Что такое вложенные модули
• Решение на основе геометрической интерпретации определения модуля.
• Способ последовательного раскрытия модуля.
• Способ одновременного раскрытия модуля.
• Способ перебора.
• Метод интервалов.
• Метод схем равносильности.
• Графический способ.
• Способ возведения в квадрат.
• Решение задач на основе свойств модуля и др.
Мы решили достаточно большое количество примеров, но в нашей работе представляем вашему вниманию только несколько, на наш взгляд, типичных примеров, решенных различными способами, потому что остальные дублируют друг друга и чтобы понять, как решать примеры на вложенные модули нет необходимости рассматривать все решенные нами примеры.
Начнем с примера, решение которого основано на свойстве модуля.
Известен популярный факт, что точка прямой тогда и только тогда лежит вне отрезка прямой, когда модуль разности расстояний от точки до концов отрезка равен длине отрезка. С помощью модулей это можно записать в виде:
│ х-а - х-в │= а-в ⇔ х ≤ min (а, в) или х ≥ max (а, в)
Пример №1.
Решите уравнение. ││ х - 5│-│ х - 8│= 3
Решение.
Учитывая вышеизложенный факт уравнение ││ х - 5│-│ х - 8│= 3 равносильно совокупности неравенств:
х ≤ 5, х ≥ 8; то есть, получаем -5≤х≤5 или х≥8 или х≤-8.
Ответ: -5≤х≤5 или х≥8 или х≤-8.
Пример №2.
Решите уравнение │ 2х-1 +х │=5 и найдите сумму его корней.
Решение. Решим уравнение способом последовательного раскрытия модуля, хотя возможно используя схемы равносильности, решение получилось бы немного проще.
Уравнение │ 2х-1 +х │=5 равносильно совокупности двух систем:
2х-1 ≥ 0, х ≥ ½,
2х-1+х =5; 3х-1 =5;
2х-1 < 0 , х < ½,
1-2х+х =5; 1-х =5; х ≥ ½,
3х-1 ≥ 0,
3х-1=5;
3х-1 < 0,
1-3х =5; х < ½,
1-х ≥ 0,
1-х =5;
1-х < 0, х-1 =5; х ≥ ½, х ≥ ½, х ≥ ⅓, х = 2, х = 2, х = 2; х = -1⅓; х < ⅓ , х < ½, х = -1⅓; х = -4, х =-4.
х < ½, х= 6; х ≤ 1, х = -4; х > 1, х = 6;
Х₁ =2, Х₂ = -4
Х₁ +Х ₂ = 2- 4 = -2
Ответ: Х₁ +Х ₂ = -2
Пример № 3.
Решите неравенство. │ х²-8х+2 -х²│≥2х+2
Решение. Решим неравенство, используя геометрическую интерпретацию определения модуля. Неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
х²-8х+2 -х² ≥2х+2 , х²-8х+2 ≥ х²+2х+2, х²-8х+2 -х²≤- (2х+2); х²-8х+2 ≤ х²-2х-2; х²-8х+2 ≥х²+2х+2, х²-8х+2 ≤-(х²+2х+2); х²-8х+2 ≤х²-2х-2, х²-8х+2 ≥-х²+2х+2; х²-8х+2 ≥ х²+2х+2, х²-8х+2 ≤ -(х²+2х+2); х²-8х+2 ≤ х²-2х-2, х²-8х+2 ≥ -х²+2х+2;
-10х ≥ 0, х ≤ 0,
2х²-6х+4 ≤ 0; х²-3х+2 ≤ 0;
-6х+4 ≤ 0, х ≥ ⅔,
2х²-10х ≥ 0; х(х-5) ≥ 0; х²-3х+2 ≤0,
Д=9-8=1, х= 3±1 /2,
(х-2) (х-1) ≤ 0. Имеем: х ≤ 0,
(х-2) (х-1) ≤ 0; х ≥ ⅔, х(х-5) ≥ 0,
Ответ: х ∈ (-∞;0 ] ∪ [ 1; 2] ∪ [ 5; + ∞ )
Пример №4. Решите неравенство. │ 2 х² - х -3│≤ 2 х²+х+5
Решение. Решим неравенство, методом последовательного раскрытия модуля и, используя геометрическую интерпретацию его определения.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
2х² – х ≥ 0,
2х²- х-3 ≤ 2х² +х+5;
2х²- х < 0, х-2х²-3 ≤ 2х² +х+5;
2х² – х ≥ 0,
2х²- х-3 ≤ 2х² +х+5,
2х²- х-3 ≥ -(2х² +х+5);
2х²- х < 0, х-2х²-3 ≤ 2х² +х+5, х-2х²-3 ≥ (2х² +х+5); х (2х-1) ≥ 0, х (2х-1) ≥ 0,
-2х ≤ 8, х ≥ -4,
4х² ≥ -2; решений нет; х (2х-1) < 0, х ( 2х-1) < 0,
-4х² ≤ 8, решений нет,
2х² ≥ -2; х ≥ -1; х (2х-1) ≥ 0, х ≥ -4; х (2х-1) < 0, х ≥ -1.
