Анализ функциональных зависимостей физических величин

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую. Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

Расположение графиков линейной функции в координатной плоскости

Расположение графиков функции у=кх в координатной плоскости зависит от к. Из формулы у=кх находим, что у=к. Значит, график функции у=кх проходит через точку (1;к). При к>0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при к<0- четвёртой. Отсюда следует, что при к>0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатной четверти, а при k < 0 – в четвертой. Отсюда следует, что при k > 0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 – во второй и четвертой.

От коэффициента пропорциональности зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси х. Если k >0, то этот угол острый если k<0, то этот угол тупой; при увеличении коэффициента k увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент k в записи у = kx называют не только коэффициентом прямой пропорциональности, но и угловым коэффициентом.

Рассмотрим зависимости некоторых физических величин. Например графики равномерного прямолинейного движения.

Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением x(t) = x0 + υt.

В этом уравнении υ = const – скорость движения тела, x0 – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t = 0. На графике закон движения x(t) изображается прямой линией.

Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на графике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC

Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят, что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x(t). С точки зрения математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.

Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1. прямой II, найдем x0 = 4 м, υ = –1 м/с.

На рис. 2 закон движения x(t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными. Такое движение тела вдоль прямой не является равномерным. На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скорость. На графике это происходит в момент времени t1 = –3 с, t2 = 4 с, t3 = 7 с и t4 = 9 с. Нетрудно найти по графику движения, что на интервале (t2; t1) тело двигалось со скоростью υ12 = 1 м/с, на интервале (t3; t2) – со скоростью υ23 = –4/3 м/с и на интервале (t4; t3) – со скоростью υ34 = 4 м/с.

Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например, для закона движения, изображенного на рис. 1. 3. 2, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s = 0). За это время тело прошло путь l = 8 м.

Приведем еще примеры таких зависимостей физических величин, которые относятся к линейным. Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение. Известно, что при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой

υ = υ0 + at.

В этой формуле υ0 – скорость тела при t = 0 (начальная скорость), a = const – ускорение. На графике скорости υ(t) эта зависимость изображается прямой линией.

Графики скорости равноускоренного движения.

По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 3 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника АВС.

Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше ускорение тела.

График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt. Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. 3 полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены на рис. 3 для графика II. Время t принято равным 5,5 с.

Так как υ – υ0 = at, окончательная формула для перемещения s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:

Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к начальной координате y0 прибавить перемещение за время t:

Это выражение называют законом равноускоренного движения.

Графики скоростей для различных режимов движения тела с ускорением a = –g.

графики скоростей для трех случаев движения тела с ускорением a = –g. График I соответствует случаю свободного падения тела без начальной скорости с некоторой высоты h. Падение происходило в течение времени tn = 1 с. Из формул для свободного падения легко получить: h = 5 м (все цифры в этих примерах округлены, ускорение свободного падения принято равным g = 10 м/с2).

График II – случай движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 10 м/с. Максимальная высота подъема h = 5 м. Тело возвращается на землю через время 2 секунды.

График III – продолжение графика I. Свободно падающее тело при ударе о землю отскакивает (мячик), и его скорость за очень короткое время меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела не отличается от случая II.

Итак мы рассмотрели некоторые случаи характеристики линейных зависимостей физических величин.

Глава II.

«Графические методы исследования физических величин»

Рассмотрим простейший пример нахождения пути при равномерном движении

Пусть надо найти путь через 5 секунд

Аналитически S=v*t

Рассмотрим это произведение на графике

Графически это площадь ограниченная графиком (заштрихованная часть)

Таким образом видно, что S=v*t , есть графически площадь прямоугольника

В этом простейшем случае не видно преимущества графического метода, но наглядно видны пути перехода к графическому анализу.

Рассмотрим случай равноускоренного движения.

График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t. Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt. Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt. Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt. Это перемещение равно площади заштрихованной на рис. 5 полоски. Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt, можно получить, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF. Соответствующие построения выполнены для графика II. Время t принято равным 5,5 с.

В этом случае путь нельзя находить как простое произведение скорости и времени. Уравнение движения выглядит следующим образом

X=X0+V0 t +at2/2, а проекция перемещения на ось ОХ:

S= V0 t +at2/2

Можно перемещение рассчитать аналитически используя формулу. Также существует графический метод определения физических величин

На рисунке представлен график зависимости скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении. Рассмотрим малые промежутки времени так чтобы на каждом из них движение можно было считать равномерным. (изменение скорости за столь малый промежуток времени пренебрежимо мало)

В результате получим примерно такой вид графика:

Каждый участок 1,2,3,4 и т. д. представляет собой прямоугольник т. е. получим бесконечно много участков равномерного движения перемещение на каждом из которых найдем как площадь прямоугольника. Если рассмотреть сумму площадей всех участков получим геометрическую фигуру – трапецию рис. Тогда путь при равноускоренном движении в начальной скоростью не равной нулю есть графически площадь трапеции которая вычисляется по формуле: S=h(a+b)/2.

Аналогичным образом рассмотрим анализ другой физической величины: механическая работа:

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения

A = Fs cos α.

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Работа силы : A = Fs cos α

Если проекция силы на направление перемещения не остается постоянной, работу следует вычислять для малых перемещений Δsi и суммировать результаты:

Это сумма в пределе (Δsi → 0) переходит в интеграл.

Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком Fs(x)

Графическое определение работы. ΔAi = FsiΔsi.

Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить упругая сила пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу модуль которой пропорционален удлинению пружины

Растянутая пружина. Направление внешней силы совпадает с направлением перемещения F = Fs = kx, k – жесткость пружины.

Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике прямой линией.

Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

По площади треугольника можно определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу пружины:

Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы равна по модулю работе внешней силы и противоположна ей по знаку.

И последний пример, который предоставляется вашему вниманию – это нахождение работы совершенной идеальным газом при расширении (сжатии)

Работа при изобарно изменении объема газа равна произведению давления гаха на изменение объема.

A=p∆V или A=p(V2-V1)

При расширении газа силы давления совершают положительную работу, увеличивая объем газа. При сжатии газа внешние силы совершают отрицательную работу, поскольку изменение объема газ в этих формулах меньше нуля.

Если давление газа в процессе его расширения или сжатия изменяется, то работа определяется интегрированием в пределах от V1 до V2

Работа газа при расширении.

Работа численно равна площади под графиком процесса на диаграмме (p, V). Величина работы зависит от того, каким путем совершался переход из начального состояния в конечное.Во всех трех случаях газ совершает различную работу.

По рисунку можно проанализировать, когда газ совершает наибольшую работу, оценив площадь фигуры под графиком процесса.

Обратите внимание, что количество теплоты и совершенная работа зависят от вида процесса перехода из начального состояния в конечное, а изменение внутренней энергии не зависит от вида процесса и определяется только начальным и конечным состояниями газа.

Из анализа этого графика видно, что работа газа будет численно равна площади трапеции.

Как итог сравним приемы характеристики различных физических величин:

прямолинейное движение механическая работа работа идеального газа

Физические зависимости υ = υ0 +at. A = FS cosα A = p∆V

Тип функциональной линейная линейная линейная зависимости

Константы a - ускорение F - сила p - давление