Движение в стереометрии

Еще Евклид определял равные фигуры как такие, которые могут быть «совмещены друг с другом». Под этим он понимал перемещение фигуры как твердого целого – то, что мы теперь называем движением. Например, доказывая признаки равенства треугольников, Евклид говорил: «Наложим один треугольник на другой так, чтобы », но поскольку свойства наложений (т. е. движений) не были им четко сформулированы, это предложение является лишь обращением к нашим опытным представлениям, а не математическим доказательством. Наиболее последовательно идея о связи понятия равенства фигур с движениями (и вообще о роли движений в геометрии) была высказана выдающимся немецким математиком Феликсом Клейном (1849-1925). В своей речи при вступлении на должность профессора кафедры геометрии в университете города Эрланге (1872) он призывал переосмыслить геометрию на основе рассмотрения групп движений. Эта точка зрения (называемая теперь эрлангенской программой) очень важна в геометрии.

Ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни играет симметрия. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Здесь уместно привести высказывание Дж. Ньюмена, который особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности ».

Главенствующую роль в теории играет плоскость симметрии. Недаром знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863-1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об «основном элементе симметрии». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные операции. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии – простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Таким образом, понятие движения – одно из основных в геометрии. Оно по-иному взглянуть на школьный курс, с новой точки зрения осмыслить теоремы и задачи, с которыми мы встречаемся на уроках геометрии. Из курса планиметрии мы имеем представление о преобразованиях геометрических фигур на плоскости. В данной работе я обобщила понятие преобразования (рассмотрела преобразования всего пространства и преобразования фигур), рассмотрела определение и свойства движения пространства и показала применение рассмотренного материала при решении задач.

II. Отображение плоскости на себя.

Определение. Если каждой точке А плоскости: 1) поставлена в соответствие вполне определенная (единственная) точка А1 и 2) при этом точка А1 соответствует какой – либо и притом единственной точке А, то такое соответствие между точками плоскости называют его геометрическим преобразованием или отображением плоскости на себя.

Примеры:

1) отложив от каждой точки плоскости некоторый вектор , мы тем самым каждой её точке А поставим в соответствие единственную точку А1. Это соответствие удовлетворяет и первому и второму условиям определения, а потому является геометрическим преобразованием.

2) ярким примером отображения плоскости на себя является осевая симметрия. Вспомним, как она задается. Возьмем прямую и произвольную точку М, не лежащую на этой прямой. Проведем перпендикуляр МР к прямой и отложим на прямой МР отрезок РМ1 = МР, получим точку М1, симметричную точке М относительно прямой. Если точка М лежит на прямой , то симметричная ей точка М1 совпадает с точкой М. Таким образом, мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости соответствует определенная и единственная точка М1. При этом каждая точка М1 оказывается сопоставленной некоторой точке М.

Определение. Если точке А соответствует точка А1, то точка А1 называется образом точки А, а точку А в этом случае называют прообразом точки А1.

Точки А и А1 называют соответствующими друг другу в данном преобразовании, их записывают в виде упорядоченной пары (А, А1). Причём, на первом месте в паре записывают прообраз, а на втором – образ.

Если точке А соответствует точка А1, то часто пишут так: А → А1.

Замечание. Может случиться так, что точка А1 совпадает со своим прообразом А. В этом случае точка А называется неподвижной.

Преобразование плоскости порождает и преобразование фигур, находящихся в неё. При преобразовании плоскости все точки любой фигуры F переходят в их образы, которые и составят фигуру F1. Эта фигура F1 называется образом фигуры F при данном преобразовании. Сама фигура F называется прообразом фигуры F1. Говорят, что фигура F отображается на фигуру F1, и пишут при этом: F → F1.

III. Понятие движения.

Определение. Геометрическое преобразование плоскости, при котором любые две tго точки А и В преобразуются в такие точки А1 и В1, что А1В1 = АВ, называют движением плоскости.

Таким образом, движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Наглядное представление о движении фигур дают механические движения твердых тел. Из механических соображений ясно, что движение не изменяет ни размеры, ни форму фигур. Поэтому в геометрии фигуры F и V называют равными, если одну из них можно перевести в другую с помощью движения плоскости.

Существуют следующие виды движений плоскости:

1. Осевая симметрия

2. Центральная симметрия

3. параллельный перенос

4. Поворот вокруг точки

Прежде, чем подробнее остановится на каждом из них рассмотрим некоторые свойства движений

IV. Свойства движений.

Свойство 1. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причем порядок взаимного расположения точек на прямой сохраняется.

