Понятие комплексного числа и мнимой единицы

Процесс расширения понятия числа о натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания - к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятиям иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатное прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости х0у можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел – их называют комплексными – ввести упорядоченные пары действительных чисел ( упорядоченные в том смысле, что (a;b) и (b;a) - разные точки, а значит и разные числа).

Во многих разделах математики и её приложений не возможно ограничиться рассмотрением лишь действительных чисел. Потребности этих разделов заставляют обобщить понятие числа и ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, более обширная по сравнению с множеством действительных чисел.

процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания - к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширение понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных чисел.

Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо добавить к рациональным числам числа иррациональные, т. е. под числом понимать действительное число. Ограничившись рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить уравнение x2-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решений.

Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений. Ведь в множестве действительных чисел не имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными коэффициентами, например, x2 + 1=0,x2 + x + 1= 0.

Было бы весьма печально, если бы каждый раз для решения всё более сложных уравнений приходилось вводить новые, все более сложные числа. К счастью, этого делать не нужно. Для теории алгебраических уравнений дальнейшее обобщение понятия числа, введение чисел, более общих, чем комплексные, не требуется. Оказывается, что в множестве комплексных чисел содержится не только все решения каждого квадратного уравнения, но и все решения алгебраических уравнений любой степени с действительными или комплексными коэффициентами.

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г. Лейбницу

(1646-1716) принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число-это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К. Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков 19 века О. Коши, Г. Римана и К. Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.

Прежде чем давать определение комплексных чисел, обсудим следующие вопросы: какими свойствами должны обладать новые числа, какие операции желательно ввести для них, каким законам должны подчиняться введенные операции?

Прежде всего, вспомним, что при переходе от натуральных чисел к целым, от целых к рациональным, от рациональных к действительным каждый раз выполнялось условие: новое расширенное множество чисел содержало в себе первоначальное множество. Целые числа содержали натуральные, в множество рациональных чисел входили целые, множество действительных чисел содержало все рациональные числа. При введение комплексных чисел это условие также должно соблюдаться. Множество комплексных чисел должно включать в себя каждое действительное число.

Для новых чисел необходимо ввести понятие равенства. Должны быть определены сложение и умножение новых чисел, при чем так, чтобы для этих операций имели место коммутативные, ассоциативные и дистрибутивный законы. В том случае, когда комплексные числа совпадают с действительными, новые операции сложения и умножения должны превращаться в старые операции сложения и умножения действительных чисел.

Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел. Пара чисел является упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым и какое – вторым. Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так : (a;b), на первом месте будем записывать первое число, на втором – второе число пары. Элементы (a;b) и (b;a) считаются различными, если a на равно b. Элементы нашего множества будут, например, пары (0;0), (1;0), (-1;106). Элементы (а1;b1) и (а2;b2) считаются равными тогда и только тогда, когда а1=а2, b1=b2. Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар действительных чисел алгебраические операции: сложение двух пар и умножение двух пар. Сделаем это следующим образом.

Суммой элементов (а1;b1) и (а2;b2) назовем элемент (а1+а2; b1+ b2).

Например:

(2;7)+(3;-4)=(2+3;7-4)= (5;3); (-1;0)+(4;7)= (-1+4; 0+7) = (3;7);

(5+2i)+(2-3i)= (5+2)+(2-3)i=7-i;

(6-3i)+(3+3i)=(6+3)+(-3+3)i=9+0i=9;

(2+5i)+(-2+5i)=(2-2)+(5+5)i=0+10i=10i;

(3-2i)+(-3+2i)=(3-3)+(-2+2)i=0+0i=0.

Произведением пар (а1;b1) и (а2;b2) назовем пару (а1а2- b1b2; а1b2 + b1 а2).

Для обозначения операции сложения двух элементов нашего множества будем употреблять знак «+», при записи произведения сомножители будем писать рядом, опуская точку – знак умножения. Таким образом, введенные нами операции определяются равенствами

(а1;b1) + (а2;b2)= (а1+а2; b1+ b2),(1)

(а1;b1)(а2;b2) = (а1а2- b1b2; а1b2 + b1 а2). (2)

Например, сумма и произведение пар (3;-7) и (2;9) вычисляют так

(3; -7) + (2;9)=(3+2;-7+9)=(5;2),

(3;-7)(2;9) = (3*2-(-7)*9; = 3*9-(-7)*2= (69;13).

