Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Что такое вложенные модули

• Решение на основе геометрической интерпретации определения модуля.

• Способ последовательного раскрытия модуля.

• Способ одновременного раскрытия модуля.

• Способ перебора.

• Метод интервалов.

• Метод схем равносильности.

• Графический способ.

• Способ возведения в квадрат.

• Решение задач на основе свойств модуля и др.

Мы решили достаточно большое количество примеров, но в нашей работе представляем вашему вниманию только несколько, на наш взгляд, типичных примеров, решенных различными способами, потому что остальные дублируют друг друга и чтобы понять, как решать примеры на вложенные модули нет необходимости рассматривать все решенные нами примеры.

Начнем с примера, решение которого основано на свойстве модуля.

Известен популярный факт, что точка прямой тогда и только тогда лежит вне отрезка прямой, когда модуль разности расстояний от точки до концов отрезка равен длине отрезка. С помощью модулей это можно записать в виде:

│ х-а - х-в │= а-в ⇔ х ≤ min (а, в) или х ≥ max (а, в)

Пример №1.

Решите уравнение. ││ х - 5│-│ х - 8│= 3

Решение.

Учитывая вышеизложенный факт уравнение ││ х - 5│-│ х - 8│= 3 равносильно совокупности неравенств:

х ≤ 5, х ≥ 8; то есть, получаем -5≤х≤5 или х≥8 или х≤-8.

Ответ: -5≤х≤5 или х≥8 или х≤-8.

Пример №2.

Решите уравнение │ 2х-1 +х │=5 и найдите сумму его корней.

Решение. Решим уравнение способом последовательного раскрытия модуля, хотя возможно используя схемы равносильности, решение получилось бы немного проще.

Уравнение │ 2х-1 +х │=5 равносильно совокупности двух систем:

2х-1 ≥ 0, х ≥ ½,

2х-1+х =5; 3х-1 =5;

2х-1 < 0 , х < ½,

1-2х+х =5; 1-х =5; х ≥ ½,

3х-1 ≥ 0,

3х-1=5;

3х-1 < 0,

1-3х =5; х < ½,

1-х ≥ 0,

1-х =5;

1-х < 0, х-1 =5; х ≥ ½, х ≥ ½, х ≥ ⅓, х = 2, х = 2, х = 2; х = -1⅓; х < ⅓ , х < ½, х = -1⅓; х = -4, х =-4.

х < ½, х= 6; х ≤ 1, х = -4; х > 1, х = 6;

Х₁ =2, Х₂ = -4

Х₁ +Х ₂ = 2- 4 = -2

Ответ: Х₁ +Х ₂ = -2

Пример № 3.

Решите неравенство. │ х²-8х+2 -х²│≥2х+2

Решение. Решим неравенство, используя геометрическую интерпретацию определения модуля. Неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

х²-8х+2 -х² ≥2х+2 , х²-8х+2 ≥ х²+2х+2, х²-8х+2 -х²≤- (2х+2); х²-8х+2 ≤ х²-2х-2; х²-8х+2 ≥х²+2х+2, х²-8х+2 ≤-(х²+2х+2); х²-8х+2 ≤х²-2х-2, х²-8х+2 ≥-х²+2х+2; х²-8х+2 ≥ х²+2х+2, х²-8х+2 ≤ -(х²+2х+2); х²-8х+2 ≤ х²-2х-2, х²-8х+2 ≥ -х²+2х+2;

-10х ≥ 0, х ≤ 0,

2х²-6х+4 ≤ 0; х²-3х+2 ≤ 0;

-6х+4 ≤ 0, х ≥ ⅔,

2х²-10х ≥ 0; х(х-5) ≥ 0; х²-3х+2 ≤0,

Д=9-8=1, х= 3±1 /2,

(х-2) (х-1) ≤ 0. Имеем: х ≤ 0,

(х-2) (х-1) ≤ 0; х ≥ ⅔, х(х-5) ≥ 0,

Ответ: х ∈ (-∞;0 ] ∪ [ 1; 2] ∪ [ 5; + ∞ )

Пример №4. Решите неравенство. │ 2 х² - х -3│≤ 2 х²+х+5

Решение. Решим неравенство, методом последовательного раскрытия модуля и, используя геометрическую интерпретацию его определения.

