Доказательство теоремы Пифагора

Самая известная теорема математики, теорема Пифагора, имеет множество доказательств. В некоторых странах в средние века, чтобы получить учёное звание магистра, нужно было изобрести своё собственное доказательство этой теоремы. Но какой же солдат не хочет стать генералом?! Не претендуя на новое доказательство теоремы, я рискну на обобщение формулировки теоремы Пифагора.

Пифагор доказал, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Помню, мой учитель сказал, что эту теорему можно сформулировать ещё и в следующем виде: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Сегодня я уже в 9-ом классе, но меня не оставлял вопрос, а почему Пифагор на сторонах треугольника строил именно квадраты? А если вместо них построить другие многоугольники, например, треугольники? Будет ли площадь треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах? Но на одном из факультативных занятий Раиса Стефановна Огнева, учитель математики, рассказала об одном любопытном обобщении теоремы Пифагора, которое получил древнегреческий математик Папп Александрийский (вторая половина 3-его века).

Теорема Паппа: если на сторонах произвольного треугольника АВС построить параллелограммы соответствующим образом, то площадь параллелограмма, построенного на большей стороне равна сумме площадей двух остальных.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть АВС- произвольный треугольник. На сторонах АВ и АС во внешнюю сторону построены произвольные параллелограммы AA’B’B и ACC”A” таким образом, чтобы они не накладывались друг на друга. На стороне ВС построим параллелограмм BB”’C”’CC также во внешнюю сторону, у которого BB”’ AP и

BB”’ =AB, где P-точка пересечения прямых A’B’ и A”C”. Тогда площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух. Для доказательства продлим стороны BB”’ и СС”’ третьего параллелограмма до пересечения с прямыми PB’ и PC” в точках Q и R соответственно . Параллелограммы APQB и STBB”’ равновелики, так как BB”’=BQ=AP, и высоты этих параллелограммов к сторонам BB”’ и BQ равны. По той же причине параллелограммы ACRP и CTSC”’ имеют равные площади. Так как параллелограммы AA’B’B и APQB имеют общее основание и равные высоты, то они равновелики. Аналогично, равновелики параллелограммы ACRP и ACC”A”. Следовательно, имеет место равенство площадей параллелограммов AA’B’B и BB”’ST, а так же параллелограммов ACC”A”и CC”’ST. Отсюда следует, что площадь третьего параллелограмма равна сумме первых двух.

SB”’BCC”’=SBB’A’A+SAA”C”C

Я выдвинула гипотезу: если на сторонах прямоугольного треугольника (как на сходственных) построить подобные многоугольники, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах.

Приступим к проверке гипотезы.

Первое, на что я обратила внимание в доказательстве теоремы Пифагора, это то, что квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника являются подобными четырёхугольниками, а высота треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному, сумма площадей которых равна площади данного треугольника. Так как равносторонние треугольники являются подобными, то построим на сторонах прямоугольного треугольника АВС равносторонние треугольники .

Достроим их до параллелограммов. Тогда по теореме Паппа:

SABKP=SAQMC+SCENB.

Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Имеем: SABKP=SAQMC+SCENB

SBKA=SAMC+SBCN

S1= S2= S3=

Отсюда: c2=b2+a2.

Получили, что наша гипотеза для равносторонних треугольников выполняется.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника АВС равнобедренные подобные треугольники.

1)CDA BCA k=

Соответственно AMC ACB k=

BCD BAC k= CNB BKA k=

BCD CAD k= CNB AMC k=

Известно, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Имеем: = (1) = (2) = (3)

Убедимся в том, что S1 =S2+S3 (4)

Из равенств (1) и (2) имеем:

S1=S2 S3=S2/= S2

Подставим полученные выражения для S1 и S3 в равенство (4):

S2=S2 + S2

Разделим обе части полученного равенства на S2 0.

+ c2=a2+b2

Получили, что наша гипотеза для равнобедренных подобных треугольников выполняется.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника АВС подобные треугольники, но разносторонние, с коэффициентами соответственно , , (это коэффициенты подобных треугольников, на которые делит высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника). Достроив эти треугольники до параллелограммов и применив теорему Паппа, делаем вывод, что площадь треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей треугольников, построенных на катетах. А так как любой многоугольник можно разбить на треугольники, то на сторонах прямоугольного треугольника АВС можно построить и любые подобные многоугольники, для которых будет выполнятся наша гипотеза, поэтому я делаю следующее обобщение формулировки теоремы Пифагора: если на сторонах прямоугольного треугольника, как на сходственных ,построить подобные многоугольники, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах.

Итак, я считаю, что возникшую математическую проблему я решила. И пусть она не большая, но, решив её, я обрела счастье математического открытия для себя. Я поняла, что можно смотреть, а можно видеть. Так и в отношении изучения математики: можно только выучить, а можно изучать её пытливо, развивая и совершенствуя свой математический склад ума.

Выводы: в этом научно-исследовательском проекте рассказывается об одной из элегантных, на мой взгляд, конструкций, связанных с доказательством одной из важнейших теорем геометрии. Сама эта конструкция богата задачным материалом и имеет, опять-таки, на мой взгляд, интересное обобщение. Научно-исследовательский проект «По следам теоремы Пифагора» обеспечивает научно-объективную и доказательную проверку правильности обоснованной в начале исследования гипотезы. Таким образом, была подтверждена целесообразность обобщения теоремы Пифагора в плане новой интерпретации её формулировки.