Вписанная и описанная окружность

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать 2 окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Построение центра и радиуса Свойства основных геометрических фигур, теоремы и утверждения, связанные с ними Формулы для вычисления радиуса описанной окружности описанной около треугольника окружности

Остроугольный треугольник Теорема 1

Свойства точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно:

каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

NH ⊥ AB

AH = HB =>AM=MB

NH – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

1) Точка О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Это утверждение при решении задач используется ещё и следующим образом:

треугольника, является центром описанной окружности.

2) Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точкой О, являются радиусами описанной окружности

ВО = АО = СО = R

Если точка О – точка пересечения двух серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника, то перпендикуляр ОК к третьей стороне так же является серединным перпендикуляром.

Теорема синусов

Стороны треугольников пропорциональны синусам противолежащих углов

Из теоремы следует следующее утверждение:

где р – полупериметр

Прямоугольный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения:

1) центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине , гипотенузы

О АВ и АО = ОВ; где a и b – катеты прямоугольного треугольника,

2) медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, т. е. ОС = АВ;с – гипотенуза.

3) АО = ОВ = ОС = R;

4)Δ АОС и СОВ – равнобедренные с основанием АС и СВ соответственно.

Тупоугольный треугольник Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

Равнобедренный треугольник 1) т. О – центр окружности, лежит на высоте (медиане, биссектрисе), проведенной к основанию ОВН (высота, проведенная к основанию);

2) Δ ВМО ∼ Δ АНВ (по двум углам)

3) Δ АОВ = Δ ВОС – равнобедренные с основаниями АВ и ВС соответственно.

Δ АОС – равнобедренный с основанием АС;

4) ВН = ВО + ОН = R + ОН, следовательно,

ОН = ВН – R.

5) Δ АОН – прямоугольный

,где а – основание равнобедренного треугольника, h – высота, проведенная к основанию.

Описанные треугольники

Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот треугольник.

Теорема 1:

В каждый треугольник можно вписать окружность.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим произвольный Δ АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис.

Проведем из точки О перпендикуляры соответ- ственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка

О равноудалена от сторон треугольника АВС, то

ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром

О радиуса ОК проходит через точки К, L, и М.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Δ АВС.

Замечание.

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности, тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Построение центра и радиуса вписанной в треугольник окружности Свойства основных геометрических фигур, теоремы и утверждения, связанные с ними Формулы для вычисления радиуса вписанной окружности

Общий вид треугольника Теорема 1

Свойство точек, лежащих на биссектрисе угла:

каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (т. е. равноудалена от прямых, содержащих стороны угла).

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. ?

где S – площадь треугольника

- полупериметр.

1) Точка О – точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, является центром вписанной в треугольник окружности.

2) перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника из точки О –

являются радиусами вписанной в треугольник окружности

ОН = ОМ = ОN = r.

АЕ – биссектриса МАN

К АЕ => FK = KM

FK ⊥ AM и КН ⊥ AN

Теорема 2

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Это утверждение при решении используют ещё и следующим образом:

утверждается, что если две биссектрисы пересекаются в точке О, то луч, исходящий из вершины С и проходящий через точку О является биссектрисой угла С треугольника АВС.

Теорема 3

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

где Р = a + b + c – периметр треугольника,

r – радиус вписанной окружности.

Теорема 4

Свойство отрезков касательных:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Использование этой теоремы для треугольника, в который вписана окружность.

Точки М, N, К – точки касания окружности со сторонами треугольника АВ, ВС, АС

соответственно.

Следовательно, АК = АМ, ВМ = ВN, NС = КС.

Частные виды треугольников

Прямоугольный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения: Кроме вышеуказанных формул

1) четырехугольник СМОР – квадрат а) СМ = МО = ОР = СР = r б) СО – биссектриса угла С, отрезок СО – диагональ квадрата.

Следовательно, МСО = РСО = 450.

2) отрезки АМ = AN; МС = СР; NВ = ВР.