Произведением двух комплексных чисел а+ bi и с+di называется комплексное число

(ас-bd)+(аd+bс)i, т. е.

(а+ bi)(с+di)= (ас-bd)+(аd+bс)i.

Например:

(5+2i)(3-4i)=15+6i-20i-8i2=15-14 i-8(-1)=23-14 i;

(2+ i)(2- i)=4+2 i-2 i – i2=4+1=5;

(3+3i)(3-3i)= 9+9i +9i+9i2=0+18i=18i;

(2+3i)(0+0i)=0+0i+0i+0i2=0+0i=0.

Теперь можно дать определение комплексного числа.

Комплексными числами называют упорядоченные пары действительных чисел, для которых формула (1) и (2) определены операцией сложения и умножения.

Комплексные числа часто обозначаются одной буквой, причем обычно используют для этого буквы z или w, иногда с индексами,

Например z1, z2, w0. Равенство z = (a;b) как раз и означает, что комплексное число (a;b) обозначают буквой z.

Введенные операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

1. z1+ z2= z2+ z1 ( переместительное свойство сложения).

2. (z1+ z2) + z3 = z1 + (z2+ z3) (сочетательное свойство сложения).

3. Для любых комплексных чисел z1 и z2 существует комплексное число z такое, что z1+ z = z2. Это число называется разностью чисел z2 и z1 и обозначается z2-z1.

4. z1z2=z2z1 (переместительное свойство умножения).

5. (z1z2)z3 =z1(z2 z3) (сочетательное свойство умножения).

6. Для любых комплексных чисел z1не равно (0;0) и z2 существует число z такое, что z1z=z2. Это число называется частным комплексных чисел z2 и z1 и обозначается z2/ z1. Деление на комплексное число (0;0), которое называется нулем невозможно.

7. z1 (z2+z3)= z1z2+z1z3 (распределительное свойство).

Все перечисленные свойства операций сложения и умножения вытекают из формул (1) и (2), дающих определение этих операций. Докажем свойства 3 и 6.

Доказательство свойства 3.

Пусть z1=(а1;b1), z2= (а2;b2) и z = (х;у). Тогда равенство z1+ z = z2 примет вид:

(а1;b1)+ (х;у) = (а2;b2).

Сложив комплексные числа в левой части равенства, получим

(а1+х;b1+у)= (а2;b2).

Из определения равенства упорядоченных пар действительных чисел следует, что х и у удовлетворяют системе двух уравнений а1+х = а2,b1+у = b2.

Эта система имеет единственное решение х = а2-а1, у = b2- b1. Следовательно z2- z1 всегда существует, причем z =z2- z1= (а2;b2)- (а1;b1)= (а2-а1; b2 – b1). (1)

Эта формула дает правило вычитания комплексных чисел.

Чтобы вычесть из одного комплексного числа другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для первых и вторых их составляющих.

Например:

(10+2i)-(3-4i)=(10-3)+(2-(-4))i=7+6i;

(4+5i)-(3+5i)=(4-3)+(5-5)i=1+0i=1;

(3+8i)-(3+5i)=(3-3)+(8-8)i=0+0i=0.

Доказательство свойства 6.

Пусть z1=(а1;b1), z2= (а2;b2) и z = (х;у). Тогда равенство z1z=z2 примет вид

(а1;b1) (х;у)= (а2;b2).

Перемножим комплексные числа в левой части неравенства, получим

(а1х- b1у; а1у + b1х) = (а2;b2).

Из определения равенства пар следует, что х и у удовлетворяют системе двух линейных уравнений а1х- b1у=а2 b1х+ а1у= b2

Умножив почленно первое уравнение на а1, второе на b1. И почленно сложив полученные уравнения, найдем

(а12+ b12)х = а1а2+ b1b2.

Аналогично получим

(а12+ b12)у = а1b2 – а2b1.

