Арифметическая и геометрическая прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в. ). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид: a, a + d, a + 2d, a + 3d,. и обозначается знаком:÷

Для примера возьмем прогрессию со следующими параметрами: a1=1 d=2.

Получим возрастающую арифметическую проекцию вида: ÷1,3,5,7,9,12

Эту проекцию можно изобразить на графике

Мы видим,что график укладывается в прямую.

Если изменить параметры a1 и d на a1=1,d=-2,то мы получим убывающую арифметическую прогрессию вида: ÷1,-1,-3,-5,-7,-9 ,которую так же можно изобразить на графике

График представляет собой прямую.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии: an = a1 + d(n - 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии ,т. е каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго ,равен средним арифметическим между предыдущим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 - убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле Sn = или Sn=

Условие: В треугольнике АВС из вершины В проведены высота BD и биссектриса ВЕ. Величины углов ВЕС, АВD, АВЕ и САВ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите длину высоты треугольника, проведенной из вершины А, если известно, что АС=1 см.

Чертеж:

Решение: Обозначим угол ВЕС=1

CAB=4, т. к эти углы в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, то ее можно записать так: ÷1,2,3,4 an = a1 + d(n - 1)(по свойству арифметической прогрессии)

Значит, наша прогрессия может иметь вид: ÷1,1+d,1+2d,1+3d.

Рассмотрим ∆АВЕ.

По свойству внешнего угла треугольника получим, что 1=3+4 =>1=21+5d=> 1=-5d

Рассмотрим ∆ABD.

Т. к. угол BDA=90° =>4+2=90°(по теореме о сумме углов треугольника) => 1+2d=45°

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными, которые можно объединить в систему. 1=-5d 1=-5d 1=-5d 1=75°

1+2d=45° -5d+2d=45° -3d=45° d=-15°

Следовательно, мы получим, что 2=60°, 3=45°, 4=30°

3-биссектрисса угла АВС(по условию)следовательно угол В=90°,а это значит, что АВ- высота к стороне ВС.

∆АВС - прямоугольный, следовательно ВС=АС/2=0,5 см (по свойству стороны лежащей против угла в 30°).

АС2=АВ2+ВС2(по теореме Пифагора)

АВ2=АС2-ВС2

АВ2=1-0,25

АВ=0,5см.

Ответ: АВ=0,5см.

Условие: В трапеции ABCD (AD- основание) проведены диагонали АС и BD, которые пересекаются в точке О. Величины углов AOB,ACB,ACD,BDC и ADB в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите длину основания AD трапеции, если АС=1.

Чертеж:

Решение:

Обозначим углы ADB,ACB,ACD,BDC,ADB как 1,2,3,4,5.

Рассмотрим ∆COD: 4+3+1=180°(по свойству суммы углов треугольника) an = a1 + d(n - 1)(по свойству арифметической прогрессии)

1+3d+1+2d+1=180°

31+5d=180° (1)

Рассмотрим ∆AOD:2+5+180°-1=180°

1+d+1+4d-1=0

1+5d=0 (2)

1) 31+5d=180° - 1+5d=0

21=180°

(2)1+5d=180° 90°+5d=180° d=-18°=> 2=72°

1=90° 1=90° 1=90° 3=54°

1=90° следовательно трапеция равнобедренная.

Рассмотрим ∆ACD: 4+5=3 следовательно ∆ACD равнобедренный, значит AC=AD=1 см.

Ответ: AD=1 см.

Геометрическая прогрессия

Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т. к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5

Если взять точные значения, например: b1=1 q=2, то получим возрастающую геометрическую прогрессию вида:1,2,4,8,16,32,которую можно изобразить на графике

Мы видим,что график представляет собой параболу.

Для получения убывающей геометрической прогрессии нужно задать следующие параметры:b1=1 q=

Получим убывающую геометрическую прогрессию, которую можно изобразить на графике

Свойства геометрической прогрессии

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 =. = bn:bn-1 = bn+1:bn =. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250,. Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

Таким образом, если q > 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192,. есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула:

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 =. , т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Задачи.

Условие: В острый угол вписаны n кругов, касающихся один другого. Докажите, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Укажите зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла.

Чертеж:

Решение:

Пусть острый угол-α

Прямая, на которой лежат центры окружностей, представляет собой биссектрису угла α.

Проведем радиусы окружностей так, чтобы они были перпендикулярны одной из сторон угла. Обозначим точки пересечения радиусов окружностей и стороны угла, как А1,А2,А3,А4Аn

Можно записать tg = = = = == (эти отношения равны, т. к. tg остается неизменным).

Следовательно, = = = === tg =k, значит r1,r2,r3,r4rn образуют геометрическую прогрессию с q= tg.

Следовательно, зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла равна q= tg.

Ответ: q= tg.

Условие: Сторона равностороннего треугольника равна а. На высоте его построен новый равносторонний треугольник. На высоте нового треугольника еще равносторонний треугольник и т. д. Найдите сумму периметров и сумму площадей всех этих треугольников.

Чертеж:

Решение: Обозначим треугольник со стороной а , как ∆1,следующий треугольник, как ∆2 и т. д.

Равносторонний ∆1 имеет сторону а и следовательно Р=3а.

Чтобы найти сторону ∆2 нужно найти высоту ∆1. h2=a2- h= h= , следовательно, а2=,Р=.

Чтобы найти сторону ∆3 нужно найти высоту ∆2.

Следовательно, а3=,Р=.

Предположим, что 3a; ; образуют геометрическую прогрессию, тогда q=:3a = q=:=, следовательно, наше предположение оказалось верным.

Найдем сумму периметров треугольников по формуле.

b1=3a q=

Найдем сумму площадей треугольников по формуле

Предположим, что ; ; образуют геометрическую прогрессию, тогда q=:= q=:=, следовательно наше предположение оказалось верным.

Найдем сумму площадей треугольников по формуле

Ответ: ,.