Измерение длины кривых линий

С давних пор люди сталкивались с необходимостью определять расстояния, длины предметов, время, площади, объёма и так далее. Значение измерений возросло по мере развития общества и, в частности, по мере развития науки. Многие народы для определения расстояний использовали свои единицы измерения. Так, например, в России одна из старинных единиц измерения длины это аршин. Именно «образцовый аршин» увиденные мной в Тобольском музее-заповеднике во время экскурсии на уроке физики, вызвали большой интерес к измерению расстояний и желание заняться ее исследованием.

Используя качение диска по поверхности без проскальзывания можно обеспечить измерение длины объектов достаточно большой протяжённости как прямых, так и кривых линий.

Методы исследования: теоретические - анализ, конкретизация, аналогия, моделирование; эмпирические - экспериментальное создание и оригинальное применение модели курвиметра.

Практическая значимость исследования:

Широкий спектр в применении прибора, измеряющего длину кривых линий вызывал интерес к созданию и использованию модели курвиметра. Применить модель курвиметра можно при работе с географической картой во время измерения расстояний между населёнными пунктами. Кроме этого при измерении расстояний на сложных поверхностях, например, отдельные части кроя или при реставрации мебели изогнутые детали антиквариата.

§1 Из истории измерения расстояний

Известно, что измерить это значит сравнить измеряемую величину с единицей измерения. Например, в мультфильме «38 попугаев» измерение длины удава производились путём сравнения его длины с длиной мартышки, попугая.

В старину длину измеряли единицами, связанными с размерами человека. В России это маховая сажень мера имела два числовых значения – 152 или 176 см. , косая сажень мера имела два числовых значения – 216 или 248 см и локоть числовое значение меры колеблется от 38 до 46 см. Старая русская единица длины – аршин, которая составляла 71, 1см.

Единицы, применяемые в Англии и США это ярд, фут, дюйм. Торговцы тканями изобрели особую единицу измерений, получившую название ярд. Один ярд равен длине куска ткани, натянутого от подбородка до кончиков пальцев.

Со временем единицы были стандартизированы. Например, в Англии и США до сих пор пользуются единицами длины, связанными с размерами тела человека. Но они уже стандартизированы, то есть все футы одинаковы и равны примерно 30 см, все дюймы одинаковы и равны примерно 25 мм.

Для выяснения достоинств и недостатков древних единиц измерения выполнили измерение моего роста в разных единицах футах, пядях, с помощью локтей.

Результаты измерений трёх человек показывают, что старые единицы измерения имели одно достоинство - они всегда были под рукой. Но, с другой стороны существенный недостаток, а именно у каждого человека получался свой результат. Кстати благодаря этому недостатку появилось выражение «мерить на свой аршин».

Наличие в каждой стране своих единиц длины создавало определенные неудобства в развитии торговли, обмене научной информацией и т. д. Поэтому ученые пришли к выводу, что во всем мире нужны одинаковые единицы длины и других физических величин. По предложению Парижской академии наук в 1791 году (во времена Французской буржуазной революции) за единицу длины была принята одна сорокамиллионная часть парижского географического меридиана. Эту единицу назвали метром (по-гречески это означает "мера"). Был изготовлен эталон в виде платиновой линейки шириной 25 мм, толщиной 4 мм и длиной 1 м.

 Со временем длина меридиана была точно измерена и, оказалось, что изготовленный эталон не соответствует одной сорокамиллионной его части. Но в качестве единицы длины все-таки была оставлена длина изготовленного ранее эталона. По его образцу в 1882 году был изготовлен новый эталон из сплава платины с иридием, который хранится во французском городе Севре в Международном бюро мер и весов. А 33 копии этого эталона хранятся в разных странах мира. В России хранятся копии №28 и №11.

На практике для измерения длины пользуются самыми различными средствами. Например, размеры очень маленьких предметов, плохо различимых невооруженным глазом, можно определить с помощью микроскопа. При измерении больших расстояний используются сложные геодезические приборы. Для определения космических расстояний используются радиолокаторы и другие.

§2 Криволинейное движение

Кривые линии описываются в физике при изучении криволинейного движения в разделе механических явлений. Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек, падение теннисного мячика, брошенного под углом к горизонту.

Частные случаи криволинейных движений.

1. Движение по окружности, например, движение автомобиля по окружности.

2. Криволинейное движение с горизонтальным направлением начальной скорости, например движение лыжника с трамплина.

3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, например траектория салюта.

4. Колебательное движение, например маятниковые часы.

Для измерения длины кривых линий пользуются курвиметром.

Курвиметр (от лат. curvus — кривой и. метр), прибор для измерения длин отрезков кривых и извилистых линий на топографических планах, картах и графических документах. Курвиметры изготовляют с круговыми и прямолинейными шкалами.

Устройство и принцип действия заводского курвиметра

Основанием курвиметра (1) служит колёсико (4), длина окружности которого известна.

