Замечательные линии и точки в треугольнике

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширны, как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться

Е. Пе. Белл

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но математика росла и развивалась, особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить её к числу второстепенных математических направлений. Но этого делать нельзя, так как геометрия – увлекательная наука, которая широко используется на практике, поэтому она нужна всем людям и должна остаться на подобающем месте в математике.

В своей работе я буду использовать следующие обозначения:

A, B, C – вершины рассматриваемого треугольника

Против углов A, B, C лежат соответственно стороны a, b, c.

ma – медиана, соединяющая вершину A треугольника с серединой стороны a.

βa – биссектриса угла A.

ha – высота треугольника, опущенная из вершины A на сторону a.

Из курса школьной геометрии мы знаем много теорем и свойств, с помощью которых мы можем решать различные задачи.

Например.

В равностороннем треугольнике ABC со стороной 6 см. проведена высота BD. Из угла A проведена биссектриса, пересекающаяся с высотой BD в точке O. Найдите BO, DO.

Решение.

∆ABD – прямоугольный, так как BD – высота. AD = AD = 3 см. (по свойству стороны, лежащей напротив угла в 300. так как высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой)

По теореме Пифагора имеем,

BD2 = AB2 – AD2;

BD2 = 36 - 9;

BD2 = 27;

Значит, BD = (см. )

∆AOB равнобедренный, так как (AO – биссектриса , BD – высота равностороннего треугольника)

Тогда BO = AO = x см.

∆AOD – прямоугольный.

OD = AO (лежит напротив )

BD = BO + DO x + x = ;

1,5x = ; x=2

Значит, BO = 2 см. , тогда (см. )

Ответ: 2. , см.

Эту задачу можно было бы решить намного проще, если бы знали теорему о точке пересечения медиан треугольника.

Вообще многие задачи по геометрии могли бы иметь простые решения, если бы знали теоремы о соотношениях между элементами треугольника.

Поэтому я считаю, что эта тема важна, зная теоремы о точках и линиях треугольника, мы сможем решить более сложные задачи.

Глава I.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

1. Основные определения.

Напомню основных понятий, используемых в работе:

А) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

AD = ma – медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A к стороне BC = a

Три медианы пересекаются в одной точке (всегда внутри треугольника), являющейся центром тяжести треугольника.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а три медианы – на шесть равновеликих треугольников

. Если O – точка пересечения медиан треугольника ACD, то SACD = 3SAOD = 3SAOC =

= 3SDOC.

O – центр тяжести треугольника ABC

Б) Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.

AD = βa – биссектриса угла А в треугольнике ABC

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (всегда внутри треугольника), являющейся центром вписанного круга или ицентром.

Q – ицентр треугольника ABC

В) Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение. Сторона, на которую опускается перпендикуляр, называется основанием треугольника.

BN = hb – высота, опущенная из вершины B на сторону AC = b

В тупоугольном треугольнике две высоты опускаются на продолжение двух сторон, образующих тупой угол, а третья высота лежит внутри треугольника.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

F – ортоцентр треугольника ABC

1. 2. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Дано: ∆ ABC,

BE, AD, CK – медианы,

BE∩AD∩CK = O.

Доказать: BO:OE = 2 :1

Доказательство:

1) Построим четырёх угольник MNDE, где M и N – середины отрезков AO и BO соответственно, тогда MN – средняя линия треугольника ABO. По теореме о средней линии треугольника MN AB и MN = AB в треугольнике ABO.

2) Т. к. точка D – середина стороны BC, а точка E – середина стороны AC, то ED – средняя линия треугольника ABC. Значит, по теореме о средней линии треугольника ED AB, ED = AB

3) Из (1) и (2) пунктов следует, что MNED, MN=ED.

Тогда по признаку параллелограмма четырёхугольник MNDE – параллелограмм.

4) MD и NE – диагонали параллелограмма MNDE. По свойству диагоналей параллелограмма NO = OE, а так как BN = NO, то BN = NO = OE.

5) Следовательно, точка O делит медиану BE в отношении BO : OE = 2 : 1.

В таком же отношении эта точка делит медиану AD.

6) Аналогично можно доказать, что в таком же отношении точка O делит медиану CK. При этом CK не может пересечь AD и BE в разных точках, отличных от O, так как тогда на каждой медиане имелись бы две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины, что невозможно.

Теорема доказана

3. Формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон.

Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле ma = , где a, b, c – стороны треугольника.

Докажем справедливость этой формулы

Дано: ∆ ABC

AD – медиана.

Доказать: AD =

Доказательство:

1) Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма)

2) Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторону

Составим уравнение

AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2

(2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2

4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2

Значит, данная формула справедлива.

Что и требовалось доказать.

1. 4. Свойство медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Дано: ∆ABC – прямоугольный, с

CM - медиана

Доказать: СМ = AB

Доказательство:

1) Пусть CM – медиана прямоугольного треугольника ABC. Достроим треугольник до параллелограмма ACBD.

2) ACBD – прямоугольник, поскольку треугольник ACB – прямоугольный. Следовательно, по свойству диагоналей прямоугольника, AB = CD = 2CM, а значит СМ = AB

Что и требовалось доказать.

1. 5. Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

Дано: ∆ ABC

AD – биссектриса угла A

γ Доказать: =

Доказательство:

1) Продолжим биссектрису AD до пересечения в точке E с прямой CE AB.

Имеем α = β (1) (по условию, так как AD – биссектриса) и α = γ (2) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CE и секущей AE).

Из равенств (1) и (2) имеем, что β = γ.

2) Следовательно, ∆ ACE – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). Тогда CE = AC = b. ∆ CED подобен ∆ BAD (по двум углам: ADB = EDC (как вертикальные) и ABC = ECB (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CE и секущей ВС)).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон

= , а так как AC = CE, то

Что и требовалось доказать.

1. 6. Формулы, выражающие длину биссектрисы треугольника через длины его сторон.

Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле βс = , где a, b – длины двух сторон треугольника ABC, a1, b1 – отрезки третьей стороны. Докажем это.

Дано: ∆ ABC,

CD = βс - биссектриса угла С

D Доказать: βс =

Доказательство:

Применив теорему косинусов к треугольникам с равными углами BCD и ACD, составим уравнение

, откуда b(βс2 + a2 – a12) = a(βс2 + b2 – b12) или

βс2(b – a) – ab(b – a) = (a1b)a1 – (ab1)b1.

Используя равенство ab1=a1b (так как биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам), получаем

(b – a) - ab) = ab1a1 – a1bb1 или

(b – a)( - ab) = - a1b1 (b – a).

Полагая, что b≠a, разделим обе части последнего равенства на (b – a), откуда получим

- ab = -a1b1

= ab – a1b1

Значит, доказываемая формула верна.

Что и требовалось доказать.

Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле

Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника,

βс - биссектриса угла С

Доказать: βс =.

Доказательство:

Запишем формулу = ab – a1b1 в виде = ab – a1(c – a1). Используя теорему о том, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим

, ac – aa1 = ba1; ac = a1(b + a);

Отсюда находим

Тогда βс =.

Что и требовалось доказать.

в) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле βс = , где a и b – стороны треугольника, γ - угол между ними.

Дано: ∆ABC,

CC1 = βс – биссектриса угла С

Доказать: βс =

Доказательство:

Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b, γ. Тогда , или

, откуда

Что и требовалось доказать.

1. 7. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

Если O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, отрезок AA1 – биссектриса угла A, то выполняется равенство

AO:OA1 = (b + c) : a.

Дано: ∆ ABC

AA1 – биссектриса угла A,

BB1 – биссектриса угла B,

AA1∩BB1 = O

Доказать: AO:OA1 = (b+c):a

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник АВС.

По свойству биссектрисы угла имеем

BA1b = ca – BA1· с,

BA1(b+c) = ca,

2) Рассмотрим треугольник ABA1.

Отрезок BO – биссектриса угла B, поэтому , и тогда получим

, т. е. AO:OA1=(b+c):a.

Что и требовалось доказать.

1. 8. Теорема о точке пересечения высот в остроугольном треугольнике.

Точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC делит его высоту BB1 на отрезки, отношение которых, считая от вершины, равно.

Дано: ∆ ABC – остроугольный,

O – точка пересечения высот треугольника,

BB1 – высота.

Доказать:

Доказательство:

1) BB1 и CC1 – высоты, которые пересекаются в точке O.

Из прямоугольного треугольника C1BO найдём

2) Из прямоугольного треугольника C1BC найдём

3) Из двух выведенных соотношений и из теоремы синусов следует, что

(так как ).

4) Теперь найдём отношение BO к OB1

Значит, доказываемое отношение справедливо.

Замечание. Если один из углов треугольника тупой, то в равенстве (1) косинус нужно взять по модулю, поскольку отношение BO к OB1 должно быть выражено в положительных числах.

1. 9. Формула, выражающая длину высоты треугольника через длины его сторон

Высоту треугольника можно найти, если знать длины его сторон, по следующей формуле.

Докажем её справедливость.

Дано: ∆ ABC, a, b , с – стороны треугольника, ha – высота, опущенная на сторону a

Доказать:

Доказательство:

Зная длины сторон треугольника, найдём площадь ∆ ABC по формуле Герона

Ещё площадь треугольника можно найти по формуле

Значит, = , тогда

Следовательно, доказываемая формула верна.

Что и требовалось доказать.

1. 10. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра.

Из треугольника BC1C имеем:

, тогда по теореме синусов

Докажем это.

(2). Подставим (1) в (2), получим , тогда.

Подставляя значение b в равенство (*), получим

Что и требовалось доказать.

1. 11. Расстояние от вершины треугольника до ицентра.

Из теоремы о точке пересечения биссектрис следует, что

Так как , то , где.

Отсюда можно доказать, что.

Доказательство.

Возведём обе части равенства в квадрат, получим так как , , отсюда.

Что и требовалось доказать.

Глава II.

Примеры применения свойств замечательных линий и точек треугольника.

Чтобы понять целесообразность данной работы, рассмотрим для сравнения решения нескольких задач традиционным способом, который используется в школьном курсе и с помощью формул, выведенных в главе I.

Пример 1.

Вернёмся к задаче, решение которой приведено во Введении.

В равностороннем треугольнике ABC со стороной 6 см. проведена высота BD. Из угла A проведена биссектриса, пересекающаяся с высотой BD в точке O. Найдите BO, DO.

Дано: ∆ABC – равносторонний,

AB = BC = AC = 6 см.

BD – высота,

AE – биссектриса,

EBD∩AE = O.

Найти: BO, DO.

Решение:

1) Поскольку равносторонний треугольник является равнобедренным, то по свойству биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника AE и BD – медианы.

2) По теореме о точке пересечения медиан треугольника.

3) Т. к. BD – медиана, т. е. AD = DC = 3 (см. ), то по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC (, поскольку BD – высота) имеем:

4) Пусть OD = x (см. ), тогда OB = 2x (см. ). Известно, что OD + OB = (см. ), т. е.

x + 2x = ;

3x = ; x =.

Значит, OD =(см. ), OB = 2·(см. ).

Ответ: (см. ), 2·(см. ).

Обратимся к одной из задач, предложенных в примерных вопросах к итоговой аттестации по геометрии за курс основной школы. («Вестник образования» №6 2007 г. )

Пример 2.

Стороны треугольника равны 4 см. , 5 см. и 8 см. Найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла.

Дано:∆ABC,

BD – медиана,

AB = 4 см. , BC = 5 см.

AC = 8 см.

Найти: BD

Решение:

I способ.

1) По определению медианы AD = CD = = 4 см.

2) Из ∆ABC по теореме косинусов имеем:

25 = 16 + 64 – 2 · 4 · 8 · cos , откуда.

3) Также из ∆ABD по теореме косинусов

, тогда

II способ.

Воспользуемся формулой, доказанной в пункте 1. 3 I главы:

BD = (см. )

Ответ: см.

Заключение.

Начав с хорошо известных элементарных утверждений, я выявил ряд простых, но важных фактов, которые позволяют решить многие задачи школьного курса более рационально.

Работа написана в соответствии с программой по геометрии для подготовки к ЕГЭ, приведены сведения справочного характера, доказаны теоремы, которые не рассматриваются в школьном курсе, даны примеры, подтверждающие целесообразность их применения.