Пусть АС = b; СВ = а; АВ = с, тогда

РВ = СВ – СР = а – r

AM = AC – AM = b – r

AB = AN + NB или с = (a – r) + (b – r)

Значит,

Равнобедренный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения: Использовать общие формулы

1) Δ АОС – равнобедренный с основанием АС и высотой, проведенной к основанию ОН = r;

2) Δ МВО ∼ Δ АВН (по двум углам)

АВН – общий

ВМО = ВМА = 900,

Следовательно, или

Точка О – центр вписанной окружности, лежит на высоте, проведенной к основанию.

Вписанные четырехугольники

Если все вершины четырехугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около четырехугольника, а четырехугольник вписанным в эту окружность.

Теорема 1:

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов его равны 1800.

Доказательство:

А ВСD по теореме о вписанном угле - вписанный угол измеряется половиной

C ВAD дуги, на которую он опирается

Значит, А + C = ( ВСD + ВAD) = 3600 = 1800

Теорема 2:

Справедливо и обратное утверждение – четырехугольник можно вписать в окружность (около четырехугольника можно описать окружность), если сумма противолежащих углов его равна 1800.

1) Пусть в четырехугольнике ABCD А + C = 1800.

2) Проведем окружность через три вершины ABCD – А, В и D и докажем, что окружность проходит через С, то есть является описанной около ABCD.

3) Предположим, что это не так – пусть C лежит вне круга.

C ( DAB - EF) по теореме: если через точку, лежащую вне окружности провести две секущие, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла

C DAB

4) А ВED, то

А + C < ( ВED + DAB) = 3600 = 1800

А + C < 1800 – это противоречит условию, значит предположение неверно.

Вершина С не может лежать внутри круга.

5) Значит: вершина С лежит на окружности.

Вписанные четырехугольники

1) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность;

2) Диагональ трапеции делит её на два треугольника, вписанных в окружность этого же радиуса, то есть Δ ABD и Δ BCD – вписаны в данную окружность;

3) При решении задач можно использовать

а) Δ BFO – прямоугольный,

BF = , ВО = R, FH = x, тогда ВН2 = BF2 + FO2, то есть

R2 = ()2 + x2.

б) Δ AOH – прямоугольный, AO = R, AH = ,

OH = h – x, тогда

AO2 = AH2 + OH2, то есть

R2 = ()2 + (h – x)2.

4) Либо рассмотреть Δ ACD, который вписан в туже окружность, что и равнобедренная трапеция ACD и использовать формулы для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность (около четырехугольника можно описать окружность) если сумма противолежащих углов равна 1800:

α + γ = 1800 и β + δ = 1800.

2) Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов его равны

α + γ = 1800 и β + δ = 1800.

3) Теорема Птолемея.

Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника, вписанного в окружность, равна произведению диагоналей ac + bd = e*f

4) Площадь четырехугольника, вписанного в окружность:

- полупериметр.

5) Δ ABС и Δ АCD – треугольники, вписанные в окружность. Поэтому радиус окружности, описанной около четырехугольника можно найти через радиус окружности, описанной около Δ

ABС и Δ АCD.

Частные виды прямоугольников

Прямоугольник 1) Около любого прямоугольника можно описать окружность.

2) Диагонали прямоугольника делят прямоугольник на два прямоугольных треугольника, вписанных в эту окружность, , где

Δ ABС и Δ АDС – прямоугольные, вписанные в окружность. d – диагональ прямоугольника.

a и b – стороны прямоугольника.

1) точка О – точка пересечения диагоналей BD и AC – является центром описанной окружности.

2) половина диагонали является радиусом описанной окружности

AO = BO = OC = OD = R.

Описанные четырехугольники

Если все стороны четырехугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в четырехугольник, а четырехугольник – описанным около этой окружности.

В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Это свойство легко установить, используя рисунок.

Четырехугольник АВСD описан около окружности.

MB = BN = c

AM = AF = b по свойству

NC = CK = p отрезков касательных

FD = KD = a

Из этого мы получаем:

АВ + CD = AM + MB + DK + KC = b + c + a + p

AD + BC = BN + NC + AF + FD = c + p + b + a

Значит и в самом деле в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

В данном случае: AB + CD = AD + BC.

Оказывается, верно, и обратное утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Для доказательства этого свойства возьмем выпуклый четырехугольник ABCD, в котором суммы противоположных сторон равны (AB + CD = BC + AD).