Доказать:

, причем

Доказательство:

1. Так как точки А, В и С принадлежат прямой ℓ, причем точка В лежит между точками А и С, то АВ+ВС=АС

2. По определению движения А1В1=АВ, В1С1=ВС, А1С1=АС

3. Складывая, почленно, первые два равенства, имеем А1В1+В1С1=АВ+ВС

4. Так как АВ+ВС=АС, то получим А1В1+В1С1=А

5. Так как А1В1+В1С1=АС, а АС=А1С1, то получим, что А1В1+В1С1= А1С1 , а это и означает , что точки А, В и С прямой ℓ переходят соответственно в точки А1, В1 и С1 некоторой прямой ℓ1, где точка В1, лежит между точками А1 и С1.

Доказано.

Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:

Свойство 2. При движении прямые переходят в прямые.

Свойство 3. При движении лучи переходят в лучи.

Свойство 4. При движении отрезок заданной длины переходят в отрезок той же длины. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

Свойство 5. При движении окружность переходит в окружность того же радиуса.

Дано: окружность (О;r)

Доказать: окружность(О; r) → окружность (О1; r).

Доказательство:

1. Возьмем некоторую точку М на окружности (О;r), при движении точка М перейдёт в некоторую точку М1

2. По определению движения ОМ = О1М1

3. Так как точка лежит М на окружности (О;r), то ОМ = r, а значит, и О1М1 = r , поэтому при выбранном движении окружность с центром О и радиусом r перейдет в окружность с центром О1 и радиусом r, т. е. в окружность того же радиуса.

Доказано.

Свойство 6. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать:

∆ АВС →∆ А1В1С1, причем ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство:

1. По свойствам движений отрезок переходит в отрезок той же длины, тогда , , , причём по определению движения А1В1 = АВ, В1С1 = ВС и А1С1 = АС.

2. В таком случае ∆АВС переходит в равный ему ∆ А1В1С1 (треугольники равны по трём сторонам).

Доказано.

Свойство 7. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины.

V. Осевая симметрия.

Определение: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Прямая называется осью симметрии.

Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

На рисунке точки А и А1, В и В1 симметричны относительно прямой , а точка С симметрична самой себе относительно этой прямой.

Обозначение:

(читают: точка А симметрична точке А1 относительно прямой ).

Симметрией плоскости относительно прямой называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой.

Теорема. Симметрия относительно прямой является движением.

Доказать:

Доказательство:

1. Пусть ,

2. По определению осевой симметрии и В – середина YY1, тогда прямая - серединный перпендикуляр к YY1 и точка А YY1, тогда по свойству серединного перпендикуляра АY = АY1

3. Так как АY = АY1, то ∆ АYY1- равнобедренный, Ав – медиана, проведенная к основанию, тогда

4. Так как , то и , значит,.

5. , АY = АY1, АХ = АХ1, тогда ∆AXY = ∆ AX1Y1 (по двум сторонам и углу между ними), а значит, (соответственные элементы в равных треугольниках).

Доказано

Так как осевая симметрия является движением, то для неё выполняются все свойства движений.

Определение: Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

В этом случае говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией:

1. У неразвернутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

2. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник – три оси симметрии.

3. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии.

4. У окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Фигуры, обладающие осевой симметрией очень часто можно встретить в жизни, природе, прикладном искусстве, архитектуре.

VI. Центральная симметрия.

Определение: Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1.

Точка О считается симметричной самой себе и называется центром симметрии.

На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Обозначение:

(читают: точка А симметрична точке А1 относительно точки О).

Центральная симметрия с центром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X1, что точка O является серединой отрезка XX1.

Теорема Симметрия относительно точки является движением.

Доказать:

Доказательство:

1 случай: точки Х, Y и О не лежат на одной прямой

1. Так как и , то по определении центральной симметрии ОХ=ОХ1, ОY=ОY1, причём точки Х, Х1, О лежат на одной прямой и Y, Y1, О лежат на одной прямой, тогда.

2. Таким образом, получили ОХ=ОХ1, ОY=ОY1 и , тогда ∆ХОY = ∆Х1ОY1(по двум сторонам и углом между ними), значит, ХY=Х1Y1.

2 случай: точки Х, Y и О лежат на одной прямой

1. Если же точки Х,Y и О лежат на одной прямой, то справедливость теоремы следует из определения симметрии относительно точки О: ХY=OX+OY=OX1+OY1=X1Y1 (рисунок а) или XY=OX-OY=OX1-OY1=X1Y1.

