Теория множеств

Прошлым летом в книге Станислава Лема "Звездные дневники Ийона Тихого" я прочитал о споре знаменитого члена Клуба Межгалактических путешественников, Мюнхгаузена космической эры Ийона Тихого и профессора Тарантоги.

Из выступления Ийона: "Высадка на планету Гесиод была очень трудна. Но когда я оказался на поверхности, то пожалел, что решил опуститься: на ней жили чудовища, более страшные, чем описанные в древних мифах греков. Навстречу мне вышла делегация из 1000 жителей планеты. У 811 из них был один глаз, как у циклопа Полифема, у 752—вместо волос были змеи, как у Медузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудовищ были одноглазы и змееволосы, 356 — одноглазы и имели рыбий хвост, 348 — змееволосы и с рыбьим хвостом, а 297 — одноглазы, змееволосы и с рыбьим хвостом. Старший из них обратился ко мне и сказал. "

И тут Ийона перебил профессор Тарантога: «Дорогой Ийон! Я готов поверить, что тебе приходилось встречать еще более страшных чудовищ, но я надеюсь, что законы математики на этой планете не превратились в мифы».

Что имел в виду профессор? Тогда я этого не понял

И только в третьем классе, когда на уроках математики мы начали изучение темы "Множества", я вернулся к этой задаче. Но материала школьной программы мне оказалось недостаточно, хотя логически мы решали задачу-шутку о мальчике, его отце и его дедушке, а также изучали операции над множествами – пересечение и объединение. Пришлось систематизировать и углублять эти знания.

2. Что такое множество?

Дать определение множества, как обычно, то есть, опираясь на более общее понятие невозможно, так как множество – это самое широкое понятие математики. Придется иллюстрировать его на примерах.

Часто говорят о вещах, объединенных некоторым общим признаком: множество рыб в океане; множество планет в Солнечной системе; множество учеников класса; множество видов деревьев в парке.

Определение: Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

t, u, v z – элементы, ( ( - фигурные скобки показывают, что элементы объединены в одно целое – множество А

А = (t, u, v z( t ( A 5 ( A

Основатель теории множеств Георг Кантор подчеркнул: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое".

Множества бывают конечные и бесконечные. Так, множество деревьев конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Само название "множество" наводит на мысль, что каждое множество содержит много (по крайней мере, два) элемента. Но это не так. В математике приходится рассматривать и множества, содержащие только один элемент (естественный спутник Земли – Луна), и также множества, не имеющие ни одного элемента (множество вечных двигателей). Это множество называют пустым и обозначают (.

Говорят, что некоторое множество включается в другое, если каждый элемент первого множества является также элементом другого. При этом первое множество называется подмножеством (или частью) второго.

Согласно сказанному, множество букв слова “жетон” является подмножеством множества букв слова “множества”, множество букв слова “нож” включается во множество букв слова “жетон”:

{Ж, Е, Т, О, Н} ( {М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В, А}

{Н, О, Ж} ( {Ж, Е, Т, О, Н}

Общеизвестно: всякая селедка – рыба, но не всякая рыба – селедка. В этой поговорке речь идет о двух множествах – множестве рыб вообще и множестве селедок в частности.

Аналогичная ситуация в загадке-шутке: идут два отца и два сына, сколько человек идут? По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец и его дед. Суть загадки относится к теории множеств, речь идет множестве сыновей (мальчик и его отец) и множестве отцов (отец и дед мальчика).

Решить загадку – значит, составить из них третье множество, которое и насчитывает три элемента. Это множество, состоящее из мальчика, его отца и его деда, - есть объединение множества отцов и множества сыновей.

3. Операции над множествами.

Поскольку множество можно изобразить в виде геометрических фигур, логические рассуждения тоже изображаются геометрически.

Метод геометрической иллюстрации логических рассуждений был предложен великим математиком 18 века петербургским академиком Леонардом Эйлером (1707–1783) и широко применялся английским математиком Джоном Венном (1834–1923), т. е. для наглядности множества и логические рассуждения изображаются в виде кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Эйлера-Венна.

Определение: Объединением (суммой) множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хоть в одно из слагаемых множеств.