Имеем: [-4; 0 ] ∪ [ ½; + ∞ ) ∪ ( 0; ½ )
Ответ: х ∈ [-4; +∞)
Пример №5. Решите неравенство. │ 3х+1 +х+1│≥ 2
3х+1 ≥ 0, х ≥ -⅓,
3х+1+х+1 ≥ 0; 4х+2 ≥ 2;
3х+1 < 0, х < -⅓,
-3х-1+х+1 ≥ 2; -2х ≥ 2; х ≥ - ⅓, х ≥ - ⅓,
4х+2 ≥ 2, х ≥ 0,
4х+2 ≤ -2; х ≤ - 1; х < -⅓, х ≤ - ⅓,
-2х ≥ 2, х ≤ - 1,
-2х ≤ -2; х ≥ 1.
-1 -⅓ 0 [ 0; + ∞)
-1 -⅓ 1 (- ∞; -1]
Ответ: х ∈ (-∞; -1] ∪ [0;+∞)
Пример №6. Сколько корней имеет уравнение 2 х -6 = 5 -х?
Решение. Решим уравнение, используя схемы равносильности.
Уравнение 2 х -6 = 5 -х равносильно системе :
Ответ: 4 корня
Пример №7. Сколько корней имеет уравнение: │ х -3 │ = а
Решение: Для решения уравнения построим графики функций у = │ х -3│ и у =а в декартовой системе координат х о у.
График функции у = │ х -3│получим из графика функции у= путем его сдвига вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо и отражением последнего относительно оси оу в верхнюю полуплоскость.
Графиком функции у = а является семейство прямых, параллельных 0Х.
Из рисунка видно что: если а = 0 , то уравнение имеет два корня если а < 3 – четыре корня если а = 3 – три корня если а > 3 – два корня
у=а, а>3
3 у=а, а=3
у=а, 0< а,<3
-3 3 Х
Ответ: если а < 0, то корней нет если а = 0 , а > 3 - два корня если а = 3 – три корня если а < 3 – четыре корня
Пример №8.
Сколько корней имеет уравнение │2х² -5 х +3│= а в зависимости от параметра а
Решение:
│2х² -5 х +3│= а
Построим графики функций у =│2х² -5х +3│и и у=а в декартовой системе координат хоу.
Для построения графика функции у =│2х² -5х +3│построим сначала график функции у =2 х² -5х +3 для х≥0. Затем отразим его относительно оси оу в левую полуплоскость, а затем отразим последний график относительно оси ох в верхнюю полуплоскость, тем самым получим исходный график функции у =│2х² -5х +3│.
График функции у= 2х² -5х +3 построим используя три замечательные точки: Вершина параболы: х₀ = в/2а = -⁻⁵⁄₄= ⁵⁄₄ = 1¼, у₀ =-0,125 = -⅛
Пересечение с осью ох: у = 0, 2х² -5х +3 =0, х = 1,5, х = 1
Пересечение с осью оу: х = 0, у = 3.
График функции у=а представляет собой семейство прямых параллельных оси абсцисс.
у у=а, а>3 у=а, а = 3 3 у=а, 0<а>3 ⅛ 0 х -⅛ Ответ: если а = 0, то четыре корня если 0 < а <⅛ - восемь корней если а = ⅛ - шесть корней если ⅛ < а < 3 - четыре корня если а = 3 – три корня если а > 3 – два корня
Комментарии