Основные формулы алгебры

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом.

Формула - буквенное выражение или равенство, показывающее зависимость между величинами. Формула может указывать зависимость какой-то величины и от нескольких других величин.

Формулы сокращённого умножения многочленов - часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Смысл формул сокращенного умножения следующий: некоторые комбинации многочленов второй третьей и более высоких степеней можно представить в виде произведения множителей, состоящих из тех же переменных, что и исходные многочлены, но имеющих более низкие степени. Так, например, разность квадратов двух величин можно свести к разности и сумме этих величин. Разность кубов сводится к разности и некоторой комбинации второй степени. Главное, что вам следует понимать и держать в голове, что если у вас некоторая комбинация, но ее можно упростить с помощью этих формул.

Квадрат суммы и квадрат разности.

Умножим двучлен a+b на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (a+b)(a+b),или, что то же самое, в выражении (a+b)[2]:

(a+b)2= (a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+ab+ab+b2-квадрат суммы

Аналогично получаем:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba-b2=a2-2ab+b2-квадрат разности

Пример № 1. Преобразуйте выражение:

(5а[2]-4b[3])[2]

Воспользуемся формулой(2), учтя, что в роли а выступает 5а[2], а в роли b выступает 4b[3]. Получим:

(5а[2]-4b[3])[2]=(5а[2])[2]-2·5а[2]·4b[3]+(4b[3])[2]=25а[4]-40а [2]b[3]+16b[6] а b

Формулы сокращённого умножения применяются и в геометрии. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b .

b b а а а b

Площадь квадрата со стороной а+b равна (а+b)[2]. Этот квадрат мы разделим на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а[2]), квадрат со стороной b (его площадь равна b[2]), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна аb). Значит, (а+b)[2]=а[2]+2аb+b[2], т. е. получили формулу.

Разность квадратов.

Умножим двучлен а+b на двучлен а-b:

(а+b)(а-b) = а[2]-аb+bа-b[2]= а[2]-b[2] - разность квадратов.

Любое верное равенство в математике употребляются как слева направо, так и справа налево: (а + b)(а - b) = а[2]-b[2]; а[2]-b2 = (а + b)(а - b).

Пример № 2: Преобразуйте выражение: а)(3х-2у)(3х+2у)=(3х)[2]-(2у)[2]=9х[2]-4у[2] б) Представить двучлен 16х[4]-9 в виде произведения двучленов.

Решение: 16х[4]-9 - этот двучлен есть разность квадратов, т. е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16х[4]-9=(4х[2])[2]-(3)[2]=(4х[2]+3)(4х[2]-3).

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением.

Пусть а и b- положительные числа, причём а больше в. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а+b и а- b (рис. 2). Его площадь равна (а+b)(а-b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а-b и подклеим его к оставшейся части так как показано на рисунке 3. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а+b)(а-b). Но эту фигуру можно построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b.

Значит, площадь новой фигуры равна а[2]-b[2]. Итак, (а+b)(а-b)=а[2]-b[2], т. е. получили формулу. a b a-b a-b a-b

Сумма и разность кубов.

Умножим двучлен а-в на трёхчлен а[2]+ав+в[2]:

(а-в)(а[2]+ав+в[2])=а·а+а·ав+а·в[2]-в·а[2]-в·ав-вв2 = а[3]+а [2]в+ав[2]-а [2]в-ав[2]-в[3]=а[3]-в[3]

(а-в)(а[2]+ав+в[2])= а[3]-в[3] - разность кубов

Аналогично:

(а+в)(а[2]-ав+в[2])=а[3]+в[3] - сумма кубов

Пример №3: Преобразуйте выражение:

(2х-1)(4х[2]+2х+1) т. к. первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой . Получим:

(2х-1)(4х[2]+2х+1)=(2х)[3]-(1)[3]=8х[3]-1

В заключении ещё раз повторим, что все полученные формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5)- формулы сокращённого умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5)- формулы разложения на множители.

Где на практике можно применять формулы сокращенного умножения?

Варианты применения:

1. При решении уравнений.

2. При разложении многочлена на множители.

3. При доказательстве тождеств.

4. При доказательстве теорем в геометрии.

5. При решении неравенств.

6. При сравнении чисел.

1. При решении уравнений:

Пример 1: Решите уравнение: (х -6)[2] - х (х +8) = 2.

Решение: Применим к левой части уравнения формулу квадрат разности и раскроем скобки: х[2] - 12х + 36 - х[2] - 8х = 2. После упрощения левой части, получаем: 36 -20х =2. Откуда х = 1,7.