А ( В = А + В

А = {мальчик, отец мальчика}

В = {отец мальчика, дед мальчика}

М = А ( В

М = {мальчик, отец мальчика, дед мальчика}

Но, очевидно, отец мальчика – сын его деда, т. е. отец мальчика принадлежит множествам А и В.

Определение: множество, состоящее из общих элементов множеств А и В, называется пересечением данных множеств или их произведением.

А ( В = А ( В

К = А ( В

К = {отец мальчика}

Возникает вопрос: а какие еще действия можно выполнять над множествами?

Определение: Разностью двух множеств А и В называется новое множество А – В или А\В, в которое входят все элементы множества А, не принадлежащие множеству В.

N = А - В

N = {мальчик}

Иными словами, множество N можно назвать дополнением к множеству В.

Вычитание множества В из А сводится к удалению из А общей части множеств А и В, т. е. их пересечения.

А - В = А – (А ( В)

А теперь обратимся к объединению множеств А и В или их сумме. В данном случае мы имеем дело со сложением множеств, имеющих общие элементы. Однако часто бывает, что некоторое множество является суммой своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих элементов (или, как обычно говорят, не пересекаются). В этом случае говорит, что некоторое множество разбито на непересекающиеся подмножества.

Обобщим все предыдущие рассуждения.

M = A ( B

М = {мальчик, отец мальчика, дед мальчика}

К = А ( ВК = {отец мальчика}

N = А – ВN = {мальчик}

E = B - AE = {дед мальчика}

M = N + K + E

N ( M N ( M E ( M

N ( A K ( A E ( B K ( B

Используя полученные знания можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна решение следующей задачи.

Задача 1: Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего уток?

A – множество уток, летящих впереди

А = {у1}

B – множество уток, летящих позади

В= {у2; y3}

M = A ( B

М= {у1; у2; y3}

N – множество уток, летящих позади

N = {у3}

К – множество уток, летящих впереди

К = {у1; y2}

M = N ( K

M = M1 ( M2 ( M3

M = {у1} ( {у2} ( {у3} - объединение непересекающихся подмножеств

M2 = {у2} – множество уток, обладающих свойством "одна между двумя"

М= {у1; у2; y3} – множество уток, обладающих свойством "три в ряд"

Ответ: всего уток 3.

Задача 2: Руководитель школьного хора составляет расписание репетиций: “Так. Четвертые классы. Их три: А, Б, В. Из четвертого А восемь человек. Не густо, но зато два солиста. Четвертый Б. О, это все певуны - всем классом записались. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из них он и состоит. ”

Переведем рассуждения руководителя хора на математический язык.

А – множество учеников 4а класса

Б – множество учеников 4б класса

В - множество учеников 4в класса

Х – множество учеников, поющих в хоре

К – множество учеников, участвующих в кукольном театре

Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре. У множеств А и X есть общие элементы, эти множества пересекаются, что и показано на рисунке.

А ( Х = М N (М) = 8

Четвертый Б. Это множество тоже пересекается со множеством X. Но ситуация здесь иная. Каждый элемент множества Б является элемент множества X. Иными словами, множество Б включено во множество X.

Б ( ХХ = Б ( М

Четвертый В. Хористов тут нет. Множества В и X непересекающиеся. А еще известно, что множество В и множество К состоят из одних и тех же элементов. Иначе говоря, множества В и К равны.

Х ( В = (В = К

Как мы убедились, диаграммы Эйлера-Венна очень удобны при работе с множествами и хорошо иллюстрируют соотношение между ними. Приведем пример двух видов задач с применением данных диаграмм.

4. Решение задач на соотношение указанных множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Задача 3: Заштрихуйте ту часть рисунка, которая соответствует множеству, полученному в результате действий над данными множествами (каждое из исходных множеств обозначено кругом): а) (A ( B) \ Cб) (B \ А) ( (B \ C)

Задача 4: По следующим диаграммам попробуйте составить соответствующие им выражения:

  Ответ: (A ( B) \ C Ответ: (В ( С) \ (В ( С) \ А или (A ( B) \ (A ( B ( С) или (С \ А \ В) ( (В \ А \ С)

5. Задачи из школьной жизни.

Задача 5: Ребята из 3 класса посещают два кружка - математики и русского языка.

В кружок математики ходят 11 человек, русского языка – 14, оба кружка посещают 5 человек. Не посещают ни один из кружков 8 учеников.