Доказано.

Так как центральная симметрия является движением, то для неё выполняются все свойства движений.

Определение: Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

В этом случае говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Приведем примеры фигур, обладающих центральной симметрией:

1. Центром симметрии окружности является центр окружности.

2. Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

3. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является ее центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

VII. Параллельный перенос.

Определение: Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка А отображается в такую точку А1, что вектор равен вектору.

На рисунке точки А1, В1 и С1 получены параллельным переносом точек А, В и С на вектор.

Обозначение:

(читают: точка А1 получена параллельным переносом точки А на вектор )

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Теорема. Параллельный перенос является движением

Доказать:

Доказательство:

1. Так как и , то

2. Так как , то по определению равных векторов получим и , а значит - параллелограмм (по признаку), следовательно,

Доказано.

Параллельный перенос издревле применяется для изображения орнаментов.

VIII. Поворот.

Определение: Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ=ОМ1 и МОМ1 равен.

При этом точка О остается на месте, т. е. отображается сама на себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Точка О называется центром поворота, а угол - углом поворота.

На рисунке точка А1 получена поворотом точки А на угол вокруг точки О.

Обозначение:

(читают: точка А1 получена поворотом точки А вокруг точки О на угол ).

В геометрии принято направление поворота против движения часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным.

Поворот плоскости относительно центра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая точка X1, что, во-первых, OX1=OX, во-вторых и, в-третьих, луч OX1 откладывается от луча OX в заданном направлении.

Теорема. Поворот вокруг точки является движением.

Доказать:

Доказательство:

1. , , значит,.

2. ОМ=ОМ1, ОN=ON1 и MON = M1ОN1, тогда ∆ОМN = ∆OM1N1 (по двум сторонам и углу между ними)

3. Так как ∆ОМN = ∆OM1N1 , то MN=M1N1.

Доказано.

Фигуры, обладающие поворотом, часто встречаются в жизни и прикладном искусстве.

IX. Задачи

Задача 1. Внутри равностороннего ∆АВС дана точка М такая, что АМ=1, ВМ= и

СМ=3. Найти АВ, АМВ и ВМС.

∆АВС - равносторонний точка М лежит внутри ∆АВС

АВ, АМВ и ВМС.

Решение:

1. Повернем ∆АСМ вокруг точки С на 60° в направлении, при котором точка А перейдет в точку В.

2. Пусть при этом точка М перейдет в некоторую точку D и, значит, ∆АСМ → ∆ВСD.

3. По определению поворота CD=CM и MCD=60°, отсюда следует, что ∆CDM – равносторонний.

4. С помощью поворота получили вспомогательный ∆BDM, в котором BD=AM=1, ВМ=, DM=CM=2.

5. Поскольку DM2=BD2+BM2, то ∆BDM – прямоугольный, и BD = DM, тогда, DBM =90°, BMD =30° и BDM =60°.

6. ВМС=ВМD + 60° = 90°

7. АМС = 1800 - СМD = 1800 - 60°=120°

8. АМВ = 1800 - ВМD = 1800 - 30°=150°.

9. ВМС = 90°, тогда ∆ВМС – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора получим, что ВС =.

Ответ: АВ = , АМВ=150°, ВМС==30°.

Задача 2. Из вершины В параллелограмма АВСD проведены его высоты ВК и ВН.

Известно, что КН= а и BD= b. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН.

АВСD – параллелограмм

Н1 – точка пересечения высот ∆ВКН

Решение.

1. НН1 и КН1 – высоты ∆ВКН, тогда и

2. Так как , и , , то и , значит, Н1НDK – параллелограмм.

3. Рассмотрим параллельный перенос на вектор , при этом К → D, В → в некоторую точку Р.

4. , тогда ВРDК - параллелограмм, а так как , то ВРDК – прямоугольник, тогда РК = ВD = b.

5. , тогда ВРНН1 - параллелограмм, тогда и , а так как , то и

6. , тогда ∆КРН – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора поучим , значит,

7. , тогда

Задача 3. В треугольнике АВС проведены медианы AF и CE. Доказать, что если

, то треугольник АВС равносторонний.

AF и CE – медианы

Доказать:

∆АВС - равносторонний

Доказательство.

1. Так как , то около четырехугольника АЕFС можно описать окружность.

