Вывод формул площади прямоугольника, треугольника и параллелограмма по координатам их вершин

1. Вывод формул площади прямоугольника.

АВ = ( x2 – x1(

AD = ( y2– y1(

2. Вывод формулы площади треугольника.

S1прямоуг = ( (х3 – х1) (y1 – y2) (

S1( ADC = AD*DC

S1( ADC = ( (y1 – y2) (x2 – x1) (

S2( CBL = BL*LC

S2( CBL = ( (x3 – x2) (y3 – y2) (

S3( ABK = AK*KB

S3( ABK = ( (x3 – x1) (y1 – y3) (

S( ABC =((x3 – x1) (y1 – y2) - (y1 - y2) (x2 – x1) - (y3 - y2) (x3 – x2) - (y1 -y3)(x3 – x1) ( = (y1(x3 – x1) – y2(x3 – x1) - y1(x2 – x1) + y2(x2 – x1) - y3(x3 – x2) + y2(x3 – x2) - y1(x3 – x1) + y3(x3 – x1) ( = (y1x3 – y1x1 – y2x3 + y2x1 - y1x2 + y2x2 - y2x1 - y3x3 + y3x2 + y2x3 - y2x2 - y1x3 + y1x1 + y3x3 - y3x1( = (y1x3 - y2x3 + y2x1 - y1x2 + y3x2 - y3x1( = ( (y1x3 - y1x2) + (y2x1 - y2x3) + (y3x1 - y3x1) ( = (y (x3 – x2) + y2 (x1 – x3) + y3(x2 – x1) ( = ( y1(x3 – x2) + y2(x1 – x3) + y3(x2 – x1) (.

Если будем группировать относительно «х» получим:

S = (y1x3 - y2x3 + y2x1 - y1x2 + y3x2 - y3x1 (= ( (y1x3 - y2x3) + (y2x1 - y3x1) + (y3x2 - y1x2) ( = (x3(y1 – y2) + x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) ( = (x3(y1 – y2) + x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) (.

Вывод: площадь треугольника вычисляется по формулам: или

2. Вывод формулы площади параллелограмма.

Sпрямоугольник MNKL = ( (x1– x3)(y2 – y4) (

S1( MAD = MD * MA

S1( MAD = ((x4 – x1)(y4 – y1) (

S1( MAD = S1( BKC

S2( BKC = KC * BK

S2( BKC = ( (y3 – y2)(x3 – x2) (

S3( ANB = NB * AN

S3( ANB = ( (x2 – x1)(y1 – y2) (

S4( DLC = DL * LC

S4( DLC = ( (x4 – x3)(y3 – y4) (

SABCD = ( (x1– x3)(y2 – y4) - (x4 – x1)(y4 – y1) - (y3 – y2)(x3 – x2) –

- (x2 – x1)(y1 – y2) - (x4 – x3)(y3 – y4) ( = (y4x4 – y4x1 – y1x4 + y1x1 - y2x3 + y2x1 + y1x3 - y1x1 – y4x4 + y4x2 + y3x4 - y3x2 - y4x2 + y4x1 + y2x2 - y2x1 - y3x4 + y3x3 + y1x4 - y1x3( = (y4x4 - y4x1 - y1x4 + y1x1 - y2x3 + y2x2 + y3x3 - y3x2( = ( (y4x4 - y4x1) + (y1x4 - y1x4) + (y2x2 - y2x3) + (y3x3 - y3x2) ( = (y4(x4 – x1) + y1(x1 – x4) +

+ y2(x2 – x3) + y3(x3 – x2) ( = (y4(x4 – x1) + y1(x1 – x4) + y2(x2 – x3) + y3(x3 – x2) (.

Группируя относительно «х» получим:

S = (y4x4 - y4x1 - y1x4 + y1x1 - y2x3 + y2x2 + y3x3 - y3x2( = ( (y4x4 - y1x4) + (y1x1 – y4x1) + (y2x2 - y3x2) + (y3x3 - y2x3) (= (x4(y4 – y1) + x1(y1 – y4) + x2(y2 – y3) + x3(y3 – y2) ( = (x4(y4 – y1) + x1(y1 – y4) + x2(y2 – y3) + x3(y3 – y2) (.

Вывод: итак площадь параллелограмма может быть найдена по формулам :

Sпараллелограмма = (y4(x4 – x1) + y1(x1 – x4) + y2(x2 – x3) + y3(x3 – x2) (.

Sпараллелограмма = (x4(y4 – y1) + x1(y1 – y4) + x2(y2 – y3) + x3(y3 – y2) (.

Задача 1.

Найти площадь треугольника KLA; если А (10; 9), К (14; 2), L (4; 6).

Решение:

S = ( 9 (4 – 14) + 6 (14 – 10) + 2 (10 – 4) (

S = ( - 90 + 24 + 12( = (- 54 ( = 27

Ответ: S = 27.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнив данное исследование, я получила формулы для нахождения площади прямоугольника, треугольника и параллелограмма по координатам их вершин, которые затем применила к решению практических задач.

S = ( (x2 – x1)(y2 – y1) (

Итак S = ( y1(x3 – x2) + y2(x1 – x3) + y3(x2 – x1) (.

Итак S = ( x3(y1 – y2) + x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) (.

Итак Sпараллелограмма = (y4(x4 – x1) + y1(x1 – x4) + y2(x2 – x3) + y3(x3 – x2) (.

Итак Sпараллелограмма = (x4(y4 – y1) + x1(y1 – y4) + x2(y2 – y3) + x3(y3 – y2) (.

Итак S = ( x3(y1 – y2) + x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) (.

Итак S = ( y1(x3 – x2) + y2(x1 – x3) + y3(x2 – x1) (.