Проведем биссектрисы углов А и В, точкой пересечения биссектрис будет точка О (точка О равноудалена от AD, AB, BC). Проведем окружность с центром О, касающуюся трех сторон четырехугольника: AD, AB, BC. Теперь докажем, что окружность касается и четвертой стороны четырехугольника – CD, то есть, является вписанной в ABCD. Пойдем методом от обратного, пусть CD не имеет общих точек с окружностью, тогда проведем касательную к окружности параллельную CD (С1 D1 ║ CD), С1 и D1– точки пересечения касательной с BC и AD.

Получим описанный четырехугольник АВ С1 D1, в котором

АВ + С1 D1 = В С1 + А D1, но В С1 = ВС – С1 С, А D1 = AD – D1D

С1 D1 + С1 С + D1D = BC + AD – AB

С1 D1 + С1 С + D1D = CD

Из этого получается, что в четырехугольнике С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон, но этого не может быть, и значит, предположение неверно.

CD – не может быть секущей окружности.

Следовательно, окружность касается стороны CD.

Окружность, вписанная в четырехугольник

Вид четырехугольника Свойства основных геометрических фигур, теоремы и утверждения, связанные с ними Радиус вписанной окружности

Общий вид четырехугольника 1) Четырехугольник можно описать около окружности (окружность вписать в четырехугольник), если суммы его противолежащих сторон равны.

2) Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противолежащих углов равны a + c = b + d

3) Площадь четырехугольника, описанного около окружности: , где -

полупериметр, r- радиус вписанной окружности.

Частный вид четырехугольника

Ромб 1) В любой ромб можно вписать окружность. ,

2) Радиус окружности, вписанной в ромб равна половине высоты ромба где h – высота ромба.

Точка О – точка пересечения диагоналей АС и BD – центр вписанной окружности.

Перпендикуляры, проведенные к сторонам ромба из т. О являются радиусом вписанной окружности. ON ┴AB, ON = r.

Трапеция (равнобокая трапеция)

Вписать окружность можно только в равнобокую трапецию, то есть AB = CD, если AD и ВС

основания трапеции.

В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии

1) Точка О – точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции А; (полусумме оснований) ,

В; С; D – является центром вписанной окружности. где h – высота трапеции.

2) Перпендикуляры, проведенные из точки О к сторонам трапеции являются радиусами В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если её высота равна среднему вписанной в трапецию окружности геометрическому оснований

ОН ┴AB, OН = r.

Δ АВО = Δ СОD – прямоугольные с прямыми углами ВОА и COD – соответственно.

В Δ ВОА – высота ОН является радиусом вписанной окружности в трапецию

где a и b – основания равнобокой трапеции.

Правильные многоугольники

Вид многоугольника Основные утверждения Длина радиуса

Правильный треугольник Необходимо знание следующих утверждений:

Центр описанной окружности и центр вписанной окружности совпадают и делят высоту где а – сторона правильного треугольника треугольника в соотношении 2:1 считая от вершины.

Выделим базовый треугольник АОН - прямоугольный, ОАН = 300

АН = , где а – сторона треугольника

ОН = r, где r – радиус вписанной окружности

ОА = R, где R – радиус полной окружности

ОА2 = ОН2 + АН2 по теореме Пифагора, т. е.

3) R = 2 r

Правильный четырехугольник Центр вписанной в квадрат и описанной около квадрата окружности совпадают и являются

(квадрат) точкой пересечения диагоналей квадрата.

Выделяем базовый треугольник Δ AНО – прямоугольный равнобедренный

АО = R - радиус описанной окружности

ОН = r - радиус вписанной окружности

АО2 = OН2 + AН2, по теореме Пифагора, т. е.

ОАН = 450

Правильный шестиугольник Выделим базовый Δ AОН – прямоугольный R = а, где а – сторона правильного шестиугольника

ОАН = 600

ОА = R, где R – радиус описанной окружности

АН = , где а – сторона правильного шестиугольника.

ОН = r - радиус вписанной окружности

ОА2 = AН2 + OН2, по теореме Пифагора, т. е.

Образцы задач с развернутым ответом

1) На вписанный в окружность треугольник.

а) треугольник общего вида:

I. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 150 и 600. Найти площадь треугольника.

Решение:

1) Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

2) ВСА – вписанный, ВСА = АВ АВ = 1200.