2. Пусть точка О— центр этой окружности, тогда EOF = 60°(опирается на дугу EF равную 600)

3. OE=OF=r и EOF = 60°, значит, ∆ЕОF — равносторонний.

4. Точка В симметрична точке А относительно точки Е, значит точка В лежит на окружности s1 симметричной окружности s относительно точки Е.

5. Точка В симметрична точке с относительно точки F, а значит, точка В лежит и на окружности s2, симметричной окружности s относительно точки F.

6. Так как ∆ЕОF—равносторонний, то центры О, О1 и О2 окружностей s, s1 и s2 соответственно также образуют равносторонний треугольник (каждая из сторон которого равна 2R, где R — радиус указанных выше окружностей).

7. Следовательно, окружности s1 и s2 имеют единственную общую точку В, которая является вершиной равностороннего ∆ВЕF, а значит, ∆AВС — равносторонний (в силу их подобия)

Доказано.

Задача 4. Точка М лежит на диаметре АВ окружности. Хорда СD проходит через точку М и пересекает отрезок АВ под углом 45°. Доказать, что сумма

СМ2 + МD2 не зависит от выбора точки М.

Дано: окружность (О; R)

АВ – диаметр

CD – хорда

Доказать:

СМ2 + МD2 = const

Доказательство.

1. Построим точки С1 и D1 симметричные точкам С и D относительно прямой АВ (прямая, содержащая диаметр окружности является её осью симметрии)

2. По условию , а значит и.

3. По свойствам движений получим , тогда , следовательно,

4. Так как , то ∆С1МD – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора получим, что С1М2 + МD2 = C1D2

5. По свойству движений СМ = С1М, MD = M1D, тогда СМ2 + МD2 =С1М2 + МD2

6. ∆CC1M – прямоугольный и СМ = С1М, тогда

7. Так как , то при сдвиге точки М вдоль диаметра АВ длина хорды С1D будет постоянной, а следовательно, будет постоянным и квадрат этой хорды.

Доказано.

Задача 5. Внутри ромба ABCD, угол А которого равен 120°, взята точка М такая, что

АМ=1, СМ=2 и ВМ=3. Найти DM и AB.

ABCD – ромб

А = 120° точка М лежит внутри ABCD

DM и AB.

Решение:

1. При повороте вокруг точки А на60° ∆ACD → ∆АВС (С →В, D → С), а точка М → в некоторую точку М1.

2. По определению поворота ВМ1=СМ=2, М1А = АМ = 1 и

3. Так как М1А = АМ = 1 и , то ∆АММ1 – равносторонний, значит М1М = АМ = 1

4. Так как ММ1 + М1А = 2 + 1 = 3 и ВМ=3, то точка М1 лежит на отрезке ВМ.

5. Так как С →В, М → М1, то ∆АМС → ∆ АМ1В, значит, АМС=АМ1В=120°

6. СММ1 = 120°-60°=60°.

7. Так как М1М=1 и СМ=2, то ∆СММ1 будет подобен прямоугольному треугольнику с углом 60°, следовательно, СМ1М=90° и DM=CM1=.

8. ∆ВСМ1 – прямоугольный, значит, по теореме Пифагора получим, что АВ = ВС =.

Ответ: АВ = , DM =.

Задача 6. Внутри прямоугольного равнобедренного ∆АВС (С=90°) взята точка М такая, что АМ=2, ВМ= и СМ=1. Найти АС, ВМС и СМА.

АС = ВС

Внутри ∆АВС лежит точка М

АС, ВМС и СМА.

Решение:

1. Повернем ∆АСМ вокруг точки С на 90°, тогда АС → ВС.

2. Точка М → в некоторую точку D.

3. По определению поворота получим CD = CM = 1 и DСМ=90°, тогда по теореме Пифагора DM =.

4. ∆BDM – прямоугольный и равнобедренный (ВМ = DM = ), тогда по теореме Пифагора BD= 2.

5. Получили, что BD = AM = 2 и DBM=BDM=45°.

6. ВМС = 900 + 450 = 135°

7. СМА=90°, тогда ∆АСМ – прямоугольный, по теореме Пифагора АС =.

Ответ: АС =, ВМС = 135°, СМА = 90°.

Задача 7. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М.

Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков АМ, ВМ и

СМ. Докажите, что ∆А1В1С1=∆А2В2С2.

АА1, ВВ1 и СС1 – медианы

А2 – середина АМ

В2 – середина ВМ

С2 – середина СМ.

Доказать:

∆А1В1С1=∆А2В2С2.

