Числа и их свойства

1. Число 365

Это число, прежде всего, замечательно тем, что определяет число дней в не високосном году. При делении на 7 оно даёт в остатке 1, эта особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Существует ещё одна особенность числа 365:

365=10x10x11x11x12x12, то есть 365 равно в сумме квадратов трёх последовательных чисел, начиная с 10:

10²+11²+12²=100+121+144=365.

Но и это ещё не всё. Число 365 равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и 14:

13²+14²=169+196=365.

Если человек не знает выше изложенных свойств числа 365, то он при решении примера:

10²+11²+12²+13²+14²

365 начнёт выполнять громоздкие вычисления.

Например:

10²+11²+12²+13²+14² ‗ 100+121+144+169+196 ‗ 221+313+196 ‗ 730

365 365 365 365

Человек же знающий решит этот пример в уме моментально и получит в ответе 2.

10²+11²+12²+13²+14² ‗ 365+365 ‗ 730

365 365 365

2. Число 999

Следующее число, которое я буду описывать - это 999.

Оно намного удивительнее, чем его перевёрнутое изображение - 666 - <<звериное число>> Апокалипсиса, вселяющее страх в суеверных людей, но оно по своим арифметическим свойствам ничем не выделяется среди других чисел.

Особенность числа 999 в том, что его можно легко умножить на трёхзначные числа. Тогда получится шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры являются дополнениями первых трех до

9. Например,

573x999=572427

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

_573 000

573x999=573x(1000-1)= 573

Зная эту особенность, мы можем мгновенно умножить любое трёхзначное число на 999. Например:

947x999=946053, 509x999=508491, 981x999=980019,

543x999=542457, 167x999=166833, 952x999=951048 и т. п.

А так как 999=9x111=3x3x3x37,то вы можете описать целые столбцы шестизначных чисел, кратных 37. Не знакомый же со свойствами числа 999, этого сделать не сможет.

3. Число 1001

Сначала рассмотрим число 1001. Это число сказок, которое царица Шехерезада рассказывала царю Шахрияру.

Число 1001 с первого взгляда кажется самым обыкновенным. Его можно разложить на три последовательных простых множителя 7, 11 и 13. Следовательно, оно является их произведением.

Но в том, что 1001=7x11x13 нет ничего интересного. Замечательно то, что если его умножить на любое трехзначное число, то в результате получится тоже самое число, записанное дважды. Нужно применить распределительный закон умножения.

Разложим 1001 на сумму 1000+1.

Например:

247x1001=247x(1000+1)=247x1000+247x1=247000+247=247247

4. Число 111111

Следующее число, о котором я хочу рассказать - это 111 111.

Благодаря знакомству со свойствами числа 1001 мы сразу видим, что

111 111=111x1001

Но мы знаем, что

111=3x37, 1001=7x11x13.

Отсюда следует, что наша новая числовая диковинка, состоящая из одних единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число, 111 111.

3x(7x11x13x37)=3x37037=111 111

7x(3x11x13x37)=7x15873=111 111

11x(3x7x13x37)=11x10101=111 111

13x(3x7x11x37)=13x8547=111 111

37x(3x7x11x13)=37x3003=111 111

(3x7)x(11x13x37)=21x5291=111 111

(3x11)x(7x13x37)=33x3367=111 111

(3x13)x(7x11x37)=39x2849=111 111

(3x37)x(7x13x11)=111x1001=111 111

(7x3)x(11x13x37)=21x5291=111 111

(7x11)x(3x13x37)=77x1443=111 111

(7x13)x(11x3x37)=91x1221=111 111

(7x37)x(11x3x13)=259x429=111 111

(11x13)x(7x37x3)=143x777=111 111

(37x11)x(13x7x3)=407x273=111 111

Глава II <<Фокус с числом>>:

Арифметические фокусы - честные, добросовестные фокусы. Здесь никто никого не стремится обмануть, ввести транс или усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить такой фокус, не нужны, ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие - либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Кружок товарищей, не посвящённых в математические тайны можно поразить следующими фокусами.

§1. Фокус № 1.

Запишите число 365 два раза: 365 365.

Разделите полученное число на 5: 365 365/5=73 0 73.