2. При разложении многочлена на множители

Пример 1: Разложите на множители:

Выражение (x+3)[2]-16 в явной форме ни одно из семи тождеств не представляет, но число 16 представим в виде степени с основанием 4, т. е. 16 = 4[2]. Тогда выражение

(x+3)[2]-16 = (x+3)[2]- 4[2]=(x+3-4)(x+3+4)=(x-1)(x+7).

Пример 2: Разложите на множители: 6x[2]+24xy+24y[2]

Анализируя, видим, что в каждом слагаемом можно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим: 6(x[2]+4xy+4y[2]). Выражение в скобках представляет собой разложенный квадрат суммы двух выражений: х[2]+4ху+4у[2]=(х+2у)[2]. Теперь наше выражение примет вид:

6х[2]+24ху+24у[2]=6(х+2у)[2]=6(х+2у)(х+2у).

3. При доказательстве тождеств.

Иногда формулы сокращенного умножения называют тождествами.

Тождество- равенство, верное при любых значениях переменных.

Например, равенство 3(х + у) = 3х + 3у верно при любых значениях х и у.

Пример 1: Докажите тождество: 9а2+6аb+b23a+b = 27a3+b39a2-3ab+b2

3a+b23a+b=3a+b(9a2-3ab+b2)9a2-3ab+b2

После сокращения, имеем:

3а + b = 3а + b

4. При доказательстве теорем в геометрии.

Пример 1:

Теорема Пифагора.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой (рис. а). Докажем, что с[2] = a[2] + b[2]

Достроим треугольник до квадрата со стороной, а + b так, как показано на (рис. б). Площадь S этого квадрата равна (a + b)[2].

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна a · b, и квадрата со стороной c, поэтому

S = 4· a · b + с2 = 2ab + с2

(a + b)2 = 2ab + с2 с2 = (a + b)2 - 2ab с2 = a2 + 2аb + b2 - 2ab, откуда с[2] = a[2] + b[2]

Пример 2:

Площадь прямоугольника

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S .

Докажем, что S = а b.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b . Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, имеем, что площадь получившегося квадрата равна (а + b)[2].

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а[2] и b[2]. Так как, если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников, имеем:

(а + b)2 = S + S + а[2] + b[2] или a2 + 2аb + b[2] = 2 S + а[2] + b[2] или 2аb = 2 S. Откуда получаем, S = а b.

5. При решении неравенств.

Пример 1: Решите неравенство 4х2+4х+1>=0.

Применим к неравенству формулу квадрата суммы: 2х+12>=0. Данное неравенство принимает неотрицательные значения при любых значениях переменной.

Ответ: (-infinity; +infinity)

Пример 2: Укажите наибольшее целое решение неравенства х2-10х+25хх2-9 < 0.

Применим к числителю дроби формулу квадрата разности, к знаменателю - разности квадратов и решим неравенство методом интервалов: х-52 х (х-3)(х+3) < 0.

Ответ: (-infinity;-3) ∪ (0;3), наибольшее целое х=2.

6. При сравнении чисел.

Пример 1: Сравните числа: 24[4] и 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28.

Решение: 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28 = (23 -5)(23 -2)(23 +2)(23 +5) = (23[2] - 5[2])(23[2] - 2[2]) < 23[2] ∙ 23[2] < 24[2] ∙ 24[2]. Следовательно, 24[4] > 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28.

Исследование

Количество учащихся

Знают основные формулы

Знают некоторые формулы

Не знают ни одной формулы

Качество усвоения формул

Из таблицы видно, что только 23 учащихся класса знают основные формулы, и треть класса не знают их вообще. Лучшее усвоение формул в 8 классе, очевидно, это связано с недавним изучением формул в 7 классе. К, сожалению, в старших классах знание основных формул алгебры не улучшается. Мой проект имеет своей целью: показать важность формул, привлечь внимание учащихся к их изучению и запоминанию, что непосредственно пригодится при прохождении итоговой аттестации как в 9 классе, так и в 11 классе.

Заключение

Формул сокращенного умножения, которые нужно знать школьнику, всего 7 штук. Так что не поленитесь их выучить - это позволит вам существенно сократить время решения многих примеров. Например, в ЕГЭ последних лет обязательно было 2-3 примера, основанных именно на формулах сокращенного умножения.

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

3. a2 − b2 = (a + b)(a − b)

4. (a − b) 3= a3 - 3а2b + 3ab2 − b3

5. (a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

7. a[3] − b[3] = (a − b)(a[2] + ab + b[2])

Всего лишь 7 формул. И больше вам ничего не понадобится! Этого вполне достаточно, чтобы решить практически все задачи на формулы сокращенного умножения. Каждая из этих формул имеет свое название:

1. квадрат суммы

2. квадрат разности

3. разность квадратов

4. куб разность

5. куб суммы

6. сумма кубов

7. разность кубов