Делители и кратные

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т. к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 121 – составное, т. к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Признаки делимости.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули, либо образуют число, делящееся на 4.

Примеры:

244:4 – делится на 4.

12700 делится на 4, т. к. оканчивается двумя нулями.

511 не делится на 4, т. к. 11 не делится на 4.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Примеры:

408 делится и на 2. и на 3, значит оно делится на 6.

565 не делится ни на 2, ни на 3, значит оно не делится и на 6.

153 делится на 3, но не делится на 2, значит оно не делится на 6.

Признак делимости на 7.

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

Число 475006 делится на 7, т. к. 475 – 6 = 469, а 469 делится на 7.

Число 475241 не делится на 7, т. к. 475 – 241 = 234, а 234 не делится на 7.

Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули, или образуют числа, делящиеся на 8.

Примеры:

7400 делится на 8, т. к. 400 делится на 8.

983000 делится на 8, т. к. оканчивается тремя нулями.

8252 не делится на 8, т. к. 252 не делится на 8.

Признак делимости на 11.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Примеры:

Число 182919 делится на 11, т. к. -22 делится на 11.

Число 56823 не делится на 11, т. к. 5 – 6 + 8 – 2 + 3 = 8, а 8 не делится на 11.

Признак делимости на 12.

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4.

Примеры:

Число 504 делится на 3 и на 4, значит оно делится и на 12.

Число 449 не делится на 3 и на 4, значит не делится на 12.

Число 721538 делится на 2, но не делится на 3, значит не делится на 12.

Признак делимости на 13.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 301275 делится на 13, т. к. 301 – 275 = 26, а 26 делится на 13.

Число 415243 не делится на 13, т. к. 415 – 243 = 172, 172 не делится на 13.

Признак делимости на 14.

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Примеры:

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит оно делится и на 14.

Число 19313 делится на 7, но не делится на 2, значит не делится на 14.

Число 678593 не делится на 14, потому что это число не делится ни на 2, ни на 7.

Признак делимости на 15.

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Примеры:

Число 27585 делится на 3 и на 5, значит делится на 15.

Число 189724 не делится не делится ни на 3, ни на 5, значит не делится и на 15.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Примеры:

Число 34650 делится на 25, т. к. 50 делится на 25.

Число 13657 не делится на 25, т. к. 57 не делится на 25.

Задачи с использованием делимости чисел.

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Задача № 2.

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число которое делиться на 10;

Б) четное число;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Задача № 3 Семеро друзей.

У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 4

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

(Нужно знать признак делимости на 11).

Ответ: 987652413

102347586

Задача № 5

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух.

Приведите примеры таких чисел.

(И. Ященко)

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Задача № 6

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 7

Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?

Ответ: цифрой 3.

Задача № 8.

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81. » Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 9.

Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.

Ответ: Р=5.