Динамика развития вычислительных навыков с помощью приемов быстрого счета
Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошие знания математики, и без нее нельзя освоить эти предметы. Может показаться, что на уроках музыки, рисования, физкультуры и труда математика не нужна. Но это неверно. И на этих уроках мы встречаемся с разного рода вычислениями и измерениями.
В обыденной повседневной жизни мы тоже не можем обойтись без математики, а именно без ее вычислительной составляющей. Так как часто встречаемся с разного рода расчетами, измерениями, просто даже не замечая этого.
В наш век новых технологий и развития компьютерной техники разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.
Для того чтобы производить вычисления в уме, надо знать некоторые «хитрые» способы быстрого счета. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.
Необходимо отметить, что в некоторых частных случаях удобнее отойти от стандартных правил, и воспользоваться способом, более удобным для устного применения, причем в письменном виде этот способ будет, скорее всего, неудобен.
Правилами сложения и вычитания многие люди пользуются автоматически, т. к. эти правила находятся в подсознании: или мы где-то узнали об этих правилах и заучили наизусть, или сами додумались до них, причем, в последнем случае, как показывает практика, результаты лучше, чем при заучивании. Оттого, что знание “идет от себя самого” и мы не задумываемся над его происхождением. Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес.
В данной работе мы рассмотрим некоторые способы быстрых вычислений, которые могут пригодиться на уроках математики в школе. Каждому ученику необходимы приемы быстрого счета, их знание значительно облегчит учебу. Быстрота счета возникнет в результате длительных упражнений.
Цель нашего исследования - диагностика уровня развития вычислительных навыков с использованием приемов быстрого счета.
Задачи исследования:
1. изучение способов быстрого устного счета;
2. подбор материалов для тренинга;
3. проведение диагностики;
4. изучение результатов исследования;
5. разработка схем быстрого умножения и деления на 0,5; 5; 50;25; 2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125; 9; 99; 999.
СПОСОБЫ БЫСТРОГО СЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
2 Поразрядное сложение двузначных чисел
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т. д. ).
76 + 38 + 47 + 86 + 45 = (70 + 30 + 40 + 80 + 40) +(6 + 8 + 7 + 6 + 5) = 260 + 32= 292.
3 Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого.
56 + 47 = (56 + 40) + 7 = 96 + 7 = 103;
8375 + 473 = ((8375 + 400) + 70) + 3 = (8775 + 70) + 3 = 8845 + 3 = 8848.
4 Сложение путем округления
Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением.
3916+991+1998+2002=(4000+1000+2000+2000)–(84+9+2)+2=9000–95+2=8907.
5 Сложение с использованием свойств действий с числами
Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа
12 + 63 + 28 = (12 + 28) + 63 = 40 + 63 = 103;
3013 + 74 + 2187 + 126 = (3013 + 2187) + (74 + 126) =5200 + 200 = 5400.
Прибавляют к какому-нибудь числу сумму чисел; можно прибавлять к данному числу каждое слагаемое отдельно
863 + (346 + 137) = 863 + 346 + 137 = 863 +137+ 346 = 1000 + 346 = 1346.
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом
549 + 94 = 549 + (100 – 6) = 549 + 100 – 6 = 643.
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением
298 + 397 = 300 – 2 + 400 – 3 = 700 – 5 = 695;
504 + 497 = 500 + 4 + 500 – 3 = 1001.
6 Сложение десятичных дробей путем поразрядного сложения, начиная с высших разрядов
Отдельно сложить целые части, десятичные доли, а затем сложить полученные результаты.
8,4 + 6,51 = ((8,4 + 6) + 0,5) + 0,01 = (14,4 + 0,5) + 0,01 = 14,9 + 0,01 = 14,91.
СПООБЫ БЫСТРОГО ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ
8 Поразрядное вычитание
574 - 243 = (500 - 200) + (70 - 40) + (4 - 3) = 300 + 30 + 1= 331.
Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого.
647 – 256 = (500 - 200) + ( 140 - 50 ) + ( 7 - 6) = 300 + 90 + 1 = 391.
9 Вычитание с использованием свойств действий с числами
1358 – (158 + 78) = (1358 – 158) – 78 = 1112;
(973 +747) - 873 = (973 - 873) + 747 = 100 + 747 = 847;
5861 + (1414 – 884) = (5861 + 1414) - 884 = 7275 - 884 = 6391;
1093 - (1494 - 907) = (1093 + 907) = 2000 - 1494 = 506.
10 Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
67 - 48 = (67+1) - 48 = (68 - 48) - 1 = 20 - 1 = 19;
453 - 316 = 453 – (313 + 3) = (453 - 313) - 3 = 140 - 3 = 137.
11 Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих
Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением
713 - 65 = (700 + 13) - 65 = (700 - 65) + 13 = 635 + 13 = 648;
824 - 396 = 800 – (400 - 4) = (824 - 400) + 4 = 424 + 4 = 428;
395 – 98 = (400 – 5) – (100 – 2) = 400 – 100 – 5 + 2 = 297.
3. СПОСОБЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
3. 1 Умножение на 4, 8,16 и т. д.
Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают.
213 8 = (213 2) 4= (4262) 2 = 852 2= 1704.
3. 2 Умножение на 5; 50; 0,5; 25; 2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2.
138 5 = (138 10) : 2 = 1380 : 2 = 690.
Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2.
87 50 =(87100) : 2 = 4350.
Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2.
3600,5 = 360 : 2 = 180.
Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.
34825 = 34800 : 4 = 8700.
Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4.
962,5 = 960 : 4 = 240.
Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4.
1960,25 = 196 : 4 = 49.
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8.
32 125 = 32 : 8 1000 = 4000.
Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8.
24 12,5 = 24 : 8 100 = 300.
Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8.
64 1,25 = 64 : 8 10 = 80.
Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
16,8 0,125 = 16,8 : 8 = 2,1 (см. Приложение I).
Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.
53 5 = 26 10 + 1 5 = 265 (53 : 2 = 26 и 1 в остатке) ;
43 25 = 10 100 + 3 5 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 в остатке) ;
66 125 = 8 1000 + 2 125 = 8250 (66 : 8 = 8 и 2 в остатке).
3. 3 Умножение на 1,5 и на 15.
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения.
1) 24 1,5 = 24 + 12 = 36;2)129 15 = 1290 + 645 = 1935.
3. 4 Умножение на 11.
1 способ.
Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число.
24111 = 2410 + 241 = 2651,
2 способ.
Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
34 11 = 374, т. к. 3 + 4 =7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,
68 11 = 748, т. к. 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.
3. 5 Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе.
1) 57 101 = 5757. 2) 89 10101 = 898989.
3. 6 Умножение на 9, 99 и 999.
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель .
1) 286 9 = 2860 – 286 = 2574;2) 23 99 = 2300 – 23 = 2277;
3) 18 999 = 18000 – 18 = 17982.
3. 7 Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности
1) 8 318 = 8 (300 + 0+8)= 2400 + 80 + 64 =2544;
2) 7 196 = 7 (200 - 4) = 1400 – 28 = 1372.
4. СПОСОБЫ БЫСТРОГО ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ
4. 1 Последовательное деление
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление.
1)720 : 45 = (720 : 9) : 5 = 80 : 5 = 16 или 2) 9324 : 36 = ( 9324 : 3 ) : 12 = 3108 : 12 = 259.
4. 2 Деление на 0,5; 5; 50 и 500
Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2.
1) 21600 : 50 = 21600 : 100 2 = 432. 2) 42400 : 5 = 42400 : 10 2 = 8480.
3) 214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428. 4) 218 : 0,5 = 1218 2= 436.
4. 3 Деление на 25; 2,5; 0,25
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на 10 и умножить на 4. Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на 4.