Итак, наша система равносильна следующей:

(а12+ b12)х = а1а2+ b1b2 ,

(а12+ b12)у = а1b2 – а2b1.

Поскольку z1=(а1;b1) не равно (0;0) и, следовательно а12+ b12 не равно 0, система имеет единственное решение а1а2+ b1b2 а1b2 – а2b1 х = , у =.

а12+ b12 а12+ b12

Таким образом, частное двух комплексных чисел при условии, что делитель отличен от нуля, всегда существует, причем z2 (а2;b2) а1а2+ b1b2 а1b2 – а2b1 z= = = ;. (2) z1 (а1;b1) а12+ b12 а12+ b12

Формула (2) дает правило деления комплексных чисел. Введенные операции сложения и умножения позволяют рассматривать комплексные числа как обобщение действительных чисел, а на действительные числа смотреть как на частный случай чисел комплексных. В самом деле рассмотрим не все комплексные числа , а только комплексные числа вида(а,0). Из формул сложения, умножения, вычитания и деления легко усматривается ,что в результате сложения, умножения, вычитания и деления (а не равно 0) таких чисел всегда получается числа такого же вида. Кроме того, видно, что правила действий с комплексными числами вида (а;0) полностью совпадают с соответствующими правилами действий с действительными числами. В связи с этим комплексное число (а;0) отождествляют с действительным числом а и считают, что (а;0)=а. Например, (0;0)=о, (2;0)=2,(-7;0)= -7.

Множество действительных чисел становится при этом подмножеством множества комплексных чисел.

Комплексные числа вида (0; b) называют мнимыми. Число (0;1) называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т. е. (0;1)= i, то мнимое число (0; b) записывают в виде bi. Например (0;2)=2i, (0;-1)=- i.

Каждое комплексное число z=(a;b) можно представить следующим образом: z=(a;b)=(а;0)+(0; b)=(а;0)+( b;0)(0;1).

Учитывая, что (а;0)= а, (b;0)= b, (0;1)= i, получаем z=(a;b)=а+ bi.

Запись комплексного числа z=(a;b) в виде а+ bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа а+ bi.

Два комплексных числа z1=a1+ b1i и z2=a2 + b2 i равны тогда и только тогда, когда а1=а2 и b1= b2, т. е. когда равны и действительные и мнимые части комплексных чисел. Обратим внимание на то, что одно равенство z1= z2 комплексных чисел равносильно двум равенствам a1= a2, b1 = b2 действительных чисел. Заметим ещё, что понятие «больше», «меньше» для комплексных чисел не определяется. Записи i> 0, 1+i <2 и им подобные лишены всякого смысла. Формула сложения в новых обозначениях записывается так:

(a1+ b1i)+( a2 + b2 i)= a1+ a2+(b1 + b2) i. (1)

Она дает правило сложения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Умножение комплексных чисел заданных в алгебраической форме, производятся следующим образом:

(a1+ b1i)( a2 + b2 i)= a1a2 - b1b2+ (a1b2+ a2b1) i. (2)

Положив в (2) a1=a2=0, b1=b2=1, получим важное соотношение ii= -1, или, применяя для произведения ii сокращенное обозначение ii= i2, i2= - 1. (3)

Отметим ещё, что формула (2) не нуждается в запоминании, так как получается автоматически, если формально перемножить двучлен a1+ b1i и a2 + b2 i по обычному правилу умножения двучленов и затем в соответствии с формулой (3) заменить i2 на - 1.

Используя определения сложения и умножения комплексных чисел, легко получить следующие неравенства:

( 0 ; 1) ( 0 ; 1) = (-1 ; 0 ),

( a ; b ) = (a ; 0 ) + ( b + 0 ) ( 0 ; 1 ),

( a ; 0 ) + ( b ; 0 ) = ( a + b ; 0 ),

( a ; 0 ) ( b; 0 ) = ( a b ; 0 ).

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел z1= -3+2i и на z2=13- i.

Решение: z1+ z2= (-3+2i)+( 13- i)=10+ i, z1z2=(-3+2i)( 13- i)= -39+3i+26i+2=-37+29i.