Доказательство:

1. Так как М – точка пересечения медиан ∆АВС, то АМ=2МА1.

2. Точка А2 – середина отрезка АМ, тогда АА2 = МА2,

3. АА2 = МА2, АМ=2МА1, тогда МА1=МА2, а следовательно точки А1 и А2 симметричны относительно точки М.

4. Аналогично доказывается, что точки В1 и В2, а также точки С1 и С2 симметричны относительно точки М.

5. Получили центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки А1→ А2, В1 → В2 и С1 → С2, тогда ∆А1В1С1 → ∆А2В2С2, следовательно, по свойствам движений ∆А2В2С2=∆А1В1С1.

Доказано.

Задача 8. На сторонах параллелограмма ABCD построены вне его равносторонние треугольники ABM, BCN, CDP, ADQ. Докажите, что MNPQ - параллелограмм.

ABCD – параллелограмм

∆ABM, ∆BCN, ∆CDP, ∆ADQ – равносторонние

Доказать:

MNPQ - параллелограмм

Доказательство.

1. Обозначим через О - центр симметрии параллелограмма АВСD.

2. ∆ABM и ∆CDP – равносторонние и АВ = CD, тогда ∆ABM = ∆CDP

3. Так как отрезки АВ и СD симметричны относительно точки О, то ∆АВМ и ∆СОР симметричны относительно этой точки, а следовательно, точки М и Р симметричны относительно О, т. е. О — середина отрезка МР.

4. ∆BCN и ∆ADQ – равносторонние, ВС = AD, тогда ∆BCN = ∆ADQ

5. Так как отрезки АD и СB симметричны относительно точки О, то ∆BCN и ∆ADQ симметричны относительно этой точки, а следовательно, точки N и Q симметричны относительно О, т. е. О — середина отрезка NQ.

6. Так как точка О – точка пересечения диагоналей четырехугольника MNPQ и О — середина отрезка NQ и MP, то МNPQ — параллелограмм.

Доказано

Задача 9. Дан равносторонний ∆АВС. Внутри АСВ взята точка М такая, что АМ=,

ВМ=2, АМС=15°. Найти СМ и ВМС.

∆АВС – равносторонний внутри АСВ взята точка М

АМС=15°.

СМ и ВМС.

Решение:

1. Так как АМС<60°, то точка М лежит вне ∆АВС и вне описанной около него окружности, тогда ВМС<60°.

2. Повернем ∆АСМ вокруг точки С на 60° так, чтобы точка А → В.

3. При этом М → D.

4. По определению поворота получим СМ = CD, , тогда ∆СDМ – равносторонний, СМ = CD = DM.

5. Так как А → В, М → D, то по свойствам движений BD=АМ=, BDC=AMC=15°.

6. Так как ВМС<60° и MDB = 60° - 15° = 45°, то точка В лежит внутри ∆CDM и BMD – острый.

7. Проведем ВН - высоту ∆BDM

8. Получили ∆ВDH – прямоугольный и MDB = 45°, тогда ∆ВDH-равнобедренный.

9. По теореме Пифагора ВD2=HD2+BH2, получаем DH = ВН = 1

10. ∆ВМH – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ВМ2=HМ2+BH2, получаем НМ=

11. СМ = DМ = DH + HM = 1+

12. Так как ВН = ВМ, то ВМН=30° , значит ВМС=60°-30°=30°.

Ответ: ВМС=30°, СМ=1+.

Задача 10. Внутри угла, меньшего чем развернутый, дана точка А. Построить такую прямую, проходящую через точку А, что ее отрезок, заключенный внутри угла, делится в точке А пополам.

MON – не развернутый

Точка А лежит внутри MON

Построить:

Прямую KT, проходящую через точку А, так что АК = АТ

Решение.

1. Пусть К и Т — точки пересечения искомой прямой со сторонами данного МОN, тогда АК = АТ

2. АК = АТ, значит, при симметрии относительно точки А точка К переходит в точку Т, следовательно, прямая m, являющаяся образом прямой ОМ при этой симметрии, содержит образ точки K, т. е. точку Т, поэтому точка Т - есть точка пересечения прямых ОМ и m.

3. Так как прямая m - образ прямой ОМ, то точка симметричная точке О будет лежат на прямой m

Построение:

1. Построим точку В, симметричную точке О относительно точки А

2. Проведем через точку В прямую, параллельную ОМ.

3. Получим прямую m , а точка ее пересечения с ОМ — искомая точка Т.