1) 12100 : 25 = 12100 : 100 4 = 484. 2) 31 : 0,25 = 31 4 = 124.
3) 240 : 2,5 = 240 : 10 4= 24 4 = 96.
4. 4 Деление на 125; 12,5; 1,25; 0,125
Чтобы число разделить на 125; 12,5; 1,25; 0,125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000; 100; 10; 1 соответственно (см. Приложение I).
1) 4000 : 12,5 = 4000 : 100 8 = 320. 2) 9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.
3) 18 : 1,25 = 144 : 108 = 14,4. 4) 11 : 0,125 = 118 = 88.
5. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1=7), и к его полученному числу приписывают 25 (6 7 = 42. Ответ: 4225).
952 = 9025; 1252 = 15625.
9*10 12*13
6. Диагностика уровня вычислительных навыков
Практическая часть работы включала изучение динамики развития вычислительных навыков.
Были выдвинуты следующие гипотезы:
• с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки
• невозможно улучшить вычислительные навыки с помощью приемов быстрого счета
Объект исследования - автор работы (ученица 6 класса).
Исследование включало:
1. изучение способов быстрого устного счета;
2. подбор материалов для тренинга;
3. проведение диагностики нашего объекта исследования;
4. разработка схем быстрого умножения и деления на 0,5; 5; 50;25; 2,5; 0,25; 125; 12,5; 1,25; 0,125; 9; 99; 999.
Для диагностики были составлены 4 блока однотипных упражнений, состоящих из 27 примеров, которые нужно было выполнить за 5 минут.
Диагностика проводилась по этапам:
I этап. «Нулевой замер». Проверялись имеющиеся навыки устного счета.
II этап. Изучение «хитрых» способов сложения и вычитания. Второй замер.
III этап. Ознакомление с новыми приемами умножения. Третий замер.
IV этап. Изучение способов деления. Четвертый замер.
Обработка результатов показала:
1) На начальном этапе было выполнено из 27 заданий 41%, из них все задания решены правильно, причем устно сделано 15% заданий, хотя все примеры были для устного счета.
2) После изучения способов сложения и вычитания во 2 замере из 27 заданий было сделано 50%, где все задания выполнены верно, причем устно - 46% заданий, а столбиком 4% заданий.
3) Перед 3 замером были предложены новые приемы вычислений:
• умножение чисел меньших 100 и 1000, близких к любому круглому двузначному или трехзначному числу, превышающих 100 и 1000, близких к круглому числу, когда дополнение одного числа является положительным, а другое отрицательно;
• возведение в квадрат двузначных и трехзначных чисел меньших 100 и 1000, превышающих 100 и 1000.
На этом этапе выполнено из 27 заданий - 63%, все правильно, причем устно посчитано 63% заданий, а столбиком ни одного.
Результат четвертого замера показал 78% выполнения всех заданий.
Из представленных диаграмм видно, что от замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно.
Таким образом, принимаем гипотезу о том, что можно улучшить вычислительные навыки с помощью приемов быстрого счета.
Для обучения приемам быстрого счета автором разработаны схемы умножения и деления , которые будут использованы на факультативных занятиях.
Из выше рассмотренного следует, что вычислительные навыки надо развивать и что развить их может каждый уважающий себя человек, будь то взрослый или ребенок, независимо от его математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана в нашем сложном мире.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Культура счета аналогична культуре речи. В разговоре стараются употреблять слова, точно выражающие мысль, говорить ясно и кратко, избегать лишних слов, следовать правилам русской грамматики. Вычисления также должны выполняться рационально, аккуратно и без ошибок. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности.
В этом году мы продолжим практическую часть нашей работы на примере учащихся 6-х классов, обучив их приемам быстрого счета на элективных курсах по математике, и на основе полученных результатов проведем анализ динамики развития вычислительных навыков.
Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.
В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений.
Комментарии