Вращение колесика передается на стрелку (3), поворачивающуюся по круговой шкале

Зная число оборотов колесика, катящегося по измеряемой линии, легко определить и ее длину. При измерении расстояния нужно стрелку установить на нулевое деление и прокатить колесико вдоль маршрута. Полученный в сантиметрах отсчет умножить на величину масштаба и в результате получим действительное расстояние на местности. У курвиметров новых образцов шкалы на циферблате построены с учетом масштабов карт и отсчеты сразу же показывают расстояния в километрах и метрах.

Различают механические курвиметры с ценой деления в сантиметрах и дюймах. Имеются также электронные курвиметры.

§3 Создание модели курвиметра

Самодельный курвиметр, изготовленный нами представляет собой круг, вырезанный из картона и закреплённый на резинку простого карандаш с помощью кнопки. Картонный диск свободно вращается по любой поверхности. Курвиметры имеют разную длину окружности 3 см; 10 см и 20 см, что соответствует приделам их измерения при выполнении одного полного оборота. Все курвиметры поделены на несколько секторов, что соответствует цене деления прибора. У всех цена деления одинаковая и равна 5 мм. Погрешность приборов 2,5 мм.

Алгоритм изготовления курвиметров разной длины окружности

1) Известно, что длина окружности определяется по формуле l=2**R

Если длина первого диска курвиметра равна 3 см, то радиус будет определён по формуле

Вычислим радиус, подставляя вместо l=3 см

R== 0,5 см

Диаметр окружности D=1 см.

Градуирование курвиметра будет с шагом или ценой деления 0,5 см, что соответствует отношению длины окружности на цену деления= 6 секторам (=600).

2) Если длина второго диска курвиметра равна 10 см, то радиус будет определён по формуле

Вычислим радиус, подставляя вместо l=10 см

R== 1,5 см

Диаметр окружности D=3 см.

Градуирование курвиметра будет с шагом или ценой деления 0,5 см, что соответствует отношению длины окружности на цену деления= 20 секторам (=180).

3) Если длина третьего диска курвиметра равна 20 см, то радиус будет определён по формуле

Вычислим радиус, подставляя вместо l=20 см

R==3 см

Диаметр окружности D=6 см.

Градуирование курвиметра будет с шагом или ценой деления 0,5 см, что соответствует отношению длины окружности на цену деления =40 секторам (=90).

Принцип работы курвиметра

1) Определить число полных оборотов, совершаемых диском от начала до конца кривой линии n- число оборотов

2) Зная длину диска курвиметра l и число полных оборотов n вычислить расстояние кривой линии S= l * n

Примечание: если имеются остатки, то вычислить сумму произведений длины окружности диска на число полных оборотов и количество секторов в остатке на цену деления прибора.

S=l*n+k*d

S- расстояние кривой линии l- длина окружности диска курвиметра n- число оборотов k- количество секторов в остатке d- цена деления прибора

§4 Применение модели курвиметра

Во - первых, курвиметр можно применить в туризме для того, чтобы узнать, сколько намеченного пути предстоит пройти туристам. Для этого используют географическую карту – уменьшенное и обобщённое изображение земной поверхности на плоскости с помощью математической основы и условных знаков. Результаты измерений с помощью модели курвиметра с длиной диска 3 см.

Во-вторых, курвиметр можно применить в военных целях, чтобы узнать, какое расстояние нужно пройти до заданной точки. Обычно используют топографическую карту — уменьшенное и обобщенное изображение земной поверхности, созданное по единой математической основе и оформлению, передающее размещение и свойства основных природных и социально-экономических объектов местности.

В-третьих, данный прибор можно применить при измерении расстояний на сложных поверхностях, например отдельные детали кроя. Результаты измерений с помощью модели курвиметра с длиной диска 3 см.

Кроме этого курвиметр можно применить дизайнеру при работе с антиквариатом, например при измерении изогнутой спинки стула или другой мебели.

Заключение

Исследовательский проект позволил нам, во-первых, рассмотреть достоинства и недостатки единицы измерения в старину, во-вторых, создать и применить прибор для измерения длины, как кривых, так и прямых линий.

Достоинства курвиметра

Во-первых, прямой способ измерения, то есть непосредственно с прибора снимается показание физической величины.

Во-вторых, есть возможность измерения длины предметов больших протяжённостей как прямых, так и кривых линий.

I. Описание единиц измерения расстояний в древности и выполнение измерения длины старинными способами позволило убедиться в неудобстве таких единиц измерения.

II. Создание и применение прибора для измерения длины кривых линий, показало, что курвиметр обладает существенными достоинствами:

1) прямой способ измерения;

2) есть возможность измерять длину предметов больших протяжённостей как прямых, так и кривых линий.

III. Используя качение диска по поверхности без проскальзывания можно обеспечить измерение длины объектов достаточно большой протяжённости как прямых, так и кривых линий, то есть гипотеза выдвинутая в начале исследования является верной.