Пример 2. Найти сумму и произведение комплексных чисел z1= а+ bi и z2=а- bi.

Решение: z1+ z2= (а+ bi)+(а- bi)=2а, z1z2=(а+ bi)(а- bi)=а2-аbi +аbi-(bi)2=а2+b2.

Комплексными числами а+ bi и а- bi, т. е. числа отличающиеся только знаком мнимой части называется сопряженными. Число, сопряженное числу z, обозначается z.

Пример 2 показывает, что сумма z+ z сопряженных чисел есть всегда число действительное, а произведение z z - число действительное и, более того неотрицательное.

Пример 3. Записать комплексное число в алгебраической форме.

3+i z =

(1+i)(1-2i)

Решение:

3+i 3+i 3+i (3+i)(3+i) 9+6i-1 4 3 z= = == = = + i.

(1+i)(1-2i) 1-2i+ i+2 3-i (3-i)(3+i) 9+1 5 5

Пример 4. Выполнить действие:

А=(1+ i)6+ (1- i)6.

Решение. Преобразуем данное выражение:

А=(1+ i)6+ (1- i)6 = ((1+ i)2)3+ ((1- i)2)3= (1+2i+ i2)3+ (1-2i+ i2)3= (1+2i-1)3+(1-2i-1)3= (2i)3+

(-2 i)3=(2i)3- ( 2 i)3= 0.

Ответ: А=0.

Пример 5. Выполнить действия:

1) 2i+3+4i (1- i); 3) 3i (1- i)+2i(1+ i);

2) (1+ i)(-1+2i)+1-3i;4) (3-2i) (4+ i)+10 i.

Решение:

1) 2i+3+4i (1- i)=2i+3+4i-4i2= 7+6i;

2) (1+ i)(-1+2i)+1-3i=-1+2i-i+2i2+1-3i=-2-2i;

3) 3i (1- i)+2i(1+ i)=3i-3i2+2i+2i2= 1+5i;

4) (3-2i) (4+ i)+10 i=12+3i-8i-2i2+10i=14+5i.

Пример 6. Вычислить:

1) (3+2i)2;3) (2+3 i)2-(2-3i)2;

2) (2- i)3;4) (3+4 i)2 + (3-4 i)2.

Решение:

1) (3+2i)2=9+12 i+4i2=5+12i;

2) (2- i)3=8-3 * 4i + 3 * 2 i2- i3= 8 - 12i – 6 + i=2 - 11i;

3) (2+3 i)2-(2-3i)2= (2+3i-2+3i)(2+3i+2-3i)=6i*4=24 i;

4) (3+4 i)2 + (3-4 i)2=9+24 i+16i2+9-24 i+16i2=-14.

Пример 7. Найти частное: i - 1

4 – 5 i

Решение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, получим i – 1 (i – 1) (4+5 i) 4 i + 5 i2 - 4 - 5 i - 9 1

= = = - i.

4 – 5 i (4 - 5 i)(4+5 i) 16+25 41 41

В заключение заметим, что комплексные числа, которые в течение длительного времени не находили признания даже в математике оказались полезными при решении многих вопросов техники и естествознания. С их помощью решаются задачи, связанные с распространением звука, света, задачи электротехники, радиотехники, самолетостроения, движения жидкости и газов и др. Широко используются комплексные числа и в различных разделах математики. Также, с помощью комплексных чисел можно выводить некоторые формулы тригонометрии.

Комплексные числа и функции комплексной переменной играют исключительно важную роль во многих разделах математики и физики.

Заключение

Работа посвящена использованию теории комплексных чисел для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел. В работе рассматриваются общие сведения о комплексном числе (история возникновения, понятие и формы представления), арифметические операции над комплексными числами.

Думаем, что мы добились поставленной цели. Познакомились с понятием комплексного числа, алгебраической формой комплексного числа, действиями над комплексными числами в алгебраической форме. Доказали некоторые из свойств сложения и умножения комплексных чисел.

Подводя итоги, мы пришли к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i2 = - 1.

Проделанная работа, дает нам возможность для продолжения изучения разделов математики, где используется понятие комплексного числа.