Сколько всего человек в классе?

К – множество учеников класса

М – множество учеников, посещающих кружок математики

Р – множество учеников, посещающих кружок русского языка

Н - множество учеников, не посещающих кружки

N (М) = 11N (Р) = 14N (М ( Р) = 5N (Н) = 8

Найдем количество учеников, посещающих только один кружок:

N (Р1) = N (Р) - N (М ( Р) = 14 – 5 = 9

N (М1) = N (М) - N (М ( Р) = 11 – 5 = 6

А теперь количество учеников 3 класса:

N (К) = N (Р1) + N (М1) + N (М ( Р) - N (Н) = 9 + 6 + 5 + 8 = 28

Ответ: В классе 28 учеников.

Задача 6: В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют "тройки" 19 человек, по математике 17 человек и по физике 22 человека. Только по одному предмету имеют "тройки": по русскому языку - 4 человека, по математике - 4 человека и по физике – 11 человек. 7 человек имеют "тройки" и по математике, и по физике, из них 5 имеют тройки и по русскому языку.

Сколько человек имеют "тройки" по двум из трех предметов?

Сколько человек учатся без "троек"?

К – множество учеников класса

N (К) = 40

Р - множество учащихся, имеющих "тройку" по русскому языку

N (Р) = 19

М - множество учащихся, имеющих "тройку" по математике

N (М) = 17

Ф - множество учащихся, имеющих "тройку" по физике

Рис. 12 N (Ф) = 22

Назовем множества учеников, имеющих тройки только по одному из предметов Р1, М1 и Ф1 соответственно.

Р1 ( Р N (Р1) = 4

М1 ( М N (М1) = 4

Ф1 ( Ф N (Ф) = 11

По условию задачи:

М ( ФN (М ( Ф) = 7

М ( Ф ( Р = Х1N (Х1) = 5

При пересечении множеств Р, М, Ф получилось 7 подмножеств, число элементов 4 уже известно.

Вычислим число элементов множеств учеников, имеющих только две тройки:

N (Х2) = N (М ( Ф) - N (Х1) = 7 – 5 = 2

N (Х4) = N (Ф) - N (Ф1) - N (Х1) - N (Х2) = 22 – 11 – 5 - 2 =4

N (Х3) = N (Р) - N (Р1) - N (Х1) - N (Х4) = 19 – 4 – 5 – 4 = 6

Таким образом, "тройки" по двум из трех предметов имеют

N (Х2) + N (Х3) + N (Х4) = 2 + 4 + 6 = 12 человек.

Не имеют "троек"

40 – (4 + 6 + 4 + 5 + 2 + 4 + 11) = 4 человека.

Ответ: 12 учеников имеют "тройки" по двум предметам, 4 ученика не имеют "троек".

6. Теория множеств в художественной литературе.

Задача 7: В рассказе Конан-Дойля "Пять апельсиновых зернышек" знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу понадобилось выяснить название одного парусного судна. Он знал об этом корабле не так уж много: в январе и феврале 1883 года оно было в Пондишере, в январе 1885 года – в Данде, а сейчас оно стояло в Лондонском порту.

Холмс сравнил три множества, т. е. нашел их пересечение:

А – множество парусников, находившихся в указанное время в Пондишере;

В - множество парусников, находившихся в январе в Данде;

С - множество парусников, находящихся сейчас в Лондоне.

И только один американский парусник входил во все три множества:

A ( B ( C = {"Одинокая звезда"}

В результате этого математического действия подтвердилось предположение Холмса, что преступники родом из Америки. Круг замкнулся и преступление было раскрыто.

А теперь настала пора вернуться к цели нашего исследования и доказать, что Ийон Тихий был не прав и что имел в виду профессор Танантога.

Задача 8: Навстречу Ийону вышла делегация из 1000 жителей планеты. У 811 из них был один глаз, как у циклопа Полифема, у 752—вместо волос были змеи, как у Медузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудовищ были одноглазы и змееволосы, 356 — одноглазы и имели рыбий хвост, 348 — змееволосы и с рыбьим хвостом, а 297 — одноглазы, змееволосы и с рыбьим хвостом.

Докажем ошибку межгалактического путешественника.