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

2х² – х ≥ 0,

2х²- х-3 ≤ 2х² +х+5;

2х²- х < 0, х-2х²-3 ≤ 2х² +х+5;

2х² – х ≥ 0,

2х²- х-3 ≤ 2х² +х+5,

2х²- х-3 ≥ -(2х² +х+5);

2х²- х < 0, х-2х²-3 ≤ 2х² +х+5, х-2х²-3 ≥ (2х² +х+5); х (2х-1) ≥ 0, х (2х-1) ≥ 0,

-2х ≤ 8, х ≥ -4,

4х² ≥ -2; решений нет; х (2х-1) < 0, х ( 2х-1) < 0,

-4х² ≤ 8, решений нет,

2х² ≥ -2; х ≥ -1; х (2х-1) ≥ 0, х ≥ -4; х (2х-1) < 0, х ≥ -1.

Имеем: [-4; 0 ] ∪ [ ½; + ∞ ) ∪ ( 0; ½ )

Ответ: х ∈ [-4; +∞)

Пример №5. Решите неравенство. │ 3х+1 +х+1│≥ 2

3х+1 ≥ 0, х ≥ -⅓,

3х+1+х+1 ≥ 0; 4х+2 ≥ 2;

3х+1 < 0, х < -⅓,

-3х-1+х+1 ≥ 2; -2х ≥ 2; х ≥ - ⅓, х ≥ - ⅓,

4х+2 ≥ 2, х ≥ 0,

4х+2 ≤ -2; х ≤ - 1; х < -⅓, х ≤ - ⅓,

-2х ≥ 2, х ≤ - 1,

-2х ≤ -2; х ≥ 1.

-1 -⅓ 0 [ 0; + ∞)

-1 -⅓ 1 (- ∞; -1]

Ответ: х ∈ (-∞; -1] ∪ [0;+∞)

Пример №6. Сколько корней имеет уравнение 2 х -6 = 5 -х?

Решение. Решим уравнение, используя схемы равносильности.

Уравнение 2 х -6 = 5 -х равносильно системе :

Ответ: 4 корня

Пример №7. Сколько корней имеет уравнение: │ х -3 │ = а

Решение: Для решения уравнения построим графики функций у = │ х -3│ и у =а в декартовой системе координат х о у.

График функции у = │ х -3│получим из графика функции у= путем его сдвига вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо и отражением последнего относительно оси оу в верхнюю полуплоскость.

Графиком функции у = а является семейство прямых, параллельных 0Х.

Из рисунка видно что: если а = 0 , то уравнение имеет два корня если а < 3 – четыре корня если а = 3 – три корня если а > 3 – два корня

        у=а, а>3    

    3   у=а, а=3    

          у=а, 0< а,<3

               

-3   3 Х

Ответ: если а < 0, то корней нет если а = 0 , а > 3 - два корня если а = 3 – три корня если а < 3 – четыре корня

Пример №8.

Сколько корней имеет уравнение │2х² -5 х +3│= а в зависимости от параметра а

Решение:

│2х² -5 х +3│= а

Построим графики функций у =│2х² -5х +3│и и у=а в декартовой системе координат хоу.

Для построения графика функции у =│2х² -5х +3│построим сначала график функции у =2 х² -5х +3 для х≥0. Затем отразим его относительно оси оу в левую полуплоскость, а затем отразим последний график относительно оси ох в верхнюю полуплоскость, тем самым получим исходный график функции у =│2х² -5х +3│.

График функции у= 2х² -5х +3 построим используя три замечательные точки: Вершина параболы: х₀ = в/2а = -⁻⁵⁄₄= ⁵⁄₄ = 1¼, у₀ =-0,125 = -⅛

Пересечение с осью ох: у = 0, 2х² -5х +3 =0, х = 1,5, х = 1

Пересечение с осью оу: х = 0, у = 3.

График функции у=а представляет собой семейство прямых параллельных оси абсцисс.

  у у=а, а>3       у=а, а = 3 3 у=а, 0<а>3 ⅛   0 х -⅛ Ответ: если а = 0, то четыре корня если 0 < а <⅛ - восемь корней если а = ⅛ - шесть корней если ⅛ < а < 3 - четыре корня если а = 3 – три корня если а > 3 – два корня

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)