Задача 11. Даны две окружности m иnс центрами А и В, пересекающиеся в точках М и Р. Доказать, что точки М и Р симметричны относительно прямой АВ.

Дано: m - окружность (А; R) n - окружность (В;r) m n = M m n = P

Доказать:

М симметрична Р относительно АВ

Решение.

1. Пусть при симметрии относительно прямой АВ М → М1

2. По свойствам движений АМ = АМ1 (ведь точка А остается неподвижной, а расстояния сохраняются), а это означает, что точка М1 принадлежит окружности m.

3. Точно так же ВМ=ВМ1, следовательно, точка М1 принадлежит также окружности п.

4. Таким образом, М1 – общая точка окружностей т и п, следовательно, М1 должна совпадать с точкой Р, т. е. при симметрии относительно АВ М → Р.

Доказано.

Задача 12. В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую деревни

А и В, чтобы путь AMNB из деревни А в деревню В был кратчайшим?

(Берега реки считаются параллельными прямыми, а мост – перпендикулярным к берегам).

Решение.

1. Пусть А1 – точка, в которую переходит точка А при параллельном переносе на вектор.

2. По свойствам движений получим, A1N=AM

3. Так как , то AMNA1 – параллелограмм, тогда AM+MN=AA1+A1N.

4. Таким образом, получаем, что AM+MN+NB=АА1+A1N+NB.

5. Длина отрезка АА1= MN постоянна, следовательно, для того чтобы путь AMNB был кратчайшим, необходимо, чтобы была наименьшей сумма A1N+NB. А это, будет тогда, когда точка N лежит на прямой А1В.

Построение:

1. мост MN следует строить так, чтобы точка N была точкой пересечения прямой А1В и ближайшего к деревне В берега реки, где А1 – точка, в которую переходит точка А при параллельном переносе на вектор.

Задача 13. Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.

Решение.

1. Рассмотрим все треугольники с данным основанием АВ и данной площадью S, расположенные по одну сторону прямой АВ, тогда высоты этих треугольников равны, а значит, их третьи вершины лежат на одной прямой l , параллельной АВ.

2. Обозначим через В1 образ точки В при симметрии относительно прямой l.

3. По свойствам движений СВ = СВ1, тогда для любого из рассматриваемых треугольников его периметр равен длине ломаной ВАСВ1.

4. Так как отрезок АВ фиксирован, то наименьшим периметр ∆АВС будет в том случае, если наименьшей будет длина ломаной ВАСВ1.

5. Это будет в том случае, если эта ломаная превращается в отрезок АВ1, т. е. если в качестве вершины С берется точка пересечения этого отрезка с прямой l.

6. (вертикальные), (по свойствам симметрии), значит

7. и l ││ AB, тогда , следовательно, ∆АВС - равнобедренный.

Доказано.

Задача14. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то такой четырехугольник – трапеция или параллелограмм.

АВСD - выпуклый четырехугольник

Е - середина АВ

F - середина СD

Доказать:

АВСD – трапеция или параллелограмм.

Доказательство.

1. Рассмотрим параллельный перенос на вектор , тогда точка К – это образ точки D при параллельном переносе на вектор.

2. По определения параллельного переноса , а значит, BCKD – параллелограмм.

3. Тогда точка F – середина диагонали CD параллелограмма BCKD, а следовательно, эта точка является серединой и для диагонали ВК.

4. Е и F – середины АВ и ВК соответственно, тогда EF – средняя линия ∆АВК и, значит, АК = 2EF = AD + DK, а это означает, что точка D должна лежать на отрезке АК.

5. Точка D лежит на отрезке АК, тогда ЕF AD, а значит, ЕF КD

6. , тогда BC DK

7. ЕF КD, BC DK, ЕF AD , тогда ВС AD, а это и означает, что АВСD – трапеция или параллелограмм.

Доказано.

X. Заключение

Данный реферат является кратким учебным пособием по теме: «Движения плоскости». Осевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос являются движениями. Понятие движения - одно из основных в геометрии. Оно позволяет по-иному взглянуть на школьный курс, с новой точки зрения осмыслить теоремы и задачи, с которыми мы встречаемся на уроках геометрии. В работе обобщен и систематизирован теоретический материал по данной теме и приведена подборка задач. Реферат предназначен для учащихся старших классов при разборе темы: «Движения на плоскости и в пространстве», а так же тем, в которых используются понятия и свойства движений. Материал данного реферата может служить и пособием для подготовки в ВУЗы.