно познакомиться с примером интегрирования – «как прохождение пути». Это способствует более эффективному усвоению учебного материала, чем при традиционной методике обучения (по книге С. Пейперта «Переворот в сознании: дети, компьютеры и плодотворные идеи»).

Информатики называют самоподобные фигуры фракталы фигурами с рекурсивным подобием. При повышении глубины рекурсии, уменьшенные детали фрактала подобны полному изображению.

Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами.

Фрактальная геометрия постепенно проникает в образовательный процесс школы через информатику.

Кроме образовательной среды Лого, в общеобразовательной школе давно преподается язык Бейсик. В последнее время в связи с переходом всего программного обеспечения компьютера на объектно-ориентированную систему Windows, используется его версия Visual Basic, отличающаяся наличием большого набора интерфейсных объектов, с помощью которых можно в визуальном режиме конструировать пользовательский интерфейс.

Таким образом, фракталы стали новой вехой в науке конца XX в. , с неисчерпаемой перспективой развития в веке XXI. И новой страницей компьютерного искусства, которое только зародилось в XX в. и является предметом споров.

Заключение

В результате проделанной работы выяснилось, что за фракталами таятся огромные, как художественные, так и практические перспективы развития. Фракталы оказались принципиально новым открытием в геометрии, способным изменить древние, бытующие до недавних пор, представления о геометрической структуре мира.

Фракталы применяются в языках программирования, в компьютерных моделях природы, в различных новаторских программах обучения. Также, в наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов. Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.

Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть оценить факторы, влияющие на ее состояние.