Если М – множество всех членов делегации, А – множество одноглазых, В – множество змееголовых, С – множество чудовищ с рыбьими хвостами, то из рассказа Ийона следует, что множества эти конечные.

N(M) = 1000,

N(A) = 811,

N(B)=752,

N(C)=418.

Из рассказа следует, что

N (A ( B) = 570,

N (A ( С) = 356,

N (В ( С) = 348,

N (A ( B ( C) = 297.

Рис. 13

На рисунке видно, что при взаимодействии множеств А, В, С образовалось семь подмножеств. Вычислим число элементов каждого подмножества.

N (M1) = N (A ( B ( C) = 297

N (M2) = N (A ( B) - N (A ( B ( C) = 570 – 297 = 273

N (M3) = N (A ( C) - N (A ( B ( C) = 356 – 297 = 59

N (M4) = N (B ( C) - N (A ( B ( C) = 348 – 297 = 51

N (M5) = N (A) - N (M1) - N (M2) - N (M3)= 811 – 297 – 273 – 59 = 182

N (M6) = N (B) - N (M1) - N (M2) - N (M4)= 752 – 297 – 273 – 51 = 131

N (M7) = N (C) - N (M1) - N (M3) - N (M4)= 418 – 297 – 59 – 51 = 11

Сумма элементов данных семи подмножеств равна 1004. Полученный результат противоречит утверждению Ийона о том, что его встречала делегация из 1000 чудовищ.

Теперь я понял, что имел в виду профессор Тарантога!

И вот еще одна задача, связанная с подсчетом численности конечных множеств. Ее придумал для одной из своих повестей известный детский писатель Льюису Кэрроллу, автор "Алисы в стране чудес". Кстати, на уроках чтения я узнал, что под этим псевдонимом писал профессор математики Чарлз Латуидж Доджсон.

Задача 9: В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 – одно ухо, 80 – одну руку, 85 – одну ногу. Каково минимальное число потерявших одновременно и глаз, и ухо, и руку, и ногу?

Предположим, что М – множество всех пиратов, А – множество одноглазых, В – множество одноухих, С – множество одноруких и D – множество одноногих. Теперь нам необходимо определить численность множества пересечений N (A ( B ( C ( D).

M = A + A1

M = B + B1

M = C + C1

M = D + D1

А1 – множество пиратов, оставшихся двуглазыми

N (А1) = N (М) – N (A) = 100 – 70 = 30

B1 – множество пиратов, оставшихся с двумя ушами

N (B1) = N (М) – N (B) = 100 – 75 = 25

C1 – множество пиратов, оставшихся с двумя руками

N (C1) = N (М) – N (C) = 100 – 80 = 20

D1 – множество пиратов, оставшихся двуногими

N (D1) = N (М) – N (D) = 100 – 85 = 15

М = А1 + В1 + С1 + D1 + (A ( B ( C ( D)

Численность множества М не больше суммы численностей множеств A1, B1, C1, D1 и A ( B ( C ( D. N (M) была бы равна сумме N(А1) + N(B1) + N(C1) + N(D1) + N (A ( B ( C ( D), если бы множества А1, В1, С1, D1 попарно не пересекались, но об этом в условии задачи не говорится.

100 ( 30 + 25 +20 + 15 + N (A ( B ( C ( D)

N (A ( B ( C ( D) ( 100 - 90

N (A ( B ( C ( D) ( 10

Значит, не менее 10 пиратов лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.

7. Заключение.

Чтобы решить возникшую проблему и понять, что имел в виде профессор Тарантога, пришлось изрядно потрудиться. Я обратился к дополнительным источникам и узнал много нового - не только полезного для решения данной задачи, но и просто очень интересного. Особенно удобными, красочными и наглядными были диаграммы Эйлера-Венна. Удивили новые понятия – умножение и вычитание множеств, а также аналогичность многих законов натуральных чисел и законов теории множеств.

Одним из результатов исследования стал сборник задач "Множество. Задачи из жизни нашего класса".

При подготовке работы я столкнулся с тем, что многие задачи по теме «Множество» мне пока не под силу и с ними лучше встретиться в следующих классах. Так что полученный способ решения может быть полезен и дальше, зона его применения будет расширяться вместе с объемом математических знаний.