Разделите полученное частное на 73: 73 0 73/73=1001.

У вас получится число Шехерезады, то есть 1001.

Разгадка фокуса, очень проста: число 365=5x73. То есть число 365365 мы делим на 365 и получаем в ответе 1001.

§2. Фокус № 2.

Пусть кто-нибудь напишет любое трехзначное число, и затем к нему припишет еще раз это же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из повторяющихся цифр.

Предложите своему товарищу разделить это число в тайне от вас на 7. Результат нужно передать соседу, который должен разделить его на 11. Полученный результат передается следующему ученику, которого вы просите разделить это число на 13.

Результат третьего деления вы, не глядя, вручаете первому товарищу. Это и есть задуманное число.

Этот фокус объясняется очень просто. Если приписать к трехзначному числу его само - значит умножить его на 1001, или на произведение 7x11x13=1001. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к заданному числу его само, должно будет делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13.

§3. Фокус № 3.

Запишите любую цифру три раза подряд. Полученное число разделите на 37 и на 3. И у вас получится в ответе ваша цифра.

Разгадка: когда мы делим трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами вначале на 37, а затем на 3,то мы, не замечая, делим на 111.

§4. Фокус № 4.

Число 111 111 так же можно использовать для проделывания фокусов, как и число 1001. В данном случае надо предлагать товарищу число однозначное, и попросить записать его уже шесть раз подряд. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. п. Это дает возможность очень разнообразить выполнение фокуса.

Например: предложите своим товарищам задумать любую цифру, кроме нуля. Нужно умножить ее на 37. Затем умножить на 3. Результат приписать еще раз справа. Полученное число разделить на первоначально задуманную цифру.

Получилось число 111 111.

Разгадка фокуса основана на свойстве числа 111 111. Когда мы умножаем его на 1001 (со свойствами числа 1001 мы познакомились в предыдущей главе) и получилось задуманное число, записанное в начале. Далее при делении на задуманное число явно получается шесть единиц.

§5. Фокус № 5.

Пусть ваш товарищ запишет любое трехзначное число. Справа к нему нужно приписать три нуля. От шестизначного числа предложите отнять первоначальное трехзначное. Затем попросите товарища разделить на задуманное, полученный результат. Частное нужно разделить на 37.

Получилось число 27.

Секрет фокуса понять просто. Он основан на свойствах числа 999.

Число 999 является произведением четырех простых множителей:

3x3x3x37=999, а, следовательно, 999/37=27

Когда умножают на него трехзначное число, получается результат, состоящий из двух половин: первая - это умножаемое число, уменьшенное на единицу, а вторая - результат вычитания первой половины из множителя.

§6. Фокус № 6.

Число 111 111 111: можно также использовать для наших числовых фокусов:

Спросим у одноклассника его любимую цифру (от 1 до 9).

Попросим эту цифру умножить на 9, а затем полученное произведение умножить на число 123456789. В результате получится число, состоящее из любимых цифр одноклассника.

Например:

5 - это любимая цифра ученика, тогда

45x123456789=555 555 555 т. е. 9x123456789=111 111 111

Заключение:

Описать все эти числа, я поняла, что они не обладают никакими сверхъестественными особенностями. А то, что я описала, это всего лишь способы мгновенного деления и умножения в уме, к которым может прийти почти каждый человек, стоит лишь задуматься на некоторое время.

Мы живем в XXI веке, в век информационных технологий, и как я сказала во введении, появились компьютеры, калькуляторы, и т. п. , на которых можно моментально складывать, вычитать, умножать и делить многозначные числа. Но если, скажем, вам надо будет найти результат: 999x694, и у вас не будет под рукой калькулятора, то вы просто-напросто <<сядете в лужу>>, в то время как кто-нибудь сразу скажет ответ этого действия - 693306.

Эти интересные способы вычисления чисел очень могут помочь в школе, в вузе, на работе, и вообще в жизни. Так как в кругу товарищей можно загадывать интересные арифметические фокусы без обманов и волшебства. Исходя из всего вышесказанного, я делаю вывод, что эти и многие другие числовые диковинки желательно знать каждому. Эти знания обязательно понадобятся в жизни!!!