3) ВАС – вписанный, ВАС = ВС ВС = 300.

4) АВС = АВ + ВС = 1500, АОС – центральный, АОС = АС = 1500.

5) Δ AОС: по теореме косинусов cos 1500 = cos (1800 – 300) = - cos 300 = -

АС2 = 2R2 – 2R2 (- ) = 2R2 + R2, АС = = R.

1) Δ AОВ: АОВ – центральный, АОВ = АВ = 1200, по теореме косинусов cos 1200 = cos (1800 – 600) = - cos 600 = -

АВ2 = 2R2 – 2R2(- ) = 2R2 + R2 = 3 R2, АВ = = R.

Ответ: б) равнобедренный треугольник:

Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см. , а боковая сторона 13 см.

Решение:

Площадь круга.

Радиус описанной окружности

S Δ AВC =

Из Δ BDC получим

BD = = = 5 (cм).

Тогда S Δ AВC = = 60 (см2).

Отсюда = (см).

Итак, (см2).

Ответ: 285,61 π см2.

в) прямоугольный треугольник:

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 5, а проекция второго катета на гипотенузу равна 11.

Найти диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1) Диаметр описанной окружности около прямоугольного треугольника равняется гипотенузе АВ, значит найти АВ.

2) Пусть BD = х.

ВС = - средняя пропорциональная величина

5 = ; 25 =

13х2+144х-4225=0

D1 = 9409,

, х=, х > 0

3) АВ = 11 + 1 = 13

Ответ: 13

2) На описанный около окружности треугольник.

а) треугольник общего вида:

I. В ∆ АВС вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, K и M. Найти периметр ∆ АВС, если АМ = 1, АС = 3,5 и АВС = 600.

Решение:

1) МС = 3,5 – 1 = 2,5

АМ = AN = 1; СМ = СК = 2,5 – свойство касательных.

2) ∆ ОСК – прямоугольный, ОК = r

ОС2 = r2 + 2,52

3) ∆ OAN – прямоугольный,

ОА2 = r2 + 12

4) 1 + 2 + 300 = 900

1 + 2 = 600

АОС = 1800 - 600 = 1200.

5) ∆ АОС. Пусть r2 = а.

АС2 = 3,52 = а + 6,25 + а + 1 – 2 , теорема косинусов.

= 5 – 2а

12а2 – 109а + 75 = 0

D = 912

- не удовлетворяет смыслу,

7) ∆ ВОК – прямоугольный,

Ответ: 10

II. В ∆ АВС вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, K и M. Найти длину отрезка NK, если АМ = 6, АС = 21 и АВС = 600.

Решение:

1) МС = 21 – 6 = 15

АМ = AN = 6; СМ = СК = 15 – свойство касательных.

2) NBKO – четырехугольник, NOK = 1200.

3) ∆ NOК, ОК = ON = r.

NK2 = r2 + r2 – 2r r cos 1200 = 2r2 + r2 = 3 r2, теорема косинусов.

4) 1 + 2 + 300 = 900

1 + 2 = 600

5) ∆ АОС.

АОС = 1800 - 600 = 1200.

АО2 = r2 + 62; ОС2 = r2 + 152. Пусть r2 = а

212 = а + 36 +а + 225 – 2 - теорема косинусов.

441 = 2а + 261 + а2 – 327 а + 8100 = 0

D = 2732

, - не удовлетворяет смыслу,

6) r2 = 27

NK2 = 3 r2 = 3 27 = 81, NK = 9.

Ответ: 9 б) равнобедренный треугольник:

I. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 1200, если радиус вписанного круга равен см.

Решение:

Из ∆ BDC находим BD = BC sin 300 = ;

DC = BC sin 600 =

Полупериметр ∆ АBC –

Площадь ∆ АBC – S = pr =

С другой стороны,.

Решим уравнение

Получим

Тогда площадь ∆ АBC:

Ответ: см2.

II. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и Е.

Найдите радиус окружности, если DE = 8, АС = 18.

Решение:

1) МЕ = ЕР = 4 по свойству отрезков

NC = PC = 9 касательных

2) ∆ НЕС, Н = 900,

ЕН = 2r, ЕС = ЕР + РС = 4 + 9 = 13

НС = (NC – МЕ) = 9 – 4 = 5

3) ∆ ЕНС, ЕС2= ЕН2 + НС2

132= (2 r)2 + 52 169 = 4 r2 + 25 r = 6.

Ответ: 6.

в) прямоугольный треугольник:

I. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник.

Решение:

∆ АВС – прямоугольный;

АВ = х, ВС = у.

Известно, что 2 р = х + у + с, отсюда х + у = 2 р – с.

Радиус вписанной окружности

Искомая площадь круга находится по формуле:

II. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см. , а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника.

Решение:

Пусть K, L, M – точки касания вписанной

Окружности. Тогда КО = LO = МО = 3 (см),

СА = 15(см).

Отсюда СМ = КС = 3 (см)

МА = СА – СМ = 15 – 3 = 12 (см).

Значит, LA = 12 (см).

Обозначим ВК = BL = х.

Тогда площадь треугольника

С другой стороны,.

Тогда, , откуда х = 5.

Итак, площадь треугольника (см2).

Ответ: 60 см2.

3 ) Комбинированный задачи.

а) треугольник общего вида:

Найти периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружности равно 120.

Решение:

Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3, АС = х + 6.

х (х+3)(х+6) = 240 (3х + 9) х (х + 6) = 240 3 х2 + 6х – 720 = 0

D1 = 729, х = - 3 27, х = 24, х > 0

= 3 х + 9 = 3 24 + 9 = 81.

Ответ: 81.

б) равнобедренный треугольник:

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см. , а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Решение:

Рассмотрим ∆ АВD ( BDA = 900),

АВ2 = АD2 + ВD2

Тогда (см2)

Пусть R и r – радиусы описанной и вписанной в треугольник окружностей.

Тогда (см),

(см), где р – полупериметр ∆ АВС.

Расстояние между центрами

О1 О2 = О2В – О1 В = О2В – (BD - О1 D) =

= R – (6 - r) = R + r – 6 = (см).

Ответ: см.

в) прямоугольный треугольник:

I. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

По условию r = 2 см, R = 5 см.

В ∆ АСВ АСВ = 900, АВ = 2 R = 10,

АК = АЕ, КВ = МВ,

АС = АЕ + СЕ = АК + СЕ = АК + r,

ВС = МВ + СМ = КВ + СМ = r + КВ,

АС + ВС = 2r + АВ, АС + СВ = 2 (r + R).

Пусть АС = х, тогда

СВ = 2 (r + R) – х, СВ = 14 – х.

Так как АВ2 = АС2 + ВС2, то

100 = х2 + 196 – 28х + х2, х1=8, х2 = 6.

Ответ: 6 см. , 8 см.

II. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен 15 см. , а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника.

Решение:

По условию АВ = 2R = 2 15 = 30 (см).

Радиус вписанной окружности

, отсюда

2 r = а + b – c.

Решаем систему:

2 r = а + b – с 12 = а + b - 30 a2 + b2 = c2 a2 + b2 = 900 получаем а1 = 18 (см), b1 = 24 (см).

или а2 = 24 (см), b2 = 18 (см).

Ответ: 18, 24 и 30 см.

III. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2м. , а радиус описанной окружности равен 5м. Найдите больший катет треугольника.

Решение:

1) R = 5 м. , значит АВ = 10 м.

2) Пусть АМ = х, NB = у,

Тогда АМ = АК = х, NB = ВК = у – свойство касательных.

ВС = у + 2; АС = х + 2.

х + у = 10 х = 10 – у у = 6

(у + 2)2 + (х + 2)2 (у + 2)2 + (12 - у)2 = 100 х = 4 у2 – 10у + 24 = 0 у = 4 у1 = 6 у2 = 4 х = 6

4) катеты: 8м. и 6м.

Ответ: 8м.

4) На вписанный четырехугольник:

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6м, большее 12м, угол при основании 60о. Найти радиус описанной около трапеции окружности.

ABCD – равнобедренная трапеция

(с основаниями BC и АD),

BC = 6м, AD = 12м, BAD =CDA = 600

Найти: R

Решение:

1 способ

1) Проведём высоту к большему основанию трапеции (AD) – CH.

2) ∆ CHD – прямоугольный, H = 900.

CH = HD tgCDH = 3 tg 600 = 3

3) ∆ BEO – прямоугольный, E = 900,

BO = R, EF = CH = 3 - высота.

Пусть OF = x, тогда EO = 3- x, c2 = a2 + b2, R2 = 32 + (3 - x)2

4) ∆ AOF – прямоугольный, F = 900, AO = R, OF = x

, c2 = a2 + b2, R2 = 62 + x2

5) 32 +(3 - x)2 = 62 + x2, 9 + 27 - 6, x + x2 = 36 + x2, -6x = 0, x = 0

6) Значит: R2 = 62 + 02

Ответ: R = 6м.

2 способ

1) RABCD = RACD

2) ∆ CHD, HCD = 300 значит CD = 2 HD = 6

3) ∆ ACD

AC2 = AD2 + CD2 – 2AD CD cosD

(теорема косинусов)

AC2 = 122 + 62 – 2126= 144 + 36 – 72 = 108

Ответ: R = 6м.

3 способ

2) ∆ CКD – прямоугольный(K = 900)

KCD = 300 => CD = 6

3) ∆ ACD

AC2 = AD2 + CD2 – 2AD CD cos600=

= 122 + 62 – 2126= 144 + 36 – 72 = 108

(теорема косинусов)

4) ∆ ACD – вписанный,

Ответ: R = 6м.

5) На описанный четырехугольник:

I. В ромб с острым углом 30о вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба.

Решение:

Проведём радиусы OK,OL,OM,ON в точки касания.

ABC = 1800. - BAD = 1800 - 300 = 1500.

Так как диагонали в ромбе являются биссектрисами, то ABO =

Значит,

У ромба AB = BC = CD = AD = 4r.

Площадь ромба: S = ABAD sin30o = 16r2 sin30o.

Площадь круга Q = π r2, откуда r2 =

Поэтому окончательно S =

Ответ:.

II. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит сторону на отрезки длиной 2 и 8. Найдите периметр трапеции.

Решение:

1) CO, DO – биссектрисы С иD

2)C+D = 1800 (C,D – односторонние при BCAD, секущей – CD)

1+2= 900, значит COD = 900

3) ∆ CОD – прямоугольный, OK CD

- средняя пропорциональная величина

4) AB = h = 2r= 2OK

AB = 2OK = 8

5) BM = AT = OK = 4

CM = CK = 2

DK = DT = 8

6) PABCD = 8 + (4 + 2) + (2 + 8) + (8 + 4) = 36

Ответ: 36.

III. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см. , и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15см. , если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Решение:

Пусть AB = 13, CD = 15.

Обозначим AE = x, FD = y.

AD – BC = 14, значит x + y = 14;

BE2 = AB2 - x2, CF2 = CD2 - y2, откуда 132 - x2 =152 -y2

Получим систему: x + y = 14

132 - x2 = 152 - y2 откуда x = 5, y = 9.

Значит, BE = 12, BC + AD = AB + CD = 2

Тогда SABCD = (BC + AD) = 286 = 168 (см2).

Ответ: 168 см2.

IV. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит меньшее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) CK = CM = 3 – св-во касательных

2) ABMT – прямоугольник r = BM = 6, AB = 12

3) CO и CD – биссектрисы C и D

C +D = 1800

COD = 900

4) ∆ CОD – прямоугольный, OK CD

- средняя пропорциональная величина

36 = 3KD

KD = 12

5) DK = DT = 12 – свойство касательных

6) DA = 12 + 6 = 18

7) Sтрап =

Ответ: 162.

V. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна см2. Найти боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен.

Решение:

∆ CED – прямоугольный и sin600 =

Отсюда 2R = CD = x 2R =

Площадь трапеции: Sтрап =

По условию S = = x2 = 64, x = 8 (см).

Ответ: 8 см.

6) Комбинированные задачи.

В ромб с острым углом 300 вписан круг, а в круг – квадрат. Найти отношение площади ромба к площади квадрата.

Решение:

Пусть К, L , М и N – точки касания окружности и сторон ромба.

А = 300

Δ АОВ ~ Δ ОКВ

Обозначим КО = ОL = OM = ON = r , АВ = ВС = DC = AD = a.

Тогда, , откуда r = a sin 150 cos 150 =.

Диаметр окружности является диагональю вписанного в окружность квадрата, т. е. 2 b2 = (2 r)2 , где b – сторона квадрата, тогда b =.

Площадь ромба

Площадь квадрата

Отношение

Ответ: 4.

7) Правильные многоугольники.

I. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника.

Решение:

Пусть сторона правильного треугольника равна a.

Тогда его площадь

Радиус окружности, вписанной в треугольник,

Он будет равен стороне шестиугольника, вписанного в эту окружность:

А радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник

Площадь шестиугольника:

Ответ: 2.

II. Около квадрата, сторона которого равна a, описана окружность, а около окружности – правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника.

Решение:

Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата

Эта же окружность является вписанной для шестиугольника:

Получим , откуда

Тогда площадь шестиугольника:

Ответ:.

7) Комбинированные задачи.

Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см. , если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

Решение:

Так как AD – диаметр окружности

OD = OC = 10см.

Проведём CLAD; тогда OL = 6 см.

И из ∆ CLO находим CL =(см).

Тогда SABCD = 0,5(BC + AD)CL = 0,5(12 + 20)8 = 128(см2)

Обозначим сторону правильного шестиугольника через x, имеем откуда x2, т. е.

Ответ: см.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

С КРАТКИМ ОТВЕТОМ

На вписанный в окружность треугольник.

Треугольник общего вида:

1. В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. Длина дуги АС = вдвое больше дуги AB. Найдите радиус окружности.

2. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM = 18, MK = 8, BK = 10.

Ответ: 15.

Прямоугольный треугольник:

1. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. , площадь его равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

На описанный около окружности треугольник.

Равнобедренный треугольник:

1. В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность радиус которой равен Высота BD делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины B. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ: 18.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см. , а боковая сторона 39 см. Определить радиус вписанной окружности.

Ответ: 10см.

3. Длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника равна 25 см. , а радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите длину основания треугольника.

4. В равнобедренный треугольник с углом 120о при вершине и боковой стороной a вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10см. , основание 12см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найдите длины сторон этих треугольников.

Ответ: 3см. , 5 см. , 4 см.

6. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см. и 12 см. Найдите катеты треугольника.

Ответ: 8 см. , 15 см.

7. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к высоте, проведённой к гипотенузе.

8. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведённая к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 см. и 14,4 см.

Комбинированные задачи.

1. Стороны треугольника равны 13, 14, 15см. Найдите отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

2. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

Ответ:.

3. Периметр прямоугольного треугольного равен 72 м, а радиус, вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Ответ: 30м.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см. и 8 см. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности.

Ответ:.

5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 3 см. , а катет равен 10 см.

Ответ: 7,25 см.

На вписанные четырёхугольники.

1. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина её высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что её средняя линяя равна высоте.

Ответ: 13 см.

2. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 см. и 12 см. , если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

3. Найти радиус окружности, описанной около трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.

4. В равнобедренной трапеции даны основания a = 21 см. , b = 9 см. , и высота h = 8 см. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 10,625 см.

5. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из сторон. Найдите площадь трапеции.

6. Высота равнобедренной трапеции равна 5,25, делит основание в отношении 1:9. Определить радиус описанной окружности, если боковая сторона равна меньшему основанию.

Ответ: 4.

На описанные четырёхугольники.

1. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найдите сторону ромба.

Ответ:.

2. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 30о.

3. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30о.

4. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.

5. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

6. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если её большее основание равно a, а угол при меньшем основании равен 120о.

7. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см2. Определите стороны трапеции, если угол при основании равен 30о.

8. Около окружности диаметром 15 см. описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основание трапеции.

Ответ: 5R2.

Правильные многоугольники.

1. Вычислите отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

2. В правильный треугольник со стороной, равной a, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найдите площадь шестиугольника.

3. В круг радиуса R вписан треугольник, площадь которого вдвое меньше площади круга. Определите стороны прямоугольника.

4. Из точки M, находящейся на расстоянии a от окружности, проведена к этой окружности касательная длиной 2a. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

5. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

Ответ:.

6. В окружность, диаметр которой , вписан правильный треугольник. На его стороне построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найдите